北京市第二中学2026-2027学年高三上学期开学测试数学试题

北京二中2026—2027学年度第一学期高三年级开学测试试卷 数学 得分：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在答题纸上） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A．30 B．32 C．35 D．40 3已知向量，满足，，，则（ ） A．1 B． C． D．2 4．直线与圆：的交点为，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．如图，在正方体中，，，，，分别是，，，，的中点，则下列结论错误的是（ ） A．，，，四点共面 B．平面平面 C．直线与是异面直线 D．直线和所成角的正切值为 6．在中，角，，的对边分别为，，，已知命题：；命题：为等腰三角形．则命题是命题的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ） A． B． C． D． 8．已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ） A． B． C．8 D． 9．已知函数；若，且，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 10．已知函数及其导函数的定义域均为，若函数和均为偶函数，则（ ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于直线对称 C．3是的一个周期 D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题纸上） 11．复数的虚部为____________． 12．若双曲线的离心率为3，则渐近线方程为______该双曲线焦点到渐近线的距离为______． 13．已知，，直线与曲线相切．则的最小值为______． 14．将函数图象所有点的横坐标变为原来的（），纵坐标不变，得到函数的图象．则______；若对于任意，总存在唯一的，使得，则的取值范围为_______． 15．已知函数，函数的最小值记为，给出下面四个结论： ①的最小值为0； ②的最大值为3； ③若在上单调递减，则的取值范围为； ④若存在，对于任意的，，则的可能值共有4个； 则全部正确命题的序号为________． 三、解答题：（本大题共85分，请将答案填在答题纸上） 16．（本题满分13分） 在中，． （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求及的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 17．（本题满分14分） 如图1，在中，，，，，分别是，上的点，且，，将沿折起到的位置，使，如图2． （1）求证：平面； （2）若是的中点，求与平面所成角的大小； （3）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由． 18．（本题满分14分） 北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高．某地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据： （1）从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人的概率； （2）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记为选出“基地学校”的个数，求的分布列和数学期望； （3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，每个动作互不影响且每轮测试互不影响，如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？ 19．（本题满分14分） 已知为坐标原点，椭圆：上一点的横坐标为1，斜率存在的直线交椭圆于，两点，且直线，的斜率之和等于1． （1）求； （2）若点在第一象限，探究的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由． 20．（本题满分15分） 已知函数． （1）讨论的零点个数； （2）若存在两个极值点，记为的极大值点，为的零点，证明：． 21．（本题满分15分） 对于给定的奇数，，设是由个数组成的行列的数表，数表中第行，第列的数，记为的第行所有数之和，为的第列所有数之和，其中，．对于，，若且同时成立，则称数对为数表的一个“好位置” 1 1 1 0 0 1 0 1 0 （1）直接写出上面所给的数表的所有的“好位置”； （2）当时，若对任意的都有成立，求数表中的“好位置”个数的最小值； （3）求证：数表中的“好位置”个数的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $