精品解析：北京市第九中学2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

2026北京九中高三（上）开学考 数学 （试卷满分150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 如果集合，，那么（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 3. 设，其中，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图像关于（ ） A. 轴对称 B. 直线对称 C. 坐标原点对称 D. 直线对称 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 将函数的图像向右平移个单位后，其图像的一条对称轴方程为 A. B. C. D. 7. 若 ，则 A. B. C. 1 D. 8. 函数的图象与直线的交点个数的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 10. ，若是的最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 全集，集合，，则________． 12. ________． 13. 角的顶点在原点，始边在轴的正半轴，终边过点，则________． 14. 如果当时，恒成立，则实数的取值范围是________． 15. 已知是定义在上的可导函数．若函数满足对恒成立，给出下面四个结论： ①；②对成立； ③可能是奇函数；④一定没有极值点． 其中，所有正确结论的序号是________． 三、解答题（共85分） 16. 设函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调减区间． 17. 设的内角的对边分别为，且． （1）求角大小； （2）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，． 18. 甲、乙两人进行飞碟射击比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，两人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 乙 8 11 10 7 12 8 8 10 10 13 用频率估计概率． （1）从上述10场比赛中随机选择一场，在甲获胜的前提下，求分差超过3分的概率； （2）从这10场比赛中任选3场，设表示抽到的3场中甲获胜的场数，求的分布列和数学期望； （3）记一次飞碟比赛成绩满分为15分，设名运动员的得分分别为，，…，，，为名运动员中得分至少为分的人数．记为名运动员的平均成绩，，直接写出，的大小关系（结论不用证明） 19. 已知函数. （1） 时，求曲线与轴平行的切线方程； （2）已知函数. （i）当时，求曲线与曲线的交点个数； （ii）如果存在实数，使得两条曲线在处有公共点，且两条曲线在处的导数也相同，则称这两条曲线相切. 求的值，使得曲线与曲线相切. 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若对任意恒有，求a的最大值． 21. 给定正整数，集合，从中选取不同的个元素组成一个向量序列，，…，，若该序列同时满足如下两条性质： ①，； ②，，，则称该序列为列． （1）当时，分别判断向量序列：：，，，，：，，，，是否是列（结论无需证明）． （2）当时，是否存在一个由的全部元素组成的列，满足，并说明理由； （3）若列：，，…，满足条件：，求这样的列的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京九中高三（上）开学考 数学 （试卷满分150分，考试时间为120分钟） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 如果集合，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得集合，再由集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 因为，可得. 2. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A，由的定义域为，所以，即函数值域为，故A错误； 选项B，由的定义域为，所以， 所以函数值域为：，故B错误； 选项C，由的定义域为，此时函数值域为，故C错误； 选项D，由的定义域为，此时， 所以函数值域为，故D正确. 3. 设，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得. 【详解】由，故，故， 由对勾函数性质可得， ，且， 综上所述，有. 故选：C. 4. 函数的图像关于（ ） A. 轴对称 B. 直线对称 C. 坐标原点对称 D. 直线对称 【答案】A 【解析】 【详解】函数定义域为，且， 所以函数是偶函数，关于轴对称． 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先化简“”和“”，再利用充分必要条件的定义分析判断得解. 【详解】由得， 由得， 所以“”不能推出“”， 所以“”是“”的非充分条件； 因为“”不能推出“”， 所以“”是“”的非必要条件. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选D 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6. 将函数的图像向右平移个单位后，其图像的一条对称轴方程为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将函数的图像向右平移个单位后所得函数为 ，令，所以 故选C 7. 若 ，则 A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由，得或，所以，故选A． 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式． 【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系． 8. 函数的图象与直线的交点个数的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数图象分析即可. 【详解】由函数，如图所示： 由图可知函数的图象与直线的交点个数的最大值为3. 9. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例即可求解ABD,根据导数求证即可判断C. 【详解】对于A，取，则，故A错误， 对于B，，则，故B错误， 对于C，由于，故在单调递减，故，因此， 由于，所以，故，C正确， 对于D, ,则，故D错误， 故选：C 10. ，若是的最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式，先求出当时的函数最值，然后结合一元二次函数的性质进行讨论即可． 【详解】解：当时，， 当且仅当：，即时，等号成立， 此时函数的最小值为， 若，则函数的最小值为，此时不是的最小值，此时不满足条件， 若，则要使是的最小值，则满足， 即 解得， ， ， 故选：D． 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 全集，集合，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】先求， . 12. ________． 【答案】## 【解析】 【详解】 . 13. 角的顶点在原点，始边在轴的正半轴，终边过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据任意角正切函数的定义求出，再代入二倍角的正切公式计算即可得解. 【详解】根据任意角三角函数的定义，角终边过点，其中横坐标，纵坐标，因此 ， 由二倍角的正切公式可得. 14. 如果当时，恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】，， 令，解得，所以在单调递减，在单调递增， 所以， 即可. 15. 已知是定义在上的可导函数．若函数满足对恒成立，给出下面四个结论： ①；②对成立； ③可能是奇函数；④一定没有极值点． 其中，所有正确结论的序号是________． 【答案】①② 【解析】 【详解】对于①，因为对恒成立，所以函数为递增函数， 可得，即，所以，因此①正确； 对于②，当时，，即，因此； 当时，，即，因此； 当时，易知，又因为，所以，即； 综上可知对成立，即②正确； 对于③，若是奇函数，则为偶函数， 又因为偶函数不可能始终为递增函数，因此③错误； 对于④，不妨取，此时满足题意， 但函数有一个极小值点，即④错误. 三、解答题（共85分） 16. 设函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调减区间． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过三角恒等变换将原函数化简为正弦型函数，再结合正弦型函数的性质求解最小正周期即可； （2）结合正弦型函数的性质求解单调减区间即可. 【小问1详解】 已知函数， 由于，， 所以， 因此函数的最小正周期. 【小问2详解】 由（1）可知，， 由于正弦函数的单调递减区间为， 所以当，即时，单调递减， 因此函数的单调减区间为. 17. 设的内角的对边分别为，且． （1）求角大小； （2）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，． 【答案】（1） （2） 选①：不符合题意； 选②：三角形唯一确定，的面积； 选③：唯一，的面积． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，即，再结合为三角形内角可求角. （2）选①：由余弦定理可得满足条件的三角形不唯一，故选①不合题意. 选②：根据正弦定理可求边，再利用求，再利用三角形的面积公式求三角形面积. 选③：先由求得，再由余弦定理求边，最后利用三角形的面积公式求三角形面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 又因为，所以，则，即，所以. 【小问2详解】 选①：由余弦定理可得，即，解得或3，不符合题意； 选②：因为，，所以， 由正弦定理可得， 此时三角形两角一边确定，故三角形唯一确定，符合题意， 又， 此时的面积； 选③：因为边上的高，所以，则， 由余弦定理，即，解得，（舍去）， 故唯一，符合题意， 此时的面积． 18. 甲、乙两人进行飞碟射击比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，两人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 乙 8 11 10 7 12 8 8 10 10 13 用频率估计概率． （1）从上述10场比赛中随机选择一场，在甲获胜的前提下，求分差超过3分的概率； （2）从这10场比赛中任选3场，设表示抽到的3场中甲获胜的场数，求的分布列和数学期望； （3）记一次飞碟比赛成绩满分为15分，设名运动员的得分分别为，，…，，，为名运动员中得分至少为分的人数．记为名运动员的平均成绩，，直接写出，的大小关系（结论不用证明） 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 数学期望（或） （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式计算； （2）确定的可能值为，分别计算出概率得分布列，然后由期望公式计算期望； （3）利用每个分数会在分数到中分别计数1次，得出，从而可得的关系. 【小问1详解】 10场比赛中，甲获胜的有6场，其中分数差超过3分的只有1场，因此概率为； 【小问2详解】 由已知得的可能值为，因为10场比赛中，甲获胜的有6场， 所以，，，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以（或）； 【小问3详解】 因为每个分数会在分数到中分别计数1次，所以， 所以，即. 19. 已知函数. （1） 时，求曲线与轴平行的切线方程； （2）已知函数. （i）当时，求曲线与曲线的交点个数； （ii）如果存在实数，使得两条曲线在处有公共点，且两条曲线在处的导数也相同，则称这两条曲线相切. 求的值，使得曲线与曲线相切. 【答案】（1） （2）（i）交点个数为；（ii）． 【解析】 【分析】（1）切线平行于轴即斜率为0，求导后令导数等于0，求出切点横坐标，代入原函数得切点，写出水平切线方程；（2）①曲线交点个数转化为函数零点个数，因式分解得到固定零点，再构造新函数求最值，证明恒正无额外零点，最终只有1个交点；②两曲线相切需满足函数值相等+导数值相等列方程组，消去指数项解出切点横坐标，再回代求出参数. 【小问1详解】 当时，函数为，定义域为， ， 与轴平行的切线斜率为，令， 由于恒成立，因此，解得， 所以，故切点为，斜率为， 因此切线方程为； 【小问2详解】 （i）曲线交点个数等价于方程的实根个数，构造函数，问题转化为求的零点个数， 由，显然是的一个零点， 当时，，由指数函数单调递增，得，因此， 令，，，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 因此在处取最小值，由于，故，即对全体实数恒成立， 因此恒成立，则恒无正零点， 综上，仅有一个零点，即两条曲线有个交点； （ii）两条曲线在处相切，需同时满足： ，即；，即， ， 因此得到方程组， 若，代入方程 得左边，矛盾，故， 由得，代入，得，即 分情况讨论： 若，代入 得，与矛盾，舍去； 若，则，所以，展开整理得：，解得（舍去）， 将代入，两边取自然对数得，解得. 20. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若对任意恒有，求a的最大值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义得出切线方程； （2）分类讨论的值，利用导数得出单调性； （3）当，由单调性得出恒有，当，存在，使得，从而得出的最大值. 【小问1详解】 因为，所以，因为，所以. 故曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 的定义域为，. 当时，，即函数在上单调递增. 当时，，即函数在上单调递增. 当时，. 令，解得 若时，； 若时，； 即函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述， 当时，在上单调递增. 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）可知，当时，在上单调递增，恒有； 当时，由（2）可知，在上单调递减， 存在，使得，故不合题意； 综上，，即a的最大值为 【点睛】易错点睛：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： （1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； （2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； （3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 21. 给定正整数，集合，从中选取不同的个元素组成一个向量序列，，…，，若该序列同时满足如下两条性质： ①，； ②，，，则称该序列为列． （1）当时，分别判断向量序列：：，，，，：，，，，是否是列（结论无需证明）． （2）当时，是否存在一个由的全部元素组成的列，满足，并说明理由； （3）若列：，，…，满足条件：，求这样的列的个数． 【答案】（1）不是列，是列. （2）不存在满足条件的列. （3）满足条件的列个数为. 【解析】 【分析】（1）紧扣列定义，逐条核对起点、终点、差分合法性与元素互异性即可. （2）存在性否定，利用每步移动均改变奇偶性这一不变量，由步数与终点奇偶性矛盾导出不存在. （3）按列拆解路径，将列一一对应为纵坐标序列，把“取遍 1 到”转化为“序列最大值为 ”，用补集计数求解. 【小问1详解】 对序列：末步差分，不属于，不满足条件②，故不是列. 对序列：各步差分依次为，均合法；起点为，终点横坐标，且五个元素互不相同，故是列. 【小问2详解】 不存在. 考察每个格点的的奇偶性．由于每步移动的差分只能为，均使的奇偶性发生改变， 因此列中相邻两点的横、纵坐标之和必一奇一偶． 若列由的全部16个元素组成，则，共15步． 起点满足为偶数，经过奇数步后，终点的必为奇数． 但满足为偶数，矛盾． 故不存在满足条件的列． 【小问3详解】 由于每步移动中坐标只能不变或增加 1，从到必然依次经过每一列． 在固定一列内，每次只能沿竖直方向移动． 若竖直移动方向发生改变，就会重复经过某个格点，与序列中的元素互不相同矛盾， 因此在该列内只能单调移动． 所以从入口纵坐标到出口纵坐标的路径唯一，且恰好覆盖区间内的所有整数． 记各列的出口纵坐标依次为，其中，并记（起点纵坐标）． 则第列覆盖的值区间为． 反过来，任取一组上述出口纵坐标，在每一列内从入口到出口单调移动， 并在最后一列之前的各列出口处向右移动一格，就能唯一得到一个符合定义的序列． 因此上述对应是一一对应． 由于，且每个新区间均包含从而与前一并集相交， 归纳可知所有区间的并集为包含1的连续区间： ． 因此条件等价于． 序列的每个分量均有种取法，共个；其中最大值不超过的有个． 由补集思想，满足条件的列个数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $