1.2 数轴 讲义 2026-2027学年冀教版数学 七年级上册

本初中数学讲义聚焦“数轴”核心知识点，系统梳理数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）、规范画法，以及有理数在数轴上的表示方法，同时明确数轴比较大小和计算两点间距离的作用，为有理数后续学习（如相反数、绝对值）搭建数形结合的学习支架。 该资料通过分层作业（A基础、B能力、C拓展）设计满足不同学生需求，典例精析注重方法归纳（如“定区间、再等分、后描点”），结合蚂蚁爬行、车队行驶等实际情境，培养学生几何直观（数形对应）、推理意识（距离计算逻辑）和模型意识（实际问题转化），课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

冀教版七年级数学（上） 第一章 有理数 1.2 数轴 1.2 数轴 课时作业 冀教版·七年级数学（上册） 第一章 有理数 一、课时学习目标 1. 理解数轴的概念，知道数轴的三要素是原点、正方向和单位长度，会正确地画出数轴。 2. 能在数轴上表示给定的有理数，能读出数轴上的点所表示的数。 3. 初步体会“数”与“形”的对应关系，会借助数轴直观地比较有理数的大小、数出两点间所含单位长度的个数。 4. 在画图与识图的过程中，养成规范作图的习惯，发展数形结合的思想。 二、知识梳理 知识点 1 数轴的概念 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。这三者称为数轴的三要素，缺一不可。 （1）原点：数轴上表示 0 的点叫做原点，它是数轴的“基准点”。 （2）正方向：通常规定向右为正方向，并在直线的右端画上箭头。 （3）单位长度：相邻两个整数点之间的距离，同一条数轴上单位长度必须统一。 理解要点：数轴是一条直线（可以向两端无限延伸），不是线段或射线；箭头只表示正方向，不表示数轴到此为止。 知识点 2 数轴的画法 第一步：画一条水平的直线； 第二步：在直线上任取一点作为原点，用它表示 0； 第三步：确定正方向（一般取向右为正），并在右端画上箭头； 第四步：选取适当的长度作为单位长度，从原点向右依次标出 1、2、3 …，向左依次标出 -1、-2、-3 …。 下面四条直线中，只有第 ④ 条是数轴，请你判断另外三条各错在哪里： ① 缺少原点；② 缺少正方向（没有箭头）；③ 单位长度不统一；④ 三要素齐全，是数轴。 知识点 3 有理数与数轴上的点 （1）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 （2）正数用原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，0 用原点表示。 （3）表示一个数的点到原点的距离，等于这个数去掉符号后的数值。例如表示 的点在原点左边，与原点相距 1.5 个单位长度。 （如图，点 A、B、C、D 分别表示 -4、-1.5、1、3.5） 知识点 4 数轴的两个基本作用 （1）比较大小：在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。因此正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。 （2）数出两点间的距离：数轴上两点之间的距离，等于这两点之间所含单位长度的个数。例如表示 -4 的点与表示 3 的点之间共有 7 个单位长度，所以这两点相距 7 个单位长度。 易错提醒：①在数轴上表示分数或小数时，要先把单位长度等分，如表示 时，应在 -2 与 -3 的正中间描点；②描点后一定要在点的上方写出它表示的数或点的名称。 三、典例精析 例 1 下列各图中，是数轴的是（ ） （结合上面知识点 2 中的四条直线判断） 【思路点拨】判断一条直线是不是数轴，只需检查“原点、正方向、单位长度”三个要素是否齐全。 【解答】只有第 ④ 条是数轴。 【方法归纳】三要素“一个都不能少”，其中最容易被忽略的是单位长度是否统一。 例 2 在数轴上画出表示下列各数的点：-3，+2，0，，2.5，。 【解答】先画出数轴，再依次描点：-3 在原点左边 3 个单位长度处；+2 在原点右边 2 个单位长度处；0 在原点处； = -1.5，在 -1 与 -2 的中点处；2.5 在 2 与 3 的中点处； = 3.5，在 3 与 4 的中点处。 【方法归纳】遇到分数先化成小数（或判断它在哪两个整数之间），再确定点的位置，做到“定区间、再等分、后描点”。 例 3 如图，写出数轴上点 A、B、C、D、E 所表示的数。 【解答】点 A 表示 -4.5（即 ），点 B 表示 -2，点 C 表示 0，点 D 表示 2.5（即 ），点 E 表示 4。 【方法归纳】读数时先找到原点，再看点在原点的哪一侧（定符号），最后数出它到原点的单位长度个数（定数值）。 例 4 如图，数轴上点 M 表示 -4，点 N 表示 3。 （1）M、N 两点之间相距多少个单位长度？ （2）把点 M 向右移动 6 个单位长度后到达点 P，点 P 表示的数是多少？ （3）数轴上与点 N 相距 2 个单位长度的点表示的数是多少？ 【解答】（1）从 -4 数到 3，共有 7 个单位长度，所以 M、N 相距 7 个单位长度。 （2）从 -4 向右移动 6 个单位长度，依次经过 -3、-2、-1、0、1、2，所以点 P 表示的数是 2。 （3）与点 N 相距 2 个单位长度的点有两个：在 N 的右边是 5，在 N 的左边是 1，所以这样的数是 5 或 1。 【方法归纳】数轴上“向右移动”就是数变大，“向左移动”就是数变小；与某点距离一定的点通常有左、右两个，千万不要漏解。 例 5 在数轴上，点 A 表示的数是 -2，点 B 在点 A 的右边，且 A、B 两点间的距离是 5 个单位长度，求点 B 表示的数。 【解答】因为点 B 在点 A 的右边，所以从 -2 向右数 5 个单位长度：-1、0、1、2、3，故点 B 表示的数是 3。 【方法归纳】题目中若已明确“在右边（或左边）”，答案唯一；若没有说明方向，则要分两种情况讨论。 四、课时作业 A 组 基础达标 （一）选择题（每小题 4 分，共 24 分） 1. 数轴的三要素是（ ） A. 原点、正方向、箭头 B. 原点、正方向、单位长度 C. 直线、原点、单位长度 D. 正方向、单位长度、刻度 2. 下列关于数轴的说法中，正确的是（ ） A. 数轴是一条射线 B. 数轴上的原点表示 1 C. 数轴上原点右边的点表示正数 D. 数轴上的单位长度可以随意变化 3. 在数轴上，表示 -3 的点在原点的（ ） A. 右边 3 个单位长度处 B. 左边 3 个单位长度处 C. 右边 1 个单位长度处 D. 左边 1 个单位长度处 4. 在数轴上，表示下列各数的点在原点左边的是（ ） A. 2.5 B. 0 C. D. 5. 数轴上表示 -1 和 4 的两点之间的距离是（ ） A. 3 个单位长度 B. 4 个单位长度 C. 5 个单位长度 D. 6 个单位长度 6. 在数轴上，把表示 -1 的点向右移动 3 个单位长度，所得到的点表示的数是（ ） A. 2 B. -4 C. 3 D. 4 （二）填空题（每小题 4 分，共 24 分） 7. 规定了 ＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿ 和 ＿＿＿＿＿＿＿＿ 的直线叫做数轴。 8. 数轴上表示 0 的点叫做 ＿＿＿＿＿＿；正数在原点的 ＿＿＿＿ 边，负数在原点的 ＿＿＿＿ 边。 9. 数轴上表示 的点，位于表示 -2 的点与表示 ＿＿＿＿ 的点之间。 10. 如图，数轴上点 P 表示的数是 ＿＿＿＿，点 Q 表示的数是 ＿＿＿＿，P、Q 两点相距 ＿＿＿＿ 个单位长度。 11. 数轴上与原点相距 4 个单位长度的点表示的数是 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 12. 在数轴上，点 A 表示 3，将点 A 向左移动 5 个单位长度到达点 B，则点 B 表示的数是 ＿＿＿＿＿＿。 （三）解答题（每小题 8 分，共 24 分） 13. 请你在下面的直线上画出一条数轴，并在数轴上表示出下列各数： -4，-2.5，，0，1，，4 14. 如图，数轴上有 A、B、C、D、E 五个点。 （1）分别写出点 A、B、C、D、E 表示的数； （2）哪些点表示的是负数？哪些点表示的是正数？ （3）B、D 两点之间相距多少个单位长度？ 15. 已知数轴上点 M 表示 -4，点 N 表示 3（如图）。 （1）把点 M 向右移动 3 个单位长度，得到点 M₁，点 M₁ 表示的数是多少？ （2）把点 N 向左移动 5 个单位长度，得到点 N₁，点 N₁ 表示的数是多少？ （3）M₁ 与 N₁ 哪个点在左边？它们之间相距几个单位长度？ B 组 能力提升 （一）选择题（每小题 4 分，共 12 分） 16. 数轴上与表示 2 的点相距 3 个单位长度的点表示的数是（ ） A. 5 B. -1 C. 5 或 -1 D. 3 或 -3 17. 下列说法中，错误的是（ ） A. 每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示 B. 数轴上原点两侧、与原点距离相等的两个点表示的数只相差一个符号 C. 数轴上的点都表示正数 D. 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大 18. 数轴上，点 A 表示 -5，点 B 与点 A 相距 4 个单位长度，则点 B 表示的数是（ ） A. -1 B. -9 C. -1 或 -9 D. 1 或 9 （二）填空题（每小题 4 分，共 12 分） 19. 数轴上表示 -6 的点与表示 2 的点之间相距 ＿＿＿＿ 个单位长度，这两点正中间的点表示的数是 ＿＿＿＿＿＿。 20. 在数轴上，若点 A 表示的数是 a，且点 A 到原点的距离是 3 个单位长度，则 a = ＿＿＿＿＿＿＿＿。 21. 一只蚂蚁从数轴上表示 -2 的点出发，先向右爬行 5 个单位长度，再向左爬行 8 个单位长度，此时蚂蚁停在表示 ＿＿＿＿＿＿ 的点处。 （三）解答题（每小题 10 分，共 20 分） 22. 已知数轴上有 A、B 两点，点 A 表示的数是 -3。 （1）若点 B 在点 A 的右边，且 A、B 相距 6 个单位长度，求点 B 表示的数； （2）若只知道 A、B 相距 6 个单位长度，求点 B 表示的数； （3）请在数轴上画出（2）中所有满足条件的点 B。 23. 某条公路是东西走向的，一个自行车队从服务站出发（以服务站为原点，向东为正方向，1 个单位长度表示 1 km）： 先向东行驶 4 km，再向西行驶 7 km，最后又向东行驶 2 km。 （1）在数轴上依次标出车队三次行驶后所在的位置； （2）最后车队在服务站的哪个方向？距离服务站多远？ （3）在这个过程中，车队离服务站最远时相距多少千米？ C 组 拓展探究 24. 如图，数轴上点 A 表示 -4，点 B 表示 3。点 P 从点 A 出发，沿数轴以每秒 1 个单位长度的速度向右运动。 （1）2 秒后点 P 表示的数是多少？ （2）点 P 运动到点 B 需要多少秒？ （3）当点 P 运动到 A、B 两点的正中间时，点 P 表示的数是多少？此时经过了多少秒？ 25. 阅读理解：在数轴上，如果点 M、N 分别表示数 m、n，且点 M 在点 N 的左边，那么 M、N 两点之间所含单位长度的个数就是这两点的距离，记作 MN。例如：表示 -1 与 4 的两点距离为 5。 （1）若点 M 表示 -7，点 N 表示 -2，求 MN； （2）若点 M 表示 ，点 N 表示 ，求 MN； （3）已知数轴上点 C 表示 1，点 D 与点 C 的距离是 个单位长度，直接写出点 D 表示的数。 五、参考答案与解析 A 组 基础达标 1. B。解析：数轴的三要素是原点、正方向、单位长度。箭头只是表示正方向的一种画法，不能单独作为三要素之一，故选 B。 2. C。解析：A 错，数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；B 错，原点表示 0；D 错，同一条数轴上的单位长度必须统一。故选 C。 3. B。解析：-3 是负数，用原点左边的点表示，且到原点的距离为 3 个单位长度，故选 B。 4. C。解析：原点左边的点表示负数，四个选项中只有 是负数，故选 C。（0 用原点表示，不在左边也不在右边。） 5. C。解析：从 -1 数到 4，依次经过 0、1、2、3、4，共 5 个单位长度，故选 C。 6. A。解析：向右移动数变大，从 -1 向右数 3 个单位长度依次是 0、1、2，故选 A。 7. 原点、正方向、单位长度。 8. 原点；右；左。 9. -3。解析： = -2.5，它在 -2 与 -3 之间（正中间）。 10. 点 P 表示 -2，点 Q 表示 4，相距 6 个单位长度。解析：读数先定符号（在原点左边为负），再数单位长度；从 -2 数到 4 共 6 个单位长度。 11. 4 或 -4。解析：与原点距离相等的点有两个，分别在原点的右边和左边，容易漏掉 -4。 12. -2。解析：向左移动数变小，从 3 向左数 5 个单位长度依次是 2、1、0、-1、-2。 13. 画图略（数轴要三要素齐全）。各点位置：-4 在原点左边 4 个单位长度处；-2.5 在 -2 与 -3 的中点； = -0.5，在 0 与 -1 的中点；0 在原点；1 在原点右边 1 个单位长度处； = 2.5，在 2 与 3 的中点；4 在原点右边 4 个单位长度处。 解析：表示分数时要先化成小数或判断它在哪两个整数之间，再把这一段单位长度平均分，最后描点并在点的上方标出对应的数。 14. （1）点 A 表示 -4.5（即 ），点 B 表示 -2，点 C 表示 0，点 D 表示 2.5（即 ），点 E 表示 4； （2）表示负数的点是 A、B；表示正数的点是 D、E；点 C 表示 0，它既不是正数也不是负数；（3）从 -2 到 2.5，共 4.5 个单位长度，即 B、D 两点相距 4.5 个单位长度。 15. （1）点 M₁ 表示 -1（从 -4 向右数 3 个单位长度）；（2）点 N₁ 表示 -2（从 3 向左数 5 个单位长度）； （3）因为 -2 在 -1 的左边，所以 N₁ 在左边；从 -2 到 -1 共 1 个单位长度，所以 M₁ 与 N₁ 相距 1 个单位长度。 B 组 能力提升 16. C。解析：在 2 的右边：从 2 向右 3 个单位长度得 5；在 2 的左边：从 2 向左 3 个单位长度得 -1。所以是 5 或 -1，故选 C。本题的易错点是只考虑一个方向。 17. C。解析：数轴上的点也可以表示负数和 0，所以 C 错误；A、B、D 的说法都正确，故选 C。 18. C。解析：点 B 可能在点 A 的右边，也可能在左边。在右边：从 -5 向右 4 个单位长度得 -1；在左边：从 -5 向左 4 个单位长度得 -9。故选 C。 19. 8；-2。解析：从 -6 数到 2 共 8 个单位长度；正中间的点到两端各 4 个单位长度，从 -6 向右数 4 个单位长度得 -2。 20. 3 或 -3。解析：到原点距离为 3 个单位长度的点在原点两侧各有一个，所以 a = 3 或 a = -3。 21. -5。解析：从 -2 向右爬 5 个单位长度到 3；再从 3 向左爬 8 个单位长度：3 → -5。所以蚂蚁停在表示 -5 的点处。 22. （1）点 B 在点 A 右边，从 -3 向右数 6 个单位长度，得点 B 表示 3； （2）没有说明方向，要分两种情况：点 B 在点 A 右边时表示 3；点 B 在点 A 左边时，从 -3 向左数 6 个单位长度，表示 -9。所以点 B 表示的数是 3 或 -9；（3）画图略，在数轴上 -9 和 3 处各描一个点并标注 B。 解析：凡是只给出“距离”而没有给出“方向”的问题，都要考虑左、右两种情况，这是数轴问题中最常见的失分点。 23. （1）三次行驶后的位置依次为 4、-3、-1（在数轴上依次描点）； （2）最后车队停在表示 -1 的点处，即在服务站的西方，距离服务站 1 km；（3）三次行驶后的位置分别与原点相距 4 km、3 km、1 km，所以离服务站最远时相距 4 km（第一次行驶后）。 解析：把“向东”看作向右移动，“向西”看作向左移动，在数轴上一步一步移动即可，注意区分“最后的位置”与“最远的距离”。 C 组 拓展探究 24. （1）点 P 每秒向右移动 1 个单位长度，2 秒移动 2 个单位长度，从 -4 向右数 2 个单位长度得 -2； （2）A、B 两点相距 7 个单位长度，所以需要 7 秒；（3）A、B 的正中间的点到 A、B 各 3.5 个单位长度，从 -4 向右数 3.5 个单位长度得 ，即点 P 表示 ，此时经过了 3.5 秒。 解析：本题把“运动”与“数轴”结合起来，关键是抓住“速度 × 时间 = 移动的单位长度个数”，再按方向在数轴上移动。 25. （1）从 -7 数到 -2 共 5 个单位长度，所以 MN = 5； （2） = -1.5， = 2.5，从 -1.5 到 2.5 共 4 个单位长度，所以 MN = 4； （3）点 D 在点 C 右边时表示 1 + = （即 4.5）；点 D 在点 C 左边时表示 1 - = （即 -2.5）。所以点 D 表示的数是 或 。 解析：数轴上两点的距离与两点的先后顺序无关，但“已知一点与距离求另一点”时必有两个答案，务必分左右两种情况作答。 六、课时小结 1. 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，画数轴时三者缺一不可，且单位长度必须统一。 2. 数形对应：正数在原点右边，负数在原点左边，0 在原点；数轴上右边的点表示的数较大。 3. 常用结论：数轴上两点间的距离就是它们之间单位长度的个数；已知一点和距离求另一点时，要分左、右两种情况讨论。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $