25.1一元二次方程的概念 同步练习 -2026‑2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程概念，分层设计从基础概念辨析到综合应用建模，通过选择、填空、解答题梯度递进，强化概念理解与运算能力，培养抽象思维与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|概念识别、一般形式转化|以选择填空为主（如选择1-5），强化二次项系数条件等核心概念| |发展层|方程解应用、参数问题|结合方程解求代数式值（如选择6、10），提升推理能力| |综合层|实际问题建模|融入《九章算术》情境（选择8）与矩形菜园问题（解答19），培养模型意识|

第二十五章 一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 1、 选择题 1.下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A中方程的未知数的最高次数是1次，故不是一元二次方程，不符合题意； B中方程含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； C中方程是一元二次方程，符合题意； D中方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的概念，熟知一元二次方程满足的条件是解答的关键． 2．将方程2x2+7＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　） A．2，4，7 B．2，4，﹣7 C．2，﹣4，7 D．2，﹣4，﹣7 【答案】C． 【分析】根据任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项进行分析即可． 【详解】解：2x2+7＝4x可化为2x2﹣4x+7＝0，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为2，﹣4，7， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 3.若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A．a≥2 且 a≠2 B．a≥0 且 a≠2 C．a≥2 D．a≠2 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一般形式：形如：ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），可得a﹣2≠0，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： a﹣2≠0， 解得：a≠2， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 4.若（m2﹣4）x2+3x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则（　　） A．m≠2 B．m≠﹣2 C．m≠﹣2，或 m≠2 D．m≠﹣2，且 m≠2 【答案】D． 【分析】根据一元二次方程的定义得出m2﹣4≠0，再求出m即可． 【详解】解：∵（m2﹣4）x2+3x﹣5＝0是关于x的一元二次方程， ∴m2﹣4≠0， 解得：m≠﹣2且m≠2， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出m2﹣4≠0是解此题的关键． 5．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，则m的值为（　　） A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣3或3 【答案】C． 【分析】利用一元二次方程的定义及常数项为0，确定出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0， ∴m﹣3≠0，m2﹣9＝0， 解得：m＝﹣3． 故选：C． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0）． 6.若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值 为（　　） A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】B． 【分析】根据一元二次方程解得定义即可得到a+b＝1，再由2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1， ∴a+b﹣1＝0， ∴a+b＝1， ∴2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）＝2022﹣1＝2021， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了代数式求值和一元二次方程的解，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． 7.将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把每个选项的方程化为一元二次方程的一般式即可得到答案． 【详解】解：A、化为一般式为，二次项系数是4，一次项系数是-7，常数项是2，符合题意； B、化为一般式为，二次项系数是4，一次项系数是-7，常数项是-2，不符合题意； C、化为一般式为，二次项系数是4，一次项系数是7，常数项是-2，不符合题意； D、化为一般式为，二次项系数是4，一次项系数是7，常数项是2，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常项数，正确把一元二次方程化为一般形式是解题的关键：一元二次方程中，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项． 8.《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（　　） A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2 B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2 C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2 D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）2 【答案】B． 【分析】由题意可得门高（x﹣2）尺、宽（x﹣4）尺，长为对角线x尺，根据勾股定理可得的方程． 【详解】解：设门对角线的长为x尺，由题意得： （x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 9.已知t为一元二次方程的一个解，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的定义可得，求出，进而可得答案． 【详解】解：∵t为一元二次方程的一个解， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值是解题的关键． 10.若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根 是（　　） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 【答案】C． 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解，代入方程的左右两边，看左右两边是否相等． 【详解】解：在这个式子中，如果把x＝1代入方程，左边就变成a+b+c，又由已知a+b+c＝0可知：当x＝1时，方程的左右两边相等，即方程必有一根是1，同理可以判断方程必有一根是﹣1．则方程的根是1，﹣1． 故选：C． 【点睛】本题就是考查了方程的解的定义，判断一个数是否是方程的解的方法，就是代入方程的左右两边，看左右两边是否相等． 2、 填空题 11.下列方程中，①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④，⑤，一元二次方程的有 个． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：当a＝0时，方程ax2+bx+c＝0不是一元二次方程， （x+2）（x﹣3）＝x2﹣3， 整理得：﹣x﹣6＝﹣3，是一元一次方程，不是一元二次方程， 是分式方程，不是一元二次方程， 所以一元二次方程有2x2﹣1＝0，，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 12.若方程是关于x的一元二次方程，则______． 【答案】1 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 13.若关于x的方程是一元二次方程，则k的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一元二次方程的定义，可得二次项系数不为0，据此即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴ 解得：， ∴的值可以是0（答案不唯一）． 故答案为：0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 14.某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、10m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为144m2，设小道的宽为xm，根据题意可列方程为 ． 【答案】（18﹣2x）（10﹣x）＝144 【分析】由小道的宽为xm，可得出剩下的用于种植的部分可合成长为（18﹣2x）m，宽为（10﹣x）m的矩形，结合种植面积为144m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵小道的宽为xm， ∴剩下的用于种植的部分可合成长为（18﹣2x）m，宽为（10﹣x）m的矩形． 根据题意得：（18﹣2x）（10﹣x）＝144． 故答案为：（18﹣2x）（10﹣x）＝144． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15.若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为__________． 【答案】 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 16.已知a是方程x2﹣2x﹣2＝0的根，则的值是 ． 【答案】． 【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式，接着利用一元二次方程根的定义得到a2＝2（a+1），然后利用整体代入的方法得到原式，最后约分即可． 【详解】解：原式• • ， ∵a是方程x2﹣2x﹣2＝0的根， ∴a2﹣2a﹣2＝0， 即a2＝2a+2＝2（a+1）， ∴原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3、 解答题 17.已知关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【分析】（1）由一元一次方程的定义得到：m2﹣1＝0，由此可求得m的值； （2）根据一元二次方程的定义得到：m2﹣1≠0，由此可求得m的值． 【解答】解：（1）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元一次方程， ∴m2﹣1＝0， 解得m＝±1； （2）∵关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0是一元二次方程， ∴m2﹣1≠0， 解得m≠±1． 【点评】本题考查了一元二次方程、一元一次方程的定义，熟知一元一次方程的未知数的系数不等于零，一元二次方程的二次项系数不等于零是解题的关键． 18.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． （1）3x（x+1）＝4（x﹣2）； （2）（x+3）2＝（x+2）（4x﹣1）； （3）2（y+5）（y﹣1）＝y2﹣8； （4）2t＝（t+1）2． 【答案】（1）3x2﹣x+8＝0， 二次项系数为3，一次项系数为﹣1，常数项8； （2）x﹣11＝0， 二次项系数为0，一次项系数为1，常数项﹣11； （3）y2+8y﹣2＝0， 二次项系数为1，一次项系数为8，常数项﹣2； （4）t2+1＝0， 二次项系数为1，一次项系数为0，常数项1． 【分析】（1）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （2）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （3）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （4）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：（1）3x2+3x﹣4x+8＝0， 3x2﹣x+8＝0， 二次项系数为3，一次项系数为﹣1，常数项8； （2）x2+6x+9＝x2﹣x+8x﹣2， x﹣11＝0， 二次项系数为0，一次项系数为1，常数项﹣11； （3）y2+8y﹣10﹣y2+8＝0， y2+8y﹣2＝0， 二次项系数为1，一次项系数为8，常数项﹣2； （4）t2+1＝0， 二次项系数为1，一次项系数为0，常数项1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握去括号、移项，合并同类项的法则是解题的关键． 19.按要求完成下列各小题： (1)一个两位数,十位上的数字比个位上的数字x小3,个位数字的平方恰好是这个两位数,列出关于x的一元二次方程，并将方程化成一般形式； (2)一个长方形的面积是40m，把它的长减少5m，宽减少2m后，就得到一个边长为x m的正方形，求这个正方形的边长。列出关于x的一元二次方程，并将方程化成一般形式； 【答案】(1)x2-11x+30=0; (2)x2+7x-30=0. 【分析】(1)根据两位数的表示方法,结合已知条件列出方程,再化为一般形式即可; (2)根据长方形面积公式列出方程，即可解决问题 【解答】解:(1)设个位数为x,则十位数为x-3, 根据题意得: x2﹣10(x﹣3)+x， 化成一般形式为:x2-11x+30=0; (2)由题意得:(x+5)(x+2)=40, 化成一般形式为：x2+7x-30=0. 【点睛】本题考査了由实际问题抽象出一元二次方程以及一元二次方程的一般形式,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键。 20.已知a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，再把所求式子化简为，由此求解即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． 21.已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根．求： （1）2a2﹣4040a﹣3的值； （2）代数式a2﹣2019a的值． 【答案】（1）﹣5； （2）2019． 【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣2020a+1＝0，则a2＝2020a﹣1，然后把a2＝2020a﹣1代入原式即可求解； （2）可化简得原式＝a1，然后通分后再次代入后化简即可． 【详解】解：（1）∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根， ∴a2＝2020a﹣1， ∴a2＝2020a﹣1， ∴2a2﹣4040a﹣3 ＝2（2020a﹣1）﹣4040a﹣3 ＝4040a﹣2﹣4040a﹣3 ＝﹣5； （2）原式＝2020a﹣1﹣2019a ＝a1 1 1 ＝2020﹣1 ＝2019． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 25.1一元二次方程的概念 1、 选择题 1.下列是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．将方程2x2+7＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　） A．2，4，7 B．2，4，﹣7 C．2，﹣4，7 D．2，﹣4，﹣7 3.若方程（a﹣2）x2+ax﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A．a≥2 且 a≠2 B．a≥0 且 a≠2 C．a≥2 D．a≠2 4.若（m2﹣4）x2+3x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则（　　） A．m≠2 B．m≠﹣2 C．m≠﹣2，或 m≠2 D．m≠﹣2，且 m≠2 5．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+x+m2﹣9＝0的常数项等于0，则m的值为（　　） A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣3或3 6.若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值 为（　　） A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023 7.将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是，一次项系数是，常数项是的方程是（    ） A． B． C． D． 8.《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为x尺，下列方程符合题意的是（　　） A．（x+2）2+（x﹣4）2＝x2 B．（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2 C．x2+（x﹣2）2＝（x﹣4）2 D．（x﹣2）2+x2＝（x+4）2 9.已知t为一元二次方程的一个解，则值为（    ） A． B． C． D． 10.若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根 是（　　） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 2、 填空题 11.下列方程中，①2x2﹣1＝0，②ax2+bx+c＝0，③（x+2）（x﹣3）＝x2﹣3，④，⑤，一元二次方程的有 个． 12.若方程是关于x的一元二次方程，则______． 13.若关于x的方程是一元二次方程，则k的值可以是______．（写出一个即可） 14.某校在操场东边开发出一块长、宽分别为18m、10m的矩形菜园（如图），作为劳动教育系列课程的实验基地之一，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，剩下的用于种植，且种植面积为144m2，设小道的宽为xm，根据题意可列方程为 ． 15.若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为__________． 16.已知a是方程x2﹣2x﹣2＝0的根，则的值是 ． 3、 解答题 17.已知关于x的方程（m2﹣1）x2+x﹣2＝0． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？ 18.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． （1）3x（x+1）＝4（x﹣2）； （2）（x+3）2＝（x+2）（4x﹣1）； （3）2（y+5）（y﹣1）＝y2﹣8； （4）2t＝（t+1）2． 19.按要求完成下列各小题： (1)一个两位数,十位上的数字比个位上的数字x小3,个位数字的平方恰好是这个两位数,列出关于x的一元二次方程，并将方程化成一般形式； (2)一个长方形的面积是40m，把它的长减少5m，宽减少2m后，就得到一个边长为x m的正方形，求这个正方形的边长。列出关于x的一元二次方程，并将方程化成一般形式； 20.已知a是方程的一个根，求代数式的值． 21.已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根．求： （1）2a2﹣4040a﹣3的值； （2）代数式a2﹣2019a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $