26.2二次函数的图象和性质（第1课时）课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²的图象与性质，通过篮球轨迹、喷泉等生活实例引入抛物线，以描点法作图为基础，对比不同a值函数图象，构建从具体到抽象的知识支架，帮助学生衔接前后知识点。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，从生活现象抽象抛物线培养数学眼光，对比探究a的符号与绝对值影响发展推理思维，用“正上负下”等口诀归纳性质强化数学语言。如对比y=x²与y=-x²的开口方向，助力学生直观理解，也为教师提供清晰教学流程。

人教版·九年级上册 第二十六章 二次函数 26.2 二次函数的图象和性质 第1课时 二次函数 的图象和性质 1.7.2013 同学们好！今天我们将一起探索数学世界中一个非常重要且有趣的概念——二次函数。我们将从最简单的形式 y=ax² 开始，学习如何画出它的图象，并深入研究它的各种性质。希望通过本节课的学习，大家能掌握二次函数的基础知识，感受数学的魅力。 ‹#› 学 习 目 标 1 2 3 理解二次函数 的图象是一条抛物线，认识其基本几何特征与对称性。 掌握用描点法绘制二次函数图象的步骤，能准确画出不同 值对应的抛物线。 探索并总结二次函数的图象性质，理解参数的符号与绝对值对图象的影响。 1.7.2013 本节课我们有三个主要目标。首先，我们要理解什么是抛物线，知道二次函数 y=ax² 的图象就是抛物线。其次，我们要掌握画这种图象的基本方法——描点法。最重要的是，我们要通过探究，总结出 y=ax² 的图象和性质，特别是参数 a 对图象形状和位置的影响。 ‹#› 情景引入 生活中的“抛物线” 01 跃动的弧线 —— 篮球运动 当篮球离开运动员的手，在空中划过的轨迹便是一条标准的抛物线，它是重力作用下物体运动的直观体现。 02 灵动的水柱 —— 喷泉景观 喷涌而出的水柱，在上升与下落的过程中，自然形成对称的抛物线形态，为城市景观增添了数学的美感。 03 稳固的几何 —— 拱桥建筑 许多经典的石拱桥，其桥拱设计完美契合抛物线的几何特征，不仅结构稳固，更展现了力与美的结合。 发现：这些曲线在数学上有着共同的名字——抛物线！ 1.7.2013 在我们开始学习新知识之前，先来看一些生活中的例子。大家看，无论是篮球在空中划过的轨迹，还是喷泉喷出的水柱，甚至是宏伟的拱桥，它们的形状都非常相似。这种曲线在数学中被称为“抛物线”。今天，我们就来揭开抛物线背后的数学秘密。 ‹#› 新知探究 如何画出二次函数的图象？ 我们采用最基础且可靠的方法——描点法，主要分为三个核心步骤： 01 列表： 取自变量 的一些代表性数值，代入解析式计算出对应的函数值，整理成清晰的表格。 02 描点： 在平面直角坐标系中，以自变量 的值为横坐标，以对应的函数值 y 为纵坐标，准确描出各个坐标点。 03 连线： 按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线将所描出的点依次连接，形成完整的函数图象。 1.7.2013 要画出一个函数的图象，最基础也是最可靠的方法就是描点法。它分为三个步骤：首先，我们需要列表，选取一些x的值，计算出对应的y值；然后，根据表格中的坐标，在坐标系里描出相应的点；最后，用一条平滑的曲线把这些点连接起来。接下来，我们就用这个方法来画 y = x² 的图象。 ‹#› 新知探究 第一步：列表求值，探寻规律 我们取自变量 的一系列值（含负数、0、正数），计算对应的值，构建如下表格： 思考与发现： ❶ 取值考量：选取负数、0、正数，能全面反映函数图象的整体特征，避免因取值片面导致规律误判。 ❷ 核心规律：当 取互为相反数的值时， 的值相等（如 与 ）。这一规律预示着函数图象具有轴对称性。 9 4 1 0 1 4 9 1.7.2013 第一步是列表。我们选取了从-3到3的整数作为x的值，并计算出对应的y值。大家可以看到，当x取-2和2时，y的值都是4；x取-1和1时，y的值都是1。这说明当x取互为相反数的值时，y值相等。这个规律非常重要，它预示着函数图象可能具有某种对称性。 ‹#› 新知探究 第二步：描点 根据表格计算出的对应数值，我们在平面直角坐标系中依次找出并标记出下列坐标点： 观察发现：这些点在坐标系中呈现出明显的对称分布特征，关于轴对称，且随着的绝对值增大，值呈平方增长趋势，为后续绘制二次函数图像奠定了基础。 1.7.2013 第二步是描点。我们根据刚才列表得到的坐标，在平面直角坐标系中找到这些点的位置并标记出来。大家可以看到，这些点在坐标系中分布得很有规律，特别是关于y轴对称。 ‹#› 新知探究 第三步：连线 完成描点后，我们需要用一条平滑的曲线，严格按照自变量从小到大的顺序，将所描出的点依次连接起来。 连接后形成的这条优美且对称的曲线，就是二次函数的图象。在数学中，我们把这种形状的曲线专门称为抛物线。 ★ 关键要点：连线时切忌画成折线，必须保持曲线的平滑性，这是二次函数图象的核心特征。 1.7.2013 第三步是连线。我们用一条平滑的曲线，从左到右依次连接刚才描出的点。大家看，这条曲线优美而对称，它就是函数 y = x² 的图象。我们把这种形状的曲线称为抛物线。 ‹#› 归纳总结 新知探究 认识抛物线 01 定义： 函数 的图象是一条关于轴对称的曲线，这条曲线被称为抛物线。 02 对称轴： 该抛物线关于轴对称，我们将轴称为这条抛物线的对称轴，是图象的对称中心轴。 03 顶点： 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点；对于而言，这个顶点是整个图象的最低点（即最小值点）。 核心特征： 抛物线开口向上，在对称轴左侧图象下降，右侧图象上升，顶点是其极值点。 1.7.2013 现在我们来正式认识一下抛物线。函数 y = x² 的图象是一条抛物线。它有一条重要的直线——对称轴，这里就是y轴。抛物线与对称轴的交点，我们称之为顶点，坐标是(0, 0)。对于y = x²的图象，这个顶点是整个图象的最低点。 ‹#› 新知探究 思考交流 思考：函数的图象是什么形状？它与的图象有什么关系？ 猜想：它的图象可能是一条抛物线，且与的图象关于轴对称？ ✏动手实践：请同学们仿照画的方法，绘制的图象 步骤 1；步骤 2；步骤 3。 1.7.2013 我们已经学会了画 y = x² 的图象。现在请大家思考一个问题：函数 y = -x² 的图象会是什么样子呢？它和 y = x² 的图象有什么关系？请同学们拿出练习本，仿照刚才的步骤，自己动手画一画 y = -x² 的图象。 ‹#› 新知探究 对比与 的图象特征 01 开口方向：的图象开口向上，的图象开口向下。 02 对称性： 两条抛物线均关于 轴对称，对称轴为直线 。 03 顶点坐标： 两者的顶点均为坐标原点，也是抛物线的最值点。 04 图象关系：的图象可看作是的图象关于轴翻折得到的。 核心结论：二次项系数的符号决定抛物线的开口方向，决定开口大小。 归纳总结 1.7.2013 好，我们一起来看一下。当我们把 y = x² 和 y = -x² 的图象画在同一个坐标系中时，可以清晰地看到它们的异同。它们的对称轴都是y轴，顶点都是原点。但最大的不同在于开口方向：y = x² 开口向上，而 y = -x² 开口向下。实际上，y = -x² 的图象就是 y = x² 的图象沿着x轴翻折得到的。 ‹#› 新知探究 探究活动 01. 核心探究任务 在同一坐标系中，画出函数 和 的图象，并与 的图象对比，观察开口大小的变化。 02. 实践操作步骤 采用描点法，选取 计算对应 值，绘制三条抛物线. 对比三条曲线的开口宽窄，尝试描述 数值变化与开口大小的关系。 1.7.2013 我们已经知道了a的符号决定开口方向，那么a的绝对值又会对图象产生什么影响呢？接下来，我们来探究一下。请大家在同一个坐标系中，画出 y = ½x² 和 y = 2x² 的图象，并和 y = x² 的图象进行比较，看看它们的开口大小有什么变化。 ‹#› 新知探究 决定抛物线的开口宽窄 对比函数：的图象特征： ① 函数 的图象开口最 窄 ，图象形态更“瘦”； ② 函数 的图象开口宽度处于中等水平； ③ 函数的图象开口最 宽 ，图象形态更“胖”。 规律总结： 二次项系数的绝对值 越大，抛物线的开口就越窄； 越小，抛物线的开口就越宽。 探究总结 1.7.2013 大家画好了吗？我们一起来观察这三条抛物线。可以看到，y = 2x² 的图象开口最窄，显得比较“瘦”；y = x² 的图象开口适中；而 y = ½x² 的图象开口最宽，显得比较“胖”。这说明a的绝对值确实会影响抛物线的开口大小。 ‹#› 新知探究 结论： 的符号决定抛物线的开口方向 1. 当 时，抛物线开口向上，图像呈“U”型，此时函数有最小值，顶点为最低点。 2. 当 时，抛物线开口向下，图像呈“∩”型，此时函数有最大值，顶点为最高点。 核心要点总结： 的正负是判断抛物线开口方向的核心依据；此外， 的大小决定开口宽窄—— 越大，开口越窄； 越小，开口越宽。 探究总结 1.7.2013 通过刚才的对比，我们可以得出一个重要的结论：在二次函数 y = ax² 中，参数 a 的符号决定了抛物线的开口方向。当 a 大于0时，抛物线开口向上；当 a 小于0时，抛物线开口向下。这是我们判断抛物线开口方向的关键。 ‹#› 新知探究 性质解读（一）：开口与最值 01 开口方向决定函数最值 当 时，抛物线开口向上，顶点是图象的最低点，此时函数取得最小值； 当时，抛物线开口向下，顶点是图象的最高点，此时函数取得最大值。 02 最值的位置特征 二次函数的最值恒在顶点处取得。对于基础形式 ，其顶点坐标为 (0, 0)，因此当时，函数取得最值 0。 口诀速记：正上负下，顶点定最值。 归纳总结 1.7.2013 我们来深入解读一下这些性质。首先是开口方向和最值的关系。大家可以想象一下，开口向上的抛物线就像一个山谷，底部是最低点，所以函数有最小值；而开口向下的抛物线像一座山峰，顶部是最高点，所以函数有最大值。这个最值都出现在顶点位置，也就是x=0的时候，最值是0。 ‹#› 归纳总结 新知探究 性质解读（二）：对称轴与增减性 核心规律：二次函数以轴集直线为对称轴，它的增减性是相对于对称轴而言的，可结合抛物线的开口方向（“山谷”与“山峰”）来直观理解。 ① 当 时（开口向上，形如“山谷”） 对称轴左侧： 随 的增大而减小（沿轴正方向走“下坡”）； 对称轴右侧： 随 的增大而增大（沿轴正方向走“上坡”）； 记忆口诀：左减右增，顶点为函数的最小值点。 1.7.2013 接下来是增减性。增减性必须相对于对称轴来讨论。我们可以把抛物线想象成一座山。当a>0时，是山谷，对称轴左边是上坡，y随x增大而减小；右边是下坡，y随x增大而增大。当a<0时，是山峰，对称轴左边是上坡，y随x增大而增大；右边是下坡，y随x增大而减小。 ‹#› 归纳总结 新知探究 性质解读（二）：对称轴与增减性 核心规律：二次函数以轴即直线为对称轴，它的增减性是相对于对称轴而言的，可结合抛物线的开口方向（“山谷”与“山峰”）来直观理解。 ② 当 时（开口向下，形如“山峰”） 对称轴左侧 随的增大而增大（沿轴正方向走“上坡”）； 对称轴右侧随的增大而减小（沿轴正方向走“下坡”）； 记忆口诀：左增右减，顶点为函数的最大值点。 1.7.2013 接下来是增减性。增减性必须相对于对称轴来讨论。我们可以把抛物线想象成一座山。当a>0时，是山谷，对称轴左边是上坡，y随x增大而减小；右边是下坡，y随x增大而增大。当a<0时，是山峰，对称轴左边是上坡，y随x增大而增大；右边是下坡，y随x增大而减小。 ‹#› 例题讲解 例1：探究二次函数的性质 已知二次函数解析式为，请结合二次函数的基本性质，逐一分析并解答以下问题： 01. 基础图像特征 请说出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标，并简述判断的依据。 02. 函数增减性分析 当自变量取何值时，函数值随的增大而增大？当取何值时，随的增大而减小？ 03. 函数最值判定 该函数是否存在最大值或最小值？若存在，请求出此时x的取值以及对应的函数最值。 解题思路提示： 紧扣 的核心性质：系数的正负决定开口方向；对称轴为轴（），顶点为原点(0,0)；结合开口方向即可判断函数的增减区间与最值类型。 实战演练 1.7.2013 理论学习完了，我们来看一个例题，检验一下大家的掌握情况。对于函数 y = -5x²，请大家思考这三个问题：它的开口方向、对称轴和顶点坐标是什么？它的增减性如何？它有没有最值？如果有，是最大值还是最小值？值是多少？ ‹#› 题型探究 【分析】 将函数与标准形式 对比，可得系数 ，以此判断函数性质。 【解答】 01. 图象基本特征： ∵ < 0，∴ 抛物线开口向下；对称轴为轴（直线 ）；顶点坐标为(0, 0)。 02. 函数增减性规律： ① 当 （对称轴左侧）时， 随 的增大而增大； ② 当 （对称轴右侧）时， 随 的增大而减小。 03. 函数最值情况： ∵ 抛物线开口向下，∴ 函数有最大值；当 时，函数取得最大值，即 最大值。 1.7.2013 我们来一起分析。首先，a=-5，小于0，所以开口向下。对称轴是y轴，顶点坐标是(0,0)。因为开口向下，所以在对称轴左侧，也就是x小于0时，y随x增大而增大；在对称轴右侧，也就是x大于0时，y随x增大而减小。最后，开口向下，函数有最大值，在顶点x=0处取得，最大值是0。大家都做对了吗？ ‹#› 课堂练习（一） 1. (1) 抛物线 的开口向 ______，对称轴是 __________，顶点坐标是 ______；当 ______ 时， 有最 ______ 值，是 ______。 (2) 抛物线 的开口向 ______，对称轴是 __________，顶点坐标是 ______；当 ______ 时， 有最 ______ 值，是 ______。 规律总结： 的符号决定开口方向（正上负下）；顶点始终为原点(0,0)，对称轴为轴。 抛物线性质巩固 上 轴（或） (0,0) 0 小 0 下 轴（或） (0,0) 0 大 0 1.7.2013 接下来是课堂练习时间。请大家完成第一题的填空。这道题考察的是最基本的性质，大家要根据a的符号来判断开口方向、最值，同时记住对称轴和顶点坐标都是固定的。 ‹#› 课堂练习（二） 2.对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向上　　 B. 当时，随的增大而增大 C. 图象的对称轴是 轴　　　　D. 顶点坐标是(0, 0) 3. 在下列函数中，图象开口最宽的是（ ） A. 　　　　　　　　B. C. 　　　　　　D. 4.对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B.0时，y随x增大而增大 C. 对称轴是直线 D. 顶点坐标是(0, 0) D C D 1.7.2013 接下来是两道选择题。第二题考察的是对 y = -x² 性质的理解。第三题考察的是 |a| 对开口宽窄的影响，记住，|a| 越小，开口越宽。请大家仔细思考，选出正确答案。 ‹#› 练习（二）解析 5. 已知点 在抛物线 上，比较 和 的大小。 解：方法一：直接代入求值法 核心技巧：比较函数值大小，可通过“代入计算”或“开口方向+对称轴”分析增减性。 1.7.2013 我们来分析一下。第二题，y = -x²，a=-1小于0，开口向下，所以A错。x>0时，y随x增大而减小，所以B错。对称轴是y轴，所以C错。顶点坐标是(0,0)，D正确。第三题，比较|a|的大小，|½|最小，所以开口最宽，答案是C。 ‹#› 课堂小结 二次函数图象与性质核心回顾 一、图象绘制方法 描点法：列表取值（取对称点）→ 描点定位 → 平滑连线成抛物线。 二、核心几何概念 形状为抛物线，对称轴是轴（直线），顶点坐标为原点(0, 0)。 三、关键图象性质 开口：向上，向下；宽窄：越大开口越窄；增减性：对称轴两侧单调性相反；最值：顶点处取极值（有最小值，有最大值）。 1.7.2013 好了，一节课的时间很快就过去了。我们来回顾一下本节课的主要内容。我们学习了用描点法画 y = ax² 的图象，认识了抛物线、对称轴和顶点这些核心概念。最重要的是，我们掌握了a的符号和绝对值对图象性质的影响，包括开口方向、开口宽窄、增减性和最值。 ‹#› 课堂小结 二次函数的图象特征 图象形状：是一条关于轴对称的抛物线； 对称轴：直线（即轴）； 顶点坐标：原点 (0, 0)。 系数 对函数性质的影响 1. 开口方向与最值： 当 时，抛物线开口向上，顶点是最低点，函数有最小值 0； 当 时，抛物线开口向下，顶点是最高点，函数有最大值 0。 2. 开口大小与增减性： 越大，抛物线开口越窄；越小，抛物线开口越宽； 增减性随开口方向和对称轴两侧变化，遵循“左减右增（）”或“左增右减（）”规律。 1.7.2013 这张图更简洁地展示了我们本节课的知识体系。从图象到性质，大家要把这些知识点串联起来，形成一个完整的知识网络。特别是a的作用，是本节课的重中之重，一定要牢牢掌握。 ‹#› 课堂小结 二次函数的图象与性质归纳 一、当 时 图象特征：开口向上的抛物线，对称轴为轴（直线），顶点坐标为(0, 0)。 增减规律：对称轴左侧()，随增大而减小；右侧()，随增大而增大。 函数最值：当时，取得最小值 0。 二、当 时 图象特征：开口向下的抛物线，对称轴为轴（直线），顶点坐标为(0, 0)。 增减规律：对称轴左侧()，随增大而增大；右侧()，随增大而减小。 函数最值：当时，取得最大值 0。 核心结论： 的符号决定抛物线的开口方向，对称轴始终为y轴，顶点均为原点；增减性与最值规律随开口方向呈现相反特征。 1.7.2013 现在，我们把所有探究的结果汇总起来，形成一个完整的知识体系。这张表格清晰地展示了二次函数 y = ax² 在 a>0 和 a<0 两种情况下的图象和性质。包括开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及最值。请同学们仔细观察和记忆。 ‹#› 作业布置 基础题： 完成教材P48页练习第1、2题，重点巩固二次函数的基本定义、表达式及简单计算。 提高题： 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象，并结合图象详细说明它们在开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性方面的异同点。 思考题： 已知二次函数的图象经过点 (2, -8)，请求出参数 的值，并据此判断该函数图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标，尝试写出该函数的性质。 1.7.2013 为了巩固今天所学的知识，我给大家布置了三道课后作业。基础题帮助大家巩固基本概念和性质。提高题要求大家动手画图，并进行对比分析。思考题则需要大家结合代入法来解决问题。希望大家认真完成。 ‹#› 北师版·九年级上册 感谢聆听! 二次函数——数学之美 1.7.2013 今天的课就到这里。二次函数的世界还有更多奥秘等待我们去探索，希望大家能保持好奇心，继续在数学的海洋里遨游。感谢同学们的认真聆听！下课！ ‹#› $