3.2《探索三角形相似的条件》第4课时 教学课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦黄金分割的概念、黄金比计算及应用，通过观察五角星中的相等角和线段，结合已学的三角形相似条件，引导学生发现比例关系，构建从相似到黄金分割的学习支架。 其亮点在于以五角星情境激发兴趣，推导黄金比时渗透方程思想培养推理能力，结合帕提侬神庙等建筑艺术实例感受数学美。体现数学眼光（几何直观）、数学思维（推理能力），帮助学生理解应用，教师可利用题型训练提升教学效果。

北师版·九年级上册 第三章 图形的相似 3.2 探索三角形相似的条件 第4课时 黄金分割 1.7.2013 Click to add text ‹#› 学 习 目 标 理解黄金分割的概念，掌握黄金比的计算方法，能运用黄金分割解决实际问题。 经历探索黄金分割的过程，体会比例线段的数学思想， 培养推理能力。 感受数学之美，了解黄金分割在建筑、艺术、自然界中的广泛应用。 1.7.2013 Click to add text ‹#› 情景引入 观察美丽的五角星 1. 五角星中有哪些相等的角和线段？ 2. 五角星的各边是如何分割的？ 3. 小亮猜想：与的比等于与 的比，你同意吗？ 五角星具有完美的对称性，蕴含着 数学奥秘——黄金分割！ 1.7.2013 ‹#› 新知探究 1. 五角星中有哪些相等的角和线段？ 图中相等的角有；； ； 相等的线段有； 1.7.2013 Click to add text ‹#› 新知探究 2. 五角星的各边是如何分割的？ 被和分割为； 被和分割为等。 3. 小亮猜想：与的比等于与 的比，你同意吗？ 1.7.2013 Click to add text ‹#› 新知探究 通过前面计算可证明，。 ，即。 故小亮的猜想是正确的。 同样可以得出。 这里线段AB上点C和点L是两个特殊的点， 我们把它叫作“黄金分割点”。 1.7.2013 Click to add text ‹#› 新知探究 黄金分割的定义 一般地，点把线段分成两条线段和，如果， 那么称线段黄金分割，点的黄金分割点，的比叫作黄金比。 注意：也常常写着。 核心要素：①黄金分割点 ②黄金比 ③比例中项 1.7.2013 Click to add text ‹#› 新知探究 计算黄金比 如图，设，点是的黄金分割点，且。求的长。 分析： 由黄金分割定义，与的比等于与的比。 设，则。 代入定义，列方程求解。 实操计算 1.7.2013 Click to add text ‹#› 新知探究 推导过程 由黄金分割定义： 设，，代入得： 即 实操计算 1.7.2013 Click to add text ‹#› 整理方程： , 用求根公式解得： . 因为，所以取正根： . 即黄金比. 新知探究 实操计算 1.7.2013 Click to add text ‹#› 归纳总结 新知探究 黄金分割的要点 ① 定义：点分为和，若与的比等于与的比，则称被点黄金分割。 ② 黄金比： ≈ ③ 黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点，它们关于线段中点对称。如图，即=。 ④ 数学思想：方程思想、比例思想、数形结合思想。 1.7.2013 ‹#› 新知探究 思考交流 一条线段有几个黄金分割点？它们之间有什么关系？ 答：一条线段有两个黄金分割点，它们关于线段中点对称。 黄金比为什么是无理数？它有什么特殊性质？ 答：黄金比是无理数，它满足 ，即黄金比的平方等于黄金比加。 黄金分割在生活中有哪些应用？ 应用于建筑、美术等方面。 1.7.2013 Click to add text ‹#› 新知探究 如图是古希腊时期的帕提侬神庙，如果把左图中用虚线表示的矩形画成右图中的，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，，点E是AB的黄金分割点吗矩形的宽与长的比是黄金比吗 尝试思考 1.7.2013 Click to add text ‹#› 新知探究 黄金矩形 定义：如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，那么这个矩形叫作黄金矩形。 宽与长的比 = ≈ 黄金矩形的特点： 从黄金矩形中去掉一个正方形后，剩下的矩形仍是黄金矩形。 这个过程可以无限进行下去，形成黄金螺旋。 尝试思考 1.7.2013 Click to add text ‹#› 新知探究 黄金矩形的性质 性质：自相似性 黄金矩形去掉一个正方形后，剩余矩形仍是黄金矩形，比例不变。 性质：黄金螺旋 在每个正方形中画四分之一圆弧，连接起来形成黄金螺旋，在自然界中广泛存在。 性质：美感 黄金矩形被认为是最具美感的矩形，在建筑、艺术、设计中被广泛应用。 思考结论 1.7.2013 Click to add text ‹#› 新知探究 黄金矩形的应用 建筑领域： 古希腊帕提侬神庙的宽高比接近黄金比，是建筑史上的经典之作。 艺术领域： 达·芬奇的《蒙娜丽莎》《最后的晚餐》等作品中多处运用了黄金分割比例。 设计领域： 书籍、报纸、屏幕、卡片等常用黄金矩形比例，如A4纸的比例接近黄金比。 思考结论 1.7.2013 Click to add text ‹#› 题型探究 小亮 例：如图，已知线段，点是的黄金分割点，且，求的长。 题型一：求线段长度 1.7.2013 Click to add text ‹#› 题型探究 解：且 , . . 方法技巧：按黄金分割定义列比例式求解。 题型一：求线段长度 1.7.2013 Click to add text ‹#› 新知探究 建筑中的黄金分割 帕提侬神庙： 古希腊雅典的帕提侬神庙是黄金分割在建筑中的经典应用。神庙的宽与高的比接近黄金比，柱子的高度与间距也遵循黄金分割比例。 其他建筑： 埃及金字塔、巴黎圣母院、泰姬陵、上海东方明珠等著名建筑中都能找到黄金分割的影子。 黄金分割使建筑显得和谐、美观、庄重。 知识拓展 1.7.2013 Click to add text ‹#› 新知探究 艺术中的黄金分割 绘画作品： 达·芬奇的《蒙娜丽莎》中，人物的面部比例、身体比例都遵循黄金分割。《最后的晚餐》中，人物的排列和画面的构图也运用了黄金分割。 雕塑作品： 米开朗基罗的《大卫》、罗丹的《思想者》等经典雕塑中，人体各部分的比例都接近黄金分割。 黄金分割被称为"神圣比例"，是艺术创作的重要法则。 知识拓展 1.7.2013 ‹#› 新知探究 自然界中的黄金分割 植物界： 向日葵的种子排列、松果的鳞片排列、菠萝的果眼排列都遵循黄金螺旋，相邻种子的夹角约为（黄金角）。 动物界： 鹦鹉螺的外壳呈现完美的黄金螺旋，海星、海胆等海洋生物的身体结构也蕴含黄金分割。 课后思考：为什么自然界中普遍存在黄金分割？ 知识拓展 1.7.2013 Click to add text ‹#› 新知探究 人体中的黄金分割 人体比例： 符合黄金分割比例的人体被认为是最美的。肚脐是人体身高的黄金分割点，膝盖是肚脐到脚底的黄金分割点，肘关节是肩膀到指尖的黄金分割点。 面部比例： "三庭五眼"是中国传统的面部审美标准，其中也蕴含黄金分割。眼睛的宽度、鼻子的长度、嘴巴的宽度都接近黄金比例。 黄金分割是人体美的重要标准。 知识拓展 1.7.2013 Click to add text ‹#› 新知探究 尺规作图：作黄金分割点。 已知线段，用尺规作图法作出的黄金分割点。 实际操作 1.7.2013 ‹#› 新知探究 过点作的垂线，使。 2. 连接，以为圆心，为半径画弧，交于点。 3. 以为圆心，为半径画弧，交于点。 点C就是线段的黄金分割点！ 实际操作 1.7.2013 ‹#› 题型探究 例：如图，已知点是线段的黄金分割点，，求的长。 题型二：综合应用 1.7.2013 Click to add text ‹#› 题型探究 解：, , . . 题型二：综合应用 1.7.2013 Click to add text ‹#› 变式训练 已知点是线段的黄金分割点，且，则下列结论正确的是（ ） 答案： 2. 已知线段，点是的黄金分割点，且，则=____。 答案： 变式训练 1.7.2013 ‹#› 变式训练 变式训练 已知线段，点是的黄金分割点，则的长为（ ） 答案：（注意：一条线段有两个黄金分割点） 黄金矩形的长为，则宽为____。 答案： 1.7.2013 ‹#› 变式训练 变式训练 已知点C是线段AB的黄金分割点，，求AC和BC的长。 解：分两种情况： 情况一： 情况二： 易错点：一条线段有两个黄金分割点，注意分类讨论！ 1.7.2013 ‹#› 课堂小结 黄金分割知识体系 一、概念 黄金分割 → 黄金分割点 → 黄金比 → 黄金矩形. 二、计算 定义 → 列比例式 → 一元二次方程 → 求根公式 → 黄金比. 三、应用 建筑 → 艺术 → 自然界 → 人体 → 设计. 四、数学思想 方程思想、比例思想、数形结合思想、分类讨论思想. 1.7.2013 ‹#› 课堂小结 一、黄金分割的定义 一般地，点把线段分成两条线段和，如果， 那么称线段黄金分割，点的黄金分割点，的比叫作黄金比。 二、黄金比 ≈ 0.618. 三、黄金矩形与应用 宽与长的比等于黄金比的矩形；在建筑、艺术、自然界、人体中广泛应用。 1.7.2013 ‹#› 板书设计 黄金分割 一、定义 点分AB为AC和BC，若AC与AB的比= BC与AC的比，则称AB被点C黄金分割. 二、黄金比 . 三、黄金矩形 宽与长的比 = 黄金比. 四、应用 建筑、艺术、自然界、人体. 1.7.2013 第28页 ‹#› 作业布置 必做题： 课本第页习题3.3第1、2、3题; 2. 已知线段，点C是AB的黄金分割点，求AC的长. 选做题： 3. 用尺规作图法作一条线段的黄金分割点; 4. 寻找生活中的黄金分割实例，下节课分享. 1.7.2013 第25页 ‹#› 教学反思 成功之处： 通过五角星引入，激发学生兴趣，效果良好. 2. 黄金比的推导过程清晰，学生参与度高. 3. 拓展应用部分联系生活，学生感受数学之美. 不足之处： 1. 黄金比的推导过程时间稍紧，部分学生理解不够深入. 2. 尺规作图法未能在课堂上充分演示. 改进措施： 增加互动环节，让学生动手操作；尺规作图作为课后拓展. 1.7.2013 第29页 ‹#› 北师版·九年级上册 感谢聆听! 黄金分割——数学之美 1.7.2013 Click to add text ‹#› $