第二十五章 一元二次方程 单元测试培优提升卷2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年九年级上册数学第二十五章一元二次方程培优提升卷，以篮球赛、新能源汽车销售等真实情境为载体，融合运算能力、模型意识与创新意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|方程应用、根的判别式|结合单循环比赛、增长率问题考查抽象能力| |填空题|4/12|菱形性质、传播问题|以菱形周长、游戏传播为背景体现几何直观| |计算题|1/10|解方程|基础运算能力考查| |解答题|5/54|增长率、利润问题、几何应用|含新能源汽车销售方案、停车棚设计等综合题，分层设基础与能力设问，凸显模型意识与应用意识|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测(人教版专用) 第二十五章 一元二次方程培优提升卷 建议用时：60分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某校组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式，若共需安排场比赛，则班级的个数为(     ) A. B. C. D. 2.李师傅去年经营了一家商店，今年月份开始盈利，月份盈利元，月份盈利元．若从月到月，每月盈利的增长率都相同，则按照这个增长率，预计月份这家商店的盈利将达到(     ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 3.某小区计划在一个长，宽的矩形场地上，修建若干条同样宽的小路，竖直的路与平行，水平的路与平行，其余部分种草，已知草坪部分的总面积为，设小路宽，若满足方程，则修建的示意图是(     ) A. B. C. D. 4.已知是关于的方程的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，则的周长为(     ) A. B. C. 或 D. 或 5.已知方程的解是，，那么方程的解是(     ) A. ， B. ， C. ， D. ， 6.若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    ) A. 且 B. C. 且 D. 7.已知，则的值为(     ) A. B. C. D. 或 8.如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则下列线段的长一定是关于的一元二次方程的一个根的是(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.若菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为          ． 10.网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出一个“祝福”链接，将这个“祝福”链接发给个人，收到链接的人也需把链接发给相同数量的新人，经过两轮传播后，共有人参与了这个“祝福”链接的传播，则的值为          ． 11.已知，，是等腰三角形非等边三角形的三边长，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为          ． 12.如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆．按此规律排列下去，现已知第个图形中圆的个数是个，则的值          ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.用适当的方法解方程： ． ． 四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 某水果商场销售一种高档水果，原价为每千克元，连续两次降价后为每千克元，已知每次下降的百分率相同． 求每次下降的百分率． 在进货价不变的情况下，若每千克盈利元，每天可售出商场决定采取适当的涨价措施，经市场调查发现，若每千克涨价元，日销售量将减少现该商场要保证销售这种水果每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 15.本小题分 已知关于的一元二次方程． 试说明：无论取何值，此方程总有实数根 若该方程有两个实数根，，且，求的值． 16.本小题分 设，是关于的方程的两根． 当时，求及的值． 求证：． 17.本小题分 综合与实践： 制定某品牌新能源汽车的销售方案 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升 素材 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆车 素材 新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需要预估未来的销售量 素材 中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元辆的新能源汽车，经销一段时间后发现，当该款汽车售价定为万元辆时，平均每周售出辆售价每降低万元，平均每周多售出辆，该公司计划下调售价使平均每周的销售利润为万元 问题解决 任务 求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率 任务 根据素材，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价 18.本小题分 某商场将进价为每台元的台灯以每台元的价格售出，月销售台，月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，月的销售量达到台． 【基础设问】 求两个月销售量的月平均增长率． 从月起，在月销售量的基础上，商场决定降价促销经调查发现，每台的售价在元至元范围内，这种台灯每台的售价每降价元，其销售量增加台这种台灯售价定为每台多少元时，商场月销售这种台灯能获利元 【能力设问】 为了扩大销售品类，该商场负责人去某市参加商品订货会，参加商品订货会的每两家公司都签订了一份合同，所有参加商品订货会的公司共签订了份合同，则共有多少家公司参加了这次商品订货会 如图，该商场在大楼后面搭建了两个简易的矩形停车棚，一边利用大楼的后墙墙长为，其他的边用总长为的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口备注：规划在距后墙的范围内设置停车位 若设停车棚的宽为，则停车棚的长为____． 若停车棚的面积为，试求出停车棚的长和宽． 若该商场拟利用现有栅栏对停车棚进行扩建，则能围成面积为的停车棚吗如果能，请你给出设计方案如果不能，请你说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(人教版专用) 第二十五章 一元二次方程培优提升卷 建议用时：60分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某校组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式，若共需安排场比赛，则班级的个数为(    ) A. B. C. D. 【答案】 【分析】 单循环赛制：个班级，每两个班打一场，总比赛场数为，据此列一元二次方程求解，舍去负根。 【详解】 解：设班级个数为。 解得（班级数不能为负，舍去），，选。 2.李师傅去年经营了一家商店，今年月份开始盈利，月份盈利元，月份盈利元．若从月到月，每月盈利的增长率都相同，则按照这个增长率，预计月份这家商店的盈利将达到(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】 【分析】 平均增长率模型：基数，增长率，经过两次增长后；先求增长率，再计算 5 月份盈利。 【详解】 解：设每月盈利增长率为。 （增长率为正，舍去负解），得。 5 月份盈利：元，选。 3.某小区计划在一个长，宽的矩形场地上，修建若干条同样宽的小路，竖直的路与平行，水平的路与平行，其余部分种草，已知草坪部分的总面积为，设小路宽，若满足方程，则修建的示意图是(    ) A. B. C. D. 【答案】 【分析】 先解出方程得到小路宽度，再分别算出每个选项拼接后草坪面积，与比对选出正确图。 【详解】 解：解方程，，。 场地长，宽，故舍去，小路宽。 A：草坪面积； B：草坪面积； C：草坪面积，符合条件； D：草坪面积。 故选。 4.已知是关于的方程的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，则的周长为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】 【分析】 把已知根代入方程求出参数，解出方程两根；等腰三角形要分两种腰的情况，同时满足三角形三边关系，再计算周长。 【详解】 解：将代入方程： 原方程变为，因式分解：，两根。 ①三边为，满足三边关系，周长； ②三边为，满足三边关系，周长。 周长为或，选。 5.已知方程的解是，，那么方程的解是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】 【分析】 换元思想，令，则新方程等价于，利用已知方程的解，得到的值，再回代求。 【详解】 解：设，原方程化为。 已知。 ；。 ，选。 6.若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    ) A. 且 B. C. 且 D. 【答案】 【分析】 一元二次方程两个条件：①二次项系数不为 0；②有两个实数根，联立不等式求解。 【详解】 解：是一元二次方程，。 综上：且，选。 7.已知，则的值为(    ) A. B. C. D. 或 【答案】 【分析】 换元法，令，注意平方和，解一元二次方程之后舍去负数解。 【详解】 解：令，。 解得。 ，舍去，，选。 8.如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则下列线段的长一定是关于的一元二次方程的一个根的是(    ) A. B. C. D. 【答案】 【分析】 先用勾股定理求斜边，得到，；再解一元二次方程，对比线段长度，判断哪条线段等于方程正根。 【详解】 解：， 。 由题意：， ，。 解方程，公式法： 线段长度为正数，取正根： 该正根恰好等于，故选。 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.若菱形的一条对角线长为，边的长是方程的一个根，则该菱形的周长为          ． 【答案】 【分析】 先解一元二次方程得到边长两个候选值；结合菱形对角线与边长的三角形三边关系舍去不合理的值，再算周长。 【详解】 解：解方程，，。 菱形对角线长，对角线一半是；菱形边长、半对角线构成直角三角形，斜边必须大于直角边。 若边长为，直角三角形斜边，直角边，不能构成三角形，舍去； 边长取，菱形周长。 10.网上流行一个游戏，发起游戏的人首先发出一个“祝福”链接，将这个“祝福”链接发给个人，收到链接的人也需把链接发给相同数量的新人，经过两轮传播后，共有人参与了这个“祝福”链接的传播，则的值为          ． 【答案】 【分析】 两轮传播模型：初始人，第一轮新增人，第二轮新增人，总人数，列方程求解，舍去负根。 【详解】 解： 解得（人数不能负，舍去），。 11.已知，，是等腰三角形非等边三角形的三边长，且，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为          ． 【答案】或 【分析】 韦达定理：；等腰非等边三角形，分两类：①；②是其中一条腰，分别讨论，检验三边。 【详解】 解：由韦达定理，。 ①若，则，三边，非等边，符合题意；。 ②若是其中一个根，把代入方程：；方程，根，三边，非等边，符合题意。 或。 12.如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆，第个图形中一共有个圆．按此规律排列下去，现已知第个图形中圆的个数是个，则的值          ． 【答案】 【分析】 先找图形圆个数通项公式：；令式子等于解方程，舍去负根。 【详解】 解：第个图形圆的个数：。 解得（舍去），。 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.用适当的方法解方程： ． ． 【答案】 (1) 解：∵a＝1，b＝-1，c＝-1， ∴Δ＝b2-4ac＝(-1)2-4×1×(-1)＝5＞0． ∴． ∴，．  (2)(x-2)2-2(x-2)＝0， (x-2-2)(x-2)＝0， (x-4)(x-2)＝0， x-4＝0或x-2＝0， ∴x1＝4，x2＝2．  四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 某水果商场销售一种高档水果，原价为每千克元，连续两次降价后为每千克元，已知每次下降的百分率相同． 求每次下降的百分率． 在进货价不变的情况下，若每千克盈利元，每天可售出商场决定采取适当的涨价措施，经市场调查发现，若每千克涨价元，日销售量将减少现该商场要保证销售这种水果每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】 (1) 解：设每次下降的百分率为a．  根据题意，得50(1-a)2＝32，  解得a1＝1.8（舍去），a2＝0.2＝20%．  答：每次下降的百分率为20%．  (2)设每千克应涨价x元．  根据题意，得(10+x)(500-20x)＝6000，  整理，得x2-15x+50＝0，  解得x1＝5，x2＝10． ∵要尽快减少库存， ∴x＝5符合题意．  答：每千克应涨价5元．  15.本小题10分 已知关于的一元二次方程． 试说明：无论取何值，此方程总有实数根 若该方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】 (1)解:由题意得=-4ac=-16m=-8m+16=0, 此方程总有实数根. (2)根据题意得+=-(m+4),=4m, ++=8, -(m+4)+4m=8, 解得m=.  16.本小题分 设，是关于的方程的两根． 当时，求及的值． 求证：． 【答案】(1)把代入方程，得， ， ，即， 解得，， 故，. (2)证明：方程可化为， ， 原方程有两个不相同实数根， ，， ， 又， . 17.本小题分 综合与实践： 制定某品牌新能源汽车的销售方案 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升 素材 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆车 素材 新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需要预估未来的销售量 素材 中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元辆的新能源汽车，经销一段时间后发现，当该款汽车售价定为万元辆时，平均每周售出辆售价每降低万元，平均每周多售出辆，该公司计划下调售价使平均每周的销售利润为万元 问题解决 任务 求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率 任务 根据素材，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价 【答案】 解：任务设从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得，不符合题意，舍去． 答：从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 任务设下调后每辆汽车的售价为万元，则每辆汽车的销售利润为万元，平均每周可售出辆． 根据题意，得， 整理，得， 解得，． 又要尽量让利于顾客， ． 答：下调后每辆汽车的售价为万元．  18.本小题12分 某商场将进价为每台元的台灯以每台元的价格售出，月销售台，月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，月的销售量达到台． 【基础设问】 求两个月销售量的月平均增长率． 从月起，在月销售量的基础上，商场决定降价促销经调查发现，每台的售价在元至元范围内，这种台灯每台的售价每降价元，其销售量增加台这种台灯售价定为每台多少元时，商场月销售这种台灯能获利元 【能力设问】 为了扩大销售品类，该商场负责人去某市参加商品订货会，参加商品订货会的每两家公司都签订了一份合同，所有参加商品订货会的公司共签订了份合同，则共有多少家公司参加了这次商品订货会 如图，该商场在大楼后面搭建了两个简易的矩形停车棚，一边利用大楼的后墙墙长为，其他的边用总长为的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口备注：规划在距后墙的范围内设置停车位 若设停车棚的宽为，则停车棚的长为____． 若停车棚的面积为，试求出停车棚的长和宽． 若该商场拟利用现有栅栏对停车棚进行扩建，则能围成面积为的停车棚吗如果能，请你给出设计方案如果不能，请你说明理由． 【答案】 (1)解:(1)设两个月销售量的月平均增长率为m. 根据题意,得400=576, 解得==20%,=-(不合题意,舍去). 答:两个月销售量的月平均增长率为20%. (2)设这种台灯每台降价n元. 根据题意,得(576+12n)(40-30-n)=4800, 解得=2,=-40(不合题意,舍去), 这种台灯每台的售价应定为40-2=38(元). (3)设共有b家公司参加了这次商品订货会, 根据题意,得b(b-1)=36, 解得=9,=-8(不合题意,舍去). 答:共有9家公司参加了这次商品订货会. (4)(72-3x) BC=70-2(x-1)-x=(72-3x)(m). ②由(4)和题意得,x(72-3x)=285, 解得=5,=. 规划在距后墙7m的范围内设置停车位, x=5, 将x=5代入72-3x,得72-35=57<60,满足题意, 停车棚的宽为5m,停车棚的长为57m. ③不能.理由如下: 设扩建后停车棚的宽为y m,则长为(72-3y)m. 根据题意,得y(72-3y)=450, 整理,得-24y+150=0, =-4ac=-41150=-24<0, 方程没有实数根, 不能围成面积为450的停车棚.   学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $