第二十五章 一元二次方程（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程单元提升卷，覆盖定义、解法、根的判别式及实际应用等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，渗透抽象能力、模型意识与创新意识，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、根的判别式、系数关系|如第7题结合菱形对角线与方程根，体现几何直观| |填空题|6/18|方程应用、新定义运算|如第13题等腰三角形边长与方程根，考查推理意识| |解答题|8/72|解法、实际应用、创新题型|如23题荔枝销售利润问题（模型意识）、24题“两根点”新定义（创新意识）|

第二十五章 一元二次方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（ ） A． B． C．1 D．2 3．关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A．1，2，5 B． C． D． 4．不解方程，判断方程的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等实数根 D．无法确定 5．已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 且 6．关于x的方程的两根为1和，则a，c的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 7．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（ ） A． B． C． D． 8．某学校组织篮球比赛，每两队之间比赛一场，共有36场比赛，设参加的队数为，根据题意列出方程为（ ） A． B． C． D． 9．为实施国家劳动教育课程实验，某校开发出一块长为30米、宽为25米的长方形菜园（如图），为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ） A． B． C． D． 10．设是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．方程化为一般形式后，当二次系数为正数时，一次项系数是________． 12．已知关于的方程有一个根1，那么__________． 13．若等腰三角形的一边长是5，另两边的长是关于x的方程的两个根，则m的值为_____． 14．已知实数，满足，且，则的值为______． 15．已知一元二次方程的两个实根为，，若，则的取值范围为______． 16．为了宣传垃圾分类，小王在自己的微博上发表了一封倡议书，并邀请了x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请了x个互不相同的好友转发，若经过两轮转发后，共有157个人参与了本次活动，则可列方程______． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 18．（8分）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)当k取满足条件的最大整数时，求该方程的根． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)当时，方程的两个实数根恰好是一个三角形两边的长，那么这个三角形的第三边的长可能是5吗？为什么？ 21．（10分）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程根的情况，并说明理由． (2)若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 22．（10分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若等腰三角形的两边，的长是上述方程的两个根，当为5时，求k的值． 23．（10分）“荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱，某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元，调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x元． (1)当一千克荔枝降价6元时，每天销量可达______千克，每天共盈利______元； (2)若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？ 24．（10分）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． (1)请你直接写出方程的“两根点”P的坐标； (2)点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求“两根点”P的坐标． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，故不合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、是分式方程，故不合题意； D、当时，不是一元二次方程，故不合题意； 故选：B． 2．关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了方程根的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根．把代入，转化为m的方程求解即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 故选：A． 3．关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A．1，2，5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项．熟练掌握一元二次方程的一般形式，是解题的关键．根据一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项的定义，进行解答即可． 【详解】解：由题意知，一元二次方程的二次项系数，一次项系数，常数项分别是， 故选：B． 4．不解方程，判断方程的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，即可解答． 【详解】解：根据题意得， ∴方程有两个不相等实数根． 故选：C． 5．已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题关键是掌握一元二次方程的定义及根的判别式． 根据一元二次方程的定义及根的判别式求解，先得出二次项系数不为零，再需要满足判别式需大于零，解这个不等式即可． 【详解】解：方程为一元二次方程，故， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴需满足， 解得：， ∴的取值范围为且， 故选：D． 6．关于x的方程的两根为1和，则a，c的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数关系构建方程求解． 【详解】解：∵关于x的方程的两根为1和， ∴，， ∴，， 经检验均符合题意 ， 故选：B． 7．若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．首先根据一元二次方程根与系数的关系得到、，再根据菱形的面积公式求出，利用菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理可以得到菱形的边长为，然后再经计算求解． 【详解】解：设、是关于的一元二次方程的两个实数根， 则菱形的两条对角线的长为、， ，， 根据菱形的面积为可得：， ， 菱形的对角线互相垂直平分， 菱形的边长为： ， ． 故选：C． 8．某学校组织篮球比赛，每两队之间比赛一场，共有36场比赛，设参加的队数为，根据题意列出方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，每两队比赛一场，则每支队伍需与别的支队伍各赛一场．此时每场比赛会被计算两次（如甲队与乙队的比赛既算作甲队的比赛，也算作乙队的比赛），因此总比赛场数为场，据此列方程即可． 【详解】解：设有支队伍参赛， 由题意得，， 故选：C． 9．为实施国家劳动教育课程实验，某校开发出一块长为30米、宽为25米的长方形菜园（如图），为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意用x表示出矩形的长和宽是解题的关键．由题意得种植的矩形的长为，宽为，即可求解． 【详解】解：∵小道的宽为x米， ∴需要种植的矩形的长为米，宽为米， 则， 故选：A． 10．设是两个整数，若定义一种运算“”，，则方程的实数根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查定义新运算，解一元二次方程的运用，理解新定义，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，左边化为完全平方式，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：，即， 解得：． 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．方程化为一般形式后，当二次系数为正数时，一次项系数是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及有关概念，先移项，得到其一般式，由此得到答案． 【详解】解：， 移项，得， 它的一次项系数是， 故答案为：． 12．已知关于的方程有一个根1，那么__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，将代入方程，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程有一个根1， ∴， 故答案为：． 13．若等腰三角形的一边长是5，另两边的长是关于x的方程的两个根，则m的值为_____． 【答案】10或 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解一元二次方程，三角形三边之间的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解法是解题的关键．分两种情况讨论：当底边长为5时；当腰长为5时；分别解方程即可求得的值．注意：求得的值之后，一定要将的值代入原方程并解方程，以便求得等腰三角形的三边并验证其是否满足三角形三边之间的关系． 【详解】解：分两种情况： 当底边长为5时， 则腰长为方程的两个根， 两根相等， ， 解得：， 此时方程化为， 即：， 解得：， ， 、、5满足三角形三边之间的关系； 当腰长为5时， 则是方程的一个根， ， 解得：， 此时方程化为， 即：， 解得：，， ， 、5、2满足三角形三边之间的关系； 综上所述，或10， 故答案为：或10． 14．已知实数，满足，且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了对根与系数的关系的理解和掌握，将原方程变为，得到，是方程的两个根，根据根与系数的关系得到关系式，代入求出即可，能熟练地根据根与系数的关系进行计算是解此题的关键． 【详解】∵方程可变为， 又∵实数，满足，且， ，是方程的两个根， ， 故答案为：． 15．已知一元二次方程的两个实根为，，若，则的取值范围为______． 【答案】且 【分析】本题先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为零，再利用根与系数的关系结合已知条件得到参数和的关系，最后根据方程有两个实根，判别式大于等于零求解的取值范围． 【详解】解： 方程 是一元二次方程，． 方程有两个实根 ， 判别式 ． 根据根与系数的关系得：，． ， ， 代入得：， 解得 ， 将 代入 得：， 即 ，解得 ， 综上， 的取值范围是 且 ． 16．为了宣传垃圾分类，小王在自己的微博上发表了一封倡议书，并邀请了x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请了x个互不相同的好友转发，若经过两轮转发后，共有157个人参与了本次活动，则可列方程______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得经过两轮转发后共有157个人参与了此活动，即可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：依题意，得：， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）方程运用因式分解法解答即可； （2）方程运用公式法解答即可 【详解】（1）解：， ， 或， ∴，； （2）解：， ∵，，， ∴ ． 18．（8分）阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：． 分析：本题实际上一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：， 或． 解得，，，． 请参考例题解法，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用，配方法解一元二次方程； （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，，把原方程化为，然后求解． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：或（舍去）， 即， 解得． （2）设，则， 则， ∴， 解得：（舍）或， 即， ∴， ∴， ∴ ∴ 解得：． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)当k取满足条件的最大整数时，求该方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）由题意可得，求解即可； （2）结合题意得出，从而可得原一元二次方程为，再解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵当k取满足条件的最大整数时，且， ∴， ∴原一元二次方程为， 解得，． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)当时，方程的两个实数根恰好是一个三角形两边的长，那么这个三角形的第三边的长可能是5吗？为什么？ 【答案】(1)且 (2)这个三角形的第三边的长不可能是5，理由见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，构成三角形的条件： （1）根据题意可知判别式大于等于0，再结合二次项系数不为0进行求解即可； （2）先解方程得到方程的两个解，进而确定三角形两条边的长，再根据三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边确定出第三边的长的范围即可得到结论． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴， 又∵二次项系数不为0， ∴， 综上所述，且； （2）解：这个三角形的第三边的长不可能是5，理由如下： 当时，原方程为， ∴， 解得或， ∴这个三角形的两边长为1，3， ∴第三边的长， ∴这个三角形的第三边的长不可能是5． 21．（10分）定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请判断关于x的方程根的情况，并说明理由． (2)若（1）中的方程两个实数根都是整数，且该方程是“倍根方程”，请求出a的值． 【答案】(1)时，该方程有两个不相等的实数根，时，该方程有两个相等的实数根，理由见解析 (2)a的值为3 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程的解法以及一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式的意义分析，即可求解； （2）根据因式分解法解方程解得，，然后根据“倍根方程”的定义且方程两个实数根都是整数，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）时，该方程有两个不相等的实数根，时，该方程有两个相等的实数根，理由如下： 解：因为， 则当时，， 所以该方程有两个不相等的实数根． 当时，， 所以该方程有两个相等的实数根． （2）由方程得， ， 解得，． 因为该方程是“倍根方程”， ①当时， 解得， 则因为方程的根为整数，故舍去． ②当时， 解得． 则为整数，符合题意． 所以的值为． 22．（10分）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若等腰三角形的两边，的长是上述方程的两个根，当为5时，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为5或4． 【分析】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及等腰三角形的性质； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出，的长，分当，时，两种情况讨论，即可得出结论． 【详解】（1）证明： ， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：， 即， 解得：，． 当时，三角形三边为5，5，6，，符合题意； 当时，即，三角形三边为5，5，4，，符合题意； 答：的值为5或4． 23．（10分）“荔枝”是深圳地方名优特产，深受消费者喜爱，某超市购进一批“荔枝”，进价为每千克24元，调查发现，当销售单价为每千克40元时，平均每天能售出20千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出2千克，设每千克降价x元． (1)当一千克荔枝降价6元时，每天销量可达______千克，每天共盈利______元； (2)若超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到330元，且让顾客得到实惠，则每千克应降价多少元？ 【答案】(1)； (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意：当销售单价为每千克元时，平均每天能售出千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出千克.即可得出结论; （2）由题意：超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到元，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】（1）解： 由题意得：销售数量为千克；利润为元； 故答案为：；； （2）由题意得:， 解得： ∵让顾客得到实惠， ， 答：销售利润每天达到元，且让顾客得到实惠，每千克应降价元． 24．（10分）定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为和，分别以为横、纵坐标得到点，则称点P为该一元二次方程的“两根点”． (1)请你直接写出方程的“两根点”P的坐标； (2)点P是关于x的一元二次方程的“两根点”，若点P在直线上，求“两根点”P的坐标． 【答案】(1) (2)“两根点”P的坐标为． 【分析】本题考查解一元二次方程、新定义、一次函数上点的坐标等知识点，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先解方程得到两根，然后根据“两根点”的定义即可解答； （2）先求出“两根点”点P，然后将点P的坐标代入即可求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以该方程的解为：，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点P在直线上， ∴， ∴． ∴“两根点”P的坐标为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．B 2．A 3．B 4．C 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．C 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11． 12． 13．10或 14． 15．且 16． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(1)， (2) 【分析】（1）方程运用因式分解法解答即可； （2）方程运用公式法解答即可 【详解】（1）解：， ， 或， ∴，； （2）解：， ∵，，， ∴ ． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用，配方法解一元二次方程； （1）设，把原方程化为，然后求解； （2）设，，把原方程化为，然后求解． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：或（舍去）， 即， 解得． （2）设，则， 则， ∴， 解得：（舍）或， 即， ∴， ∴， ∴ ∴ 解得：． 19．(1) (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）由题意可得，求解即可； （2）结合题意得出，从而可得原一元二次方程为，再解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵当k取满足条件的最大整数时，且， ∴， ∴原一元二次方程为， 解得，． 20．(1)且 (2)这个三角形的第三边的长不可能是5，理由见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，构成三角形的条件： （1）根据题意可知判别式大于等于0，再结合二次项系数不为0进行求解即可； （2）先解方程得到方程的两个解，进而确定三角形两条边的长，再根据三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边确定出第三边的长的范围即可得到结论． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴， 又∵二次项系数不为0， ∴， 综上所述，且； （2）解：这个三角形的第三边的长不可能是5，理由如下： 当时，原方程为， ∴， 解得或， ∴这个三角形的两边长为1，3， ∴第三边的长， ∴这个三角形的第三边的长不可能是5． 21．(1)时，该方程有两个不相等的实数根，时，该方程有两个相等的实数根，理由见解析 (2)a的值为3 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程的解法以及一元二次方程根的判别式的意义是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式的意义分析，即可求解； （2）根据因式分解法解方程解得，，然后根据“倍根方程”的定义且方程两个实数根都是整数，分类讨论，即可求解． 【详解】（1）时，该方程有两个不相等的实数根，时，该方程有两个相等的实数根，理由如下： 解：因为， 则当时，， 所以该方程有两个不相等的实数根． 当时，， 所以该方程有两个相等的实数根． （2）由方程得， ， 解得，． 因为该方程是“倍根方程”， ①当时， 解得， 则因为方程的根为整数，故舍去． ②当时， 解得． 则为整数，符合题意． 所以的值为． 22．(1)见解析 (2)的值为5或4． 【分析】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及等腰三角形的性质； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出方程有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法可求出，的长，分当，时，两种情况讨论，即可得出结论． 【详解】（1）证明： ， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：， 即， 解得：，． 当时，三角形三边为5，5，6，，符合题意； 当时，即，三角形三边为5，5，4，，符合题意； 答：的值为5或4． 23．(1)； (2)元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意：当销售单价为每千克元时，平均每天能售出千克，而当销售单价每降价1元时，平均每天能多售出千克.即可得出结论; （2）由题意：超市要使这种“荔枝”的销售利润每天达到元，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】（1）解： 由题意得：销售数量为千克；利润为元； 故答案为：；； （2）由题意得:， 解得： ∵让顾客得到实惠， ， 答：销售利润每天达到元，且让顾客得到实惠，每千克应降价元． 24．(1) (2)“两根点”P的坐标为． 【分析】本题考查解一元二次方程、新定义、一次函数上点的坐标等知识点，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先解方程得到两根，然后根据“两根点”的定义即可解答； （2）先求出“两根点”点P，然后将点P的坐标代入即可求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以该方程的解为：，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵点P在直线上， ∴， ∴． ∴“两根点”P的坐标为． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $