第二十五章 一元二次方程 单元测试基础巩固卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级上册数学第二十五章一元二次方程基础巩固卷，覆盖定义、解法、根的判别式及应用，注重基础与实践结合，适配单元复习，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|一元二次方程定义、配方法、根的判别式|基础概念辨析，如第1题定义判断，第4题判别式应用| |填空题|4/12|根的判别式、新定义运算|结合新运算（第11题“★”运算），考查知识迁移| |计算题|1/10|解方程|直接考查解法规范性| |解答题|5/54|方程应用、几何与方程结合|足球联赛（第16题）、羊圈围栏（第17题）等情境，培养模型意识；第18题结合三角形边长，发展推理能力|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测(人教版专用) 第二十五章 一元二次方程 基础巩固卷 建议用时：60分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】 【分析】 一元二次方程需要同时满足三个条件：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此逐个判断选项。 【详解】 解：A 选项，当时，二次项消失，不是一元二次方程； B 选项，是整式方程，只含未知数，最高次数是，符合一元二次方程定义； C 选项，方程含有两个未知数，属于二元二次方程； D 选项，整理得，当，二次项系数为 0，是一元一次方程。 综上，选。 2.用配方法解方程时，原方程变形为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是关键． 首先把常数项移到右边，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，即可得解． 【详解】 解：， ， ， ． 故选：． 3.如图，学校课外生物小组的实验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．若设小道的宽为米，则阴影部分可合成长为米，宽为米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：依题意，得：，即． 故选：． 4.方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】 【分析】利用根的判别式判断根的情况：两个不等实根；两个相等实根；没有实数根。 【详解】 解：这里 方程没有实数根，选。 5.若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】 【分析】先把方程整理成一元二次方程一般形式，利用韦达定理得到两根之和、两根之积，得到点坐标，再判断象限。第三象限点横纵坐标均为负数。 【详解】 解：整理方程：， 两根之和，两根之积 点坐标为，横、纵坐标都小于，点在第三象限，选。 6.若一元二次方程有实数根，则的取值范围是  (    ) A. B. C. 且 D. 且 【答案】 【分析】一元二次方程，首先二次项系数；方程有实数根，则判别式，联立不等式求解。 【详解】解：是一元二次方程， ，即，解得 综上：且，选。7.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 【答案】 【分析】方程是一元二次方程，则二次项系数不为；有两个实数根，判别式大于等于 0，解不等式。 【详解】 解：方程是一元二次方程且有两个实数根 ，得 且，选。 8.已知，，是三条边的长，那么方程的根的情况是(    ) A. 没有实数根 B. 有两个不相等的正实数根 C. 有两个异号实数根 D. 有两个不相等的负实数根 【答案】 【分析】先用判别式判断有无实根；再结合韦达定理看两根之和、两根之积正负，判断根的正负；三角形两边之和大于第三边。 【详解】 解：为三角形三边，，，即，方程有两个不等实数根。 设两根为 ， 两根乘积大于 0 说明两根同号；两根之和小于 0 说明两根都为负数。 方程有两个不相等负实数根，选。 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为          ． 【答案】 【分析】 一元二次方程有两个相等实数根，则判别式，代入参数列等式求。 【详解】 解： ，解得。 10.方程的解是          ． 【答案】 【分析】 移项，因式分解法解一元二次方程，不能直接两边除以，避免丢根。 【详解】 解： 或 ， 解得。 11.现定义运算“★”，对于任意实数a，b都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5．若x★2＝6，则实数x的值是          ． 【答案】或 【分析】读懂新定义运算，把代入运算公式得到一元二次方程，解方程即可。 【详解】 解：， 整理： 因式分解： 解得。 12.在一幅长，宽的风景画的四周镶一条金色纸边风景画四周的金色纸边宽度相同，制成一幅矩形挂图，如图，若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为，则所列方程为          ． 【答案】 【分析】 上下左右都加宽，挂图长变为，宽变为，矩形面积 = 长 × 宽。 【详解】 解：纸边宽，挂图长，宽，总面积， 。 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.解方程： ； ． 【答案】解：方程整理得：， 这里，，， ， ， 解得：，； 方程整理得：， 分解因式得：， 可得或， 解得：或．  四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 当为何值时，关于的方程是一元二次方程 已知关于的一元二次方程． 若方程有一个根是，求的值 若方程有一个根是，求的值． 【答案】 (1)解:关于x的方程(-1)+mx-2=0是一元二次方程, -10,解得m. (2)①关于x的一元二次方程(-1)+mx-3-m=0有一个根是0, 将x=0代入(-1)+mx-3-m=0 可得-3-m=0, 解得m=-. ②关于x的一元二次方程(-1)+mx-3-m=0有一个根是1, 将x=1代入(-1)+mx-3-m=0 可得-4=0, 解得m=. 15.本小题10分 已知关于的一元二次方程． 求证：方程有两个不相等的实数根； 若该方程有一根为，求的值和该方程的另一个根． 【答案】 (1) 由题意， 得Δ＝[－（m＋2）]2－4×1×（2m－1）＝m2＋4m＋4－8m＋4＝（m－2）2＋4． ∵（m－2）2≥0， ∴（m－2）2＋4＞0，即Δ＞0． ∴一元二次方程x2－（m＋2）x＋2m－1＝0有两个不相等的实数根  (2)设一元二次方程x2－（m＋2）x＋2m－1＝0的另一个根为α， 则1＋α＝m＋2，1×α＝2m－1． ∴1＋2m－1＝m＋2， 解得m＝2． ∴α＝2m－1＝3． ∴m的值为2，该方程的另一个根为3  16.本小题分 年江西省举行了城市足球超级联赛，宜春队和赣州队最终进入决赛本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区个队，北区个队，每个区进行主客场双循环小组积分赛每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛，各区取前四晋级决赛． 宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级，则宜春队第一阶段共参与了          场比赛． 如果北区第一阶段比赛总场数为场，求的值． 【答案】 (1)10  (2)由题意,得n(n-1)=20, 解得n=5或n=-4(舍去). 故n=.  17.本小题12分 根据下列问题列一元二次方程，并将所列方程化成一般形式： 用一根长的铁丝折成一个斜边长为的直角三角形，求这个直角三角形的直角边长 如图，用长的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，羊圈的一面靠墙墙足够长，求的长． 【答案】 (1)解:设这个直角三角形其中一条直角边长为x cm,则另一条直角边长为30-13-x=(17-x)cm. 根据题意,得+=, 化成一般形式为-17x+60=. (2)设AB的长为x m,由题意, 得x(100-4x)=400, 化成一般形式为-25x+100=.  18.本小题12分 已知关于的一元二次方程． 试判断上述方程根的情况． 已知的两边，的长是关于上述方程的两个实数根，的长为当为何值时，是以为斜边的直角三角形 【答案】 (1) =-4(+3k+2)=4+12k+9-4-12k-8=1>0, 方程有两个不相等的实数根.  (2)用公式法解方程-(2k+3)x++3k+2=0, 得=k+1,=k+. 设AB=k+1,AC=k+. ABC是以BC为斜边的直角三角形, A+A=B, 即+=25, 解得=2,=-5(舍去). 当k=2时,ABC是以BC为斜边的直角三角形.  学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测(人教版专用) 第二十五章 一元二次方程 基础巩固卷 建议用时：60分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是(     ) A. B. C. D. 2.用配方法解方程时，原方程变形为(     ) A. B. C. D. 3.如图，学校课外生物小组的实验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为(     ) A. B. C. D. 4.方程的根的情况是(     ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 5.若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于(     ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6.若一元二次方程有实数根，则的取值范围是  (     ) A. B. C. 且 D. 且 7.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是(     ) A. B. C. 且 D. 且 8.已知，，是三条边的长，那么方程的根的情况是(     ) A. 没有实数根 B. 有两个不相等的正实数根 C. 有两个异号实数根 D. 有两个不相等的负实数根 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为          ． 10.方程的解是          ． 11.现定义运算“★”，对于任意实数a，b都有a★b＝a2－3a＋b，如：3★5＝32－3×3＋5．若x★2＝6，则实数x的值是          ． 12.在一幅长，宽的风景画的四周镶一条金色纸边风景画四周的金色纸边宽度相同，制成一幅矩形挂图，如图，若要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽度为，则所列方程为           ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分。 13.解方程： ； ． 四、解答题：本题共5小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 当为何值时，关于的方程是一元二次方程 已知关于的一元二次方程． 若方程有一个根是，求的值 若方程有一个根是，求的值． 15.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：方程有两个不相等的实数根； 若该方程有一根为，求的值和该方程的另一个根． 16.本小题分 年江西省举行了城市足球超级联赛，宜春队和赣州队最终进入决赛本次比赛第一阶段采取分区对抗，分为南、北两区，南区个队，北区个队，每个区进行主客场双循环小组积分赛每个市派一个队，每两个队间进行两场比赛，各区取前四晋级决赛． 宜春队作为南区强队在第一阶段以小组第一晋级，则宜春队第一阶段共参与了          场比赛． 如果北区第一阶段比赛总场数为场，求的值． 17.本小题分根据下列问题列一元二次方程，并将所列方程化成一般形式： 用一根长的铁丝折成一个斜边长为的直角三角形，求这个直角三角形的直角边长 如图，用长的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，羊圈的一面靠墙墙足够长，求的长． 18.本小题分 已知关于的一元二次方程． 试判断上述方程根的情况． 已知的两边，的长是关于上述方程的两个实数根，的长为当为何值时，是以为斜边的直角三角形 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $