25.3 实际问题与一元二次方程 第2课时 传播与平均变化 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“实际问题与一元二次方程”中的传播与平均变化率问题，通过流感传染情境导入，从1人传染后的人数变化逐步延伸，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接方程建模与实际应用的知识脉络。 以病毒传播、收入增长等现实问题为载体，通过“情境探究—模型构建—检验反思”流程，培养数学眼光（发现数量关系）、数学思维（推理与建模）、数学语言（精确表达），例题与分层训练结合，助学生掌握(1±x)^n模型，提升解决实际问题能力，为教师提供清晰教学路径与实用案例。

25.3　实际问题与一元二次方程 第2课时　传播与平均变化率问题 教学目标 1.会根据具体问题（传播、增长率和降低率问题）中的数量关系列一元二次方程并求解. 2.能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理. 3.建立一元二次方程的数学模型，解决如何全面地比较几个对象的变化状况的问题. 重点难点 重点：用一元二次方程解传播与平均变化率问题. 难点：建立一元二次方程的数学模型，解决传播、增长率与降低率问题. 教学过程 情景导入 有1人患了流感，经过一轮传染后共有11人患了流感，那么传染中平均1个人传染了几个人？如果经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均1个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后会有多少人患流感？ 探究新知 探究点一　列一元二次方程解决传播问题 【例1】某种电脑病毒传播非常快，如果有1台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.每轮感染中平均1台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效的控制，经过几轮感染后，被感染的电脑会超过700台？　 【解析】本题可设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑，则第一轮后共有（1＋x）台电脑被感染，第二轮后共有（1＋x）＋x（1＋x）即（1＋x）2台电脑被感染，利用方程即可求出x的值，并且三轮后共有（1＋x）3台电脑被感染，比较该数同700的大小，即可作出判断. 【解】设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑. 依题意，得1＋x＋（1＋x）x＝81， 整理得（1＋x）2＝81， 则x＋1＝9或x＋1＝－9， 解得x1＝8，x2＝－10（舍去）， ∴（1＋x）2＋x（1＋x）2＝（1＋x）3＝（1＋8）3＝729＞700. 答：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑.三轮感染后，被感染的电脑会超过700台. 【方法总结】列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程，检验和作答. 探究点二　用一元二次方程解决增长率问题 【例2】2023年，农村某户的家庭年人均纯收入为5000元.通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2025年，该户的家庭年人均纯收入达到了7200元. （1）求该户2023年到2025年家庭年人均纯收入的年平均增长率； （2）若年平均增长率保持不变，2026年该户的家庭年人均纯收入能否达到8500元？ 【解析】（1）设该户2023年到2025年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，根据该户2023年及2025年家庭年人均纯收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中正值即可得出结论； （2）根据2026年该户的家庭年人均纯收入＝2025年该户的家庭年人均纯收入×（1＋增长率），可求出2026年该户的家庭年人均纯收入，再与8500比较后即可得出结论. 【解】（1）设该户2023年到2025年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x. 依题意，得5000（1＋x）2＝7200， 解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2（舍去）. 答：该户2023年到2025年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20％. （2）7200×（1＋20％）＝8640（元）， 8640＞8500. 答：2026年该户的家庭年人均纯收入能达到8500元. 【方法技巧】本题是常见的增长率问题，要理解a（1＋x）n＝b（其中a是原来的量，x是平均增长率，n是增长的次数，b是增长到的量）的含义.原来的量经过一次增长后达到a（1＋x）；在这个基础上，再增长一次即经过二次增长后达到a（1＋x）（1＋x）＝a（1＋x）2；在这个基础上，再增长一次即经过三次增长后达到a（1＋x）（1＋x）（1＋x）＝a（1＋x）3；……以此类推. 探究点三　用一元二次方程解决降低率问题 【例3】某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元.假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同. （1）求每个月生产成本的下降率； （2）请你预测4月份该公司的生产成本. 【解析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值即可得出结论； （2）由4月份该公司的生产成本＝3月份该公司的生产成本×（1－下降率），即可得出结论. 【解】（1）设每个月生产成本的下降率为x. 根据题意，得400（1－x）2＝361， 解得x1＝0.05＝5％，x2＝1.95（不合题意，舍去）. 答：每个月生产成本的下降率为5％. （2）361×（1－5％）＝342.95（万元）. 故预测4月份该公司的生产成本为342.95万元. 【方法总结】解决增长率这类问题需要牢记公式：b＝a（1±x）n，其中a为增长（或降低）的基础数量，x为增长（或降低）率，n为增长（或降低）的次数，b为增长（或降低）后的数量，其中增长取“＋”，降低取“－”. 课堂训练 1.某产品每件的生产成本为50元，原定销售价为65元.经市场预测，从现在开始的第一季度销售价将下降10％，第二季度又将回升5％.若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度成本的平均降低率为x，根据题意可列的方程是　　　　　　　　　　　　　　. 2.某市开展“科技下乡”活动，三年来，接受科技培训的人员累计达到95万人次，其中第一年培训了20万人次.每年接受科技培训的人次的平均增长率为多少？ 3.近年来，在市委市政府的宏观调控下，某市的商品房成交均价涨幅控制在合理范围内，由2023年的均价5000元/m2上涨到2025年的均价6050元/m2. （1）试求这两年该市商品房成交均价的年平均增长率； （2）如果房价按（1）中上涨的百分率继续上涨，请预测2026年该市的商品房成交均价. 板书设计 第2课时　传播与平均变化率问题 1.列一元二次方程解应用题的步骤：1审、2设、3列（列方程是关键）、4解、5验、6答. 2.列一元二次方程解决传播问题. 3.若平均增长（或降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b，则有a（1±x）n＝b（常见n＝2）. 4.例题讲解. 课堂小结 本节课学习了列一元二次方程解传播与平均变化率问题，常常把问题分解成若干个小问题求解. 教学反思 　　通过本节课的学习，学生明确传播与增长率（降低率）的问题在实际生活中普遍存在，并有一定的解题模式，学生应掌握好此类问题中等量关系的确定方法.在存在基础量a的前提下，增长率（降低率）不发生变化时，连续增长（或降低）后的量要正确表示.最后求得的结果要注意合理性，正确取舍，还要注意题目中是“增”还是“减”. 答案 课堂训练 1.65×（1－10％）×（1＋5％）－50（1－x）2＝65－50 2.解：设每年接受科技培训的人次的平均增长率为x. 根据题意，得20＋20（1＋x）＋20（1＋x）2＝95， 解得x1＝＝50％，x2＝－（不合题意，舍去）. 答：每年接受科技培训的人次的平均增长率为50％. 3.解：（1）设这两年该市商品房成交均价的年平均增长率为x. 根据题意，得5000（1＋x）2＝6050， （1＋x）2＝1.21， 解得x1＝0.1＝10％，x2＝－2.1（不合题意，舍去）. 答：这两年该市商品房成交均价的年平均增长率为10％. （2）2026年该市的商品房成交均价为6050×（1＋10％）＝6655（元/m2）. 故预测2026年该市的商品房成交均价为6655元/m2. 学科网（北京）股份有限公司 $