25.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 循环与数字问题 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教案聚焦“实际问题与一元二次方程”中的循环与数字问题，通过亚运会象棋单循环比赛情境导入，衔接一元二次方程解法，搭建从实际问题抽象等量关系的学习支架。 亮点在于以生活实例（篮球赛、两位数问题）培养数学眼光，引导学生抽象数量关系，通过问题串分析与方程建模发展数学思维，强化推理与运算能力，助力学生提升实际问题解决能力，为教师提供清晰教学流程与方法指导。

25.3　实际问题与一元二次方程 第3课时　循环与数字问题 教学目标 1.会根据具体问题，找到循环问题及数字问题中的等量关系，列出一元二次方程并求解，进一步掌握列方程解应用题的关键和步骤. 2.由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法、公式法或因式分解法解决实际问题. 3.经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，进一步体会数学中的建模思想. 重点难点 重点：列一元二次方程解循环问题、数字问题. 难点：在实际问题中找到等量关系，根据实际意义检验结果是否符合题意. 教学过程 情景导入 在第19届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每2人之间都只进行1场比赛）制，每组x人.若每组共需进行15场比赛，你能列出方程求出x的值吗？ 探究新知 探究点一　用一元二次方程解决循环问题 【例1】某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每2班之间都赛1场），共需安排28场比赛.此校九年级的班级数为（　　） A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】设此校九年级的班级数为x.依题意，得x（x－1）＝28，整理，得x2－x－56＝0，解得x1＝8，x2＝－7（不合题意，舍去）. 【答案】D 【方法总结】若有n支球队进行单循环比赛，每2队之间比赛1场，则比赛总场数为；若有n支球队进行双循环比赛，每2队之间比赛2场，则比赛总场数为n（n－1）.此类题易因混淆单循环与双循环比赛的规则而致错. 探究点二　列一元二次方程解决数字问题 【例2】有一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是8，如果十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数乘原来的数得到1855.求原来的两位数. 【解析】设原来个位上的数字为x，则十位上的数字为8－x.根据“如果十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得数乘原来的数得到1855”列方程求解即可. 【解】设原来个位上的数字为x，则十位上的数字为8－x. 由题意，得[10×（8－x）＋x][10x＋（8－x）]＝1855， 解得x1＝3，x2＝5， ∴原来十位上的数字为5或3. 答：原来的两位数是53或35. 【方法总结】对于数字排列问题，一要明确最高位上的数字为不大于9的正整数，其他数位上的数字为不大于9的非负整数；二要会用字母正确地表示数.两位数＝十位上的数字×10＋个位上的数字；三位数＝百位上的数字×100＋十位上的数字×10＋个位上的数字. 课堂训练 1.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字之和的2倍，这个两位数是（　　） A.36 B.63 C.36或63 D.－36或－63 2.要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，即每2队之间都赛1场.计划安排15场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？ 板书设计 第3课时　循环与数字问题 1.解一元二次方程应用题的一般步骤. 2.列一元二次方程解决循环问题. 3.列一元二次方程解决数字问题. 4.例题讲解. 课堂小结 本节课学习了用一元二次方程解决循环问题和数字问题，学会了用层层递进的方式分析并解决问题. 教学反思 　　本课时通过列举循环问题和数字问题，让学生掌握一元二次方程在实际问题中的应用，以问题串形式展开分析，培养学生分析问题、解决问题的能力.课堂上先培养学生的数学思维，然后进一步总结了列方程解应用题的步骤，不仅关注结果，更关注过程，让学生养成良好的解题习惯的同时，也让学生在学习中相互交流，共同提高.在课堂中始终贯彻数学源于生活又用于生活的数学观念，用方程来解决问题，有利于学生体会数学中的建模思想. 答案 课堂训练 1.C 2.解：设应邀请x支球队参加比赛. 依题意，得x（x－1）＝15， 解得x1＝6，x2＝－5（不合题意，舍去）. 答：应邀请6支球队参加比赛. 学科网（北京）股份有限公司 $