25.3 第3课时 循环问题、数字问题及其他问题（教学设计）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

第3课时　循环问题、数字问题与其他问题

1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．

2.通过学生自主探究，会根据循环问题、数字问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．

3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．

1.通过分析问题中的数量关系，建立方程模型解决问题．（重点）

2.理解循环问题中“单循环”和“双循环”的区别，准确将实际问题转化为数学方程．（难点）

知识链接：生活中哪些实际问题可以用一元二次方程来解决呢？引导学生回顾之前学过的增长率问题、传播问题等相关知识．

　探究点一：一元二次方程解决循环问题

类型1：单循环问题

问题1：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛一场，受场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？

解：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他　（x－1）　支球队各赛1场．

思考：赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，也就是一共要比赛　28　场，比赛的总场次用含x的代数式表示为　x（x－1）　场，所以可列得方程　x（x－1）=28　．解方程，得x1=　8　，x2=　－7（不合题意，舍去）　．因此，比赛组织者应邀请8支球队参赛．

归纳总结：单循环指所有参赛选手只相遇一次，如握手、单循环赛等．总次数=n（n－1），其中n为参与对象的数量．

类型2：双循环问题

问题2：若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？

分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛．如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n（n－1）．

解：假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么n（n－1）=300.解方程，得n=．由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数．因此，总场数不可能为300，这个人算得不对．

归纳总结：双循环指所有参赛选手相遇两次，如足球双循环赛、互发邮件等．总次数=n（n－1），其中n为参与对象的数量．

　探究点二：一元二次方程解决数字问题

问题3：一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大2，且这个两位数的数值是它两个数字乘积的3倍，求这个两位数．