25.3 第3课时 循环问题、数字问题及其他问题（教学设计）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦用一元二次方程解决循环问题（单循环、双循环）、数字问题及销售利润等实际问题，通过知识链接回顾增长率、传播问题，搭建前后知识脉络，形成学习支架。 以排球邀请赛、主客场双循环赛、两位数数字问题、螃蟹销售等情境为载体，引导学生经历“问题情境—建立模型—求解检验”过程，培养数学眼光（抽象实际问题为方程）、数学思维（推理数量关系）、数学语言（用方程表达现实问题）。通过合作探究与归纳总结，提升学生应用意识，为教师提供清晰教学步骤与实例，助力高效教学。

第3课时　循环问题、数字问题与其他问题 1.经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤． 2.通过学生自主探究，会根据循环问题、数字问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤． 3.通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准． 1.通过分析问题中的数量关系，建立方程模型解决问题．（重点） 2.理解循环问题中“单循环”和“双循环”的区别，准确将实际问题转化为数学方程．（难点） 知识链接：生活中哪些实际问题可以用一元二次方程来解决呢？引导学生回顾之前学过的增长率问题、传播问题等相关知识． 　探究点一：一元二次方程解决循环问题 类型1：单循环问题 问题1：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛一场，受场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他　（x－1）　支球队各赛1场． 思考：赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，也就是一共要比赛　28　场，比赛的总场次用含x的代数式表示为　x（x－1）　场，所以可列得方程　x（x－1）=28　．解方程，得x1=　8　，x2=　－7（不合题意，舍去）　．因此，比赛组织者应邀请8支球队参赛． 归纳总结：单循环指所有参赛选手只相遇一次，如握手、单循环赛等．总次数=n（n－1），其中n为参与对象的数量． 类型2：双循环问题 问题2：若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？ 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛．如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n（n－1）． 解：假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么n（n－1）=300.解方程，得n=．由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数．因此，总场数不可能为300，这个人算得不对． 归纳总结：双循环指所有参赛选手相遇两次，如足球双循环赛、互发邮件等．总次数=n（n－1），其中n为参与对象的数量． 　探究点二：一元二次方程解决数字问题 问题3：一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大2，且这个两位数的数值是它两个数字乘积的3倍，求这个两位数． 分析：设十位上的数字为x（x为1－9的整数），则个位上的数字为x＋2（x＋2≤9，即x≤7），两位数表示为10x＋（x＋2）=11x＋2；两个数字乘积为x（x＋2）． 列一元二次方程，得11x＋2=3x（x＋2）．解方程，得x1=2，x2=－（不合题意，舍去）．当x=2时，个位数字为2＋2=4，两位数为24.验证：24=3×（2×4），符合题意，故这个两位数为24. 归纳总结：数字问题中，通过设数位上的数字为未知数，利用数位表示多位数，结合数量关系列出一元二次方程，注意数字的取值范围（0－9或1－9）． 　探究点三：其他问题 问题4：在无锡、苏州等太湖沿岸城市，吃蟹是秋季最重要的民俗活动之一．某学校九年级利用国庆假期开展社会实践活动，调查螃蟹行情，帮某商家解决销售问题的同时为顾客谋实惠．调查发现，螃蟹的进价为40元/千克．售价为50元/千克时，每天可销售100千克．每千克每涨价1元，每天少销售2千克．若商家一天销售螃蟹获总利润为1600元，则当天螃蟹的售价为多少元/千克？ 分析：设当天螃蟹的售价为x元/千克，则每千克的销售利润为（x－40）元，每天可售出100－2（x－50）=（200－2x）千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于x的方程，解之可得出x的值，再结合要为顾客谋实惠，即可确定结论． 解：设当天螃蟹的售价为x元/千克，则每千克的销售利润为（x－40）元，每天可售出100－2（x－50）=（200－2x）千克．根据题意得（x－40）（200－2x）=1600，解得x1=60，x2=80.又∵要为顾客谋实惠，∴x=60. 答：当天螃蟹的售价为60元/千克． 1.（4分）［教材变式］ 某校九年级组织一次篮球比赛，每两班之间都比赛一场，共进行了55场比赛，则该校九年级共有班级个数为（C） A.9　　B.10　　C.11　　D．12 2.（13分）一个两位数的个位数字与十位数字的和为11，并且个位数字与十位数字的平方和为85，求这个两位数． 解：设个位数字为x，则十位数字为（11－x）． 由题意得x2＋（11－x）2=85，解得x1=2，x2=9. 当x=2时，两位数为92， 当x=9时，两位数为29. 答：这个两位数为92或29. 3.（13分）商场以每件100元的价格购进纪念品，以每件150元的价格出售，平均每天可销售30件．经试验发现，纪念品的销售单价每提高1元，平均每天的销售量就减少10件．若销售这种纪念品每天获得的利润为520元，求销售单价． 解：设销售单价提高x元， 由题意得（150－100＋x）（30－10x）=520. 化简得x2＋47x－98=0，即（x－2）（x＋49）=0. 解得x1=2，x2=－49（舍去）． 故150＋2=152（元）． 答：当销售单价为152元时，每天获得的利润为520元． 循环问题 数字问题 其他问题：以价格变化量x为变量，关联单件利润和销量 　　 　　 　　 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $