第2章 实数 单元达标卷-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级上册第2章实数单元达标卷，覆盖实数核心知识，通过文化情境（如《数书九章》）、实际应用（矩形花圃）及新定义问题（对偶式），适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|最简二次根式、算术平方根、无理数判断|结合数轴与几何直观，如无理数在数轴表示| |填空题|7题|同类二次根式、代数式最值、勾股树应用|融入正方形面积与数轴关联，体现抽象能力| |解答题|6题|二次根式运算、新定义“对偶式”、矩形面积问题|设计《数书九章》面积公式应用题，培养推理意识与模型意识|

第2章实数达标卷-2026-2027学年数学八年级上册北师大版（新教材） 一、单选题 1．下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列各数中：，，，，，，，中，无理数有几个？（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．若的计算结果为整数，则a的值可以是（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 6．已知，化简的结果为（     ） A． B．1 C． D． 7．估计的值应在（     ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 8．学校植物园里有一块矩形花圃，花圃的宽为．为了给花圃围上防护围栏，测得围栏的总长度为，则这块花圃的面积为（     ） A． B． C． D． 9．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③立方根等于它本身的数有2个；④16的平方根是，用式子表示是；其中正确的是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．如图，在中，，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．化简：_______________． 12．与最简二次根式是同类二次根式，则_________． 13．已知，，则代数式的值等于____________． 14．代数式的最大值为 __． 15．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的边长是、、、，则最大正方形的边长是___________ 16．根据图所示的程序计算，若输入x的值为64，则输出结果为_____． 17．如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 三、解答题 18．计算： (1)； (2)． 19．解方程： (1) (2)． 20．已知正数a的两个平方根分别是和，且与互为相反数，求的平方根． 21．先化简，再求值． 已知，，求： (1)的值； (2)的值 22．有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为_____；（填最简二次根式） (2)求长方形木板的面积． 23．定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效地去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)对偶式与之间的关系是 ； A．互为相反数      B．互为倒数      C．绝对值相等 (2)已知：，则 ； (3)已知，求x的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B A B B D B C 1．B 【详解】解：选项A，被开方数含分母，不是最简二次根式． 选项B满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 选项C，被开方数含分母，不是最简二次根式． 选项D，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 2．B 【详解】解：的算术平方根为． 3．C 【分析】本题考查二次根式的基本运算法则和性质，根据对应规则逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项：与不是同类二次根式，无法直接合并，， ∴A错误． B选项：根据二次根式的性质，， ∴B错误． C选项：根据二次根式乘法法则，，等式成立， ∴C正确． D选项：根据二次根式除法法则，， ∴D错误． 4．B 【分析】先化简可化简的数，再分类判断． 【详解】解：是分数，是整数，、是有限小数，是整数，以上均为有理数． 开方开不尽，含无理数，是无限不循环小数，以上均为无理数． 无理数共3个． 5．A 【分析】求出计算结果为，则为整数，即是完全平方数，据此解答即可． 【详解】解：由题意得：， ， ∵的计算结果为整数， ∴为整数，即是完全平方数， 观察四个选项可知，只有当时，，符合题意． 6．B 【分析】根据给出的的取值范围，判断出和的正负，再利用二次根式和绝对值的性质化简，再合并同类项得到化简结果． 【详解】解：， ∴， 原式． 7．B 【分析】先利用二次根式的乘法运算法则化简原式，再估算无理数的大小，确定原式的取值范围． 【详解】解：， ∵，， 由可得， ∵，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴估计的值应在2和3之间． 8．D 【分析】分别计算出矩形花圃的长和宽，再求出面积即可． 【详解】解：∵矩形花圃的周长为，宽为， ∴矩形花圃的长为， ∴花圃的面积为． 9．B 【详解】解：实数和数轴上的点是一一对应的， 说法①正确，符合题意； 无理数是无限不循环小数，其中开方开不尽的数只是其中一部分， 说法②错误，不符合题意； 立方根等于它本身的数有和0，共3个， 说法③错误，不符合题意； 的平方根是，用式子表示是， 说法④错误，不符合题意． 10．C 【分析】根据给出的公式求出三角形的面积，等积法求出的长即可. 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴. 11． 【分析】利用二次根式的性质，先将原式化为绝对值形式，再根据判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴． 12． 【分析】被开方式相同的最简二次根式是同类二次根式，据此进行列式计算即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， 又∵与是同类二次根式， ∴， 解得． 13． 【详解】解：． 14．2 【详解】解：， 当时，代数式有最大值，最大值为2． 15． 【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为 ，由勾股定理得出，即可求得最大正方形的边长． 【详解】设中间左，右两个正方形的边长分别为 ，最大正方形的边长为 ， 则由勾股定理得：， ， ， 即最大正方形的边长是． 16． 【分析】先求算术平方根，再求除以2得到的商，再减去3，然后与比较，直至结果小于0即可． 【详解】解：若输入x的值为64，则， 此时输入的x的值为1，则， ∴输出的结果为． 17．/ 【分析】根据题意得出，结合数轴即可求解． 【详解】解：正方形的面积为， 正方形的边长为， 则由题意可知， 点表示的数为， 点所表示的数为． 18．(1) (2) 【分析】（1）利用、先计算根式乘除，再化简根式，合并同类二次根式； （2）先用平方差公式计算，再用完全平方公式展开，最后合并有理数． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．(1)或 (2)或 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以9，最后把方程两边同时开平方即可得到答案； （2）先把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 20． 【分析】根据正数有两个平方根，它们是互为相反数求出x的值，进而求出a的值；根据立方根的性质求出b的值，然后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解∶∵正数a的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 21．(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴ ． 22．(1) (2)长方形木板的面积为 【详解】（1）解：由题意，∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， （2）解：由题意得， ∴， ， ． 答：长方形木板的面积为． 23．(1)B (2)2 (3) 【分析】（1）根据倒数的性质，互为倒数的两数相乘得1，即可判断； （2）将两式相乘，得到积的值，再利用已知式子的值，求解即可； （3）同（2），构造对偶式，再相乘求出积，从而得到的值，再相消求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴和互为倒数； （2）解：∵， 又， ∴； （3）解：， ， ， ∴， 得，，即， 两边平方得，， 解得， 经检验，是原方程的解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $