第二章 实数 单元测试 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第二章实数单元卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合祖冲之圆周率、球形容器体积等文化与现实情境，适配单元复习，培养运算能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|15|绝对值、二次根式意义、无理数概念等|第6题以祖冲之圆周率考实数概念，体现文化传承| |填空题|8|实数分类、规律探索、新定义运算等|第23题通过算术平方根规律培养数感，第21题新定义运算提升符号意识| |解答题|7|平方根立方根综合、勾股定理与数轴、实际应用等|第29题结合勾股定理在数轴表示无理数，第31题文化长廊面积计算强化应用意识|

第二章 实数 单元测试2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．的绝对值是（   ） A．2 B． C． D． 2．化简：（   ） A．8 B．3 C． D． 3．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若，则正整数的值为（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的有（    ） ①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④两个无理数的和还是无理数；⑤数轴上的点与实数一一对应． A．个 B．个 C．个 D．个 6．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（   ） A．它是一个有理数 B．数轴上没有能表示它的点 C．它是一个实数 D．它可以表示成分数形式 7．若，则的值不可能是（    ） A． B． C．0 D．2 8．实数在两个相邻的整数m与之间，则整数m是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．已知一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．25 B．5 C． D．2 10．计算的结果是（     ） A． B． C． D． 11．比较大小： ，其中所填的符号是（     ） A． B． C． D．无法确定 12．计算的结果是（     ） A． B．3 C．6 D． 13．已知是无理数，但是有理数，则下列各式是有理数的是（    ） A． B． C． D． 14．小南按图的方法把边长为和的两个正方形切割成5块，按图的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长是(     ) A． B． C． D． 15．如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 16．写出一个有理数 ___，写出一个无理数 ___，其中是实数的有 ___． 17．如图，在数轴上表示的点可能是点______． 18．按如图所示的程序计算，若输入的，则输出的结果为___________． 19．已知某个数的平方根为和，且的立方根为，则______. 20．计算：______． 21．现对实数，定义一种运算：．则的值为______． 22．已知，则_________． 23．按规律排列的一组数：3，，，12，，则这组数的第9个数是___________． 三、解答题 24．已知的算术平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 25．有两个正方体水箱，已知第一个正方体水箱的棱长是，第二个正方体水箱的体积比第一个水箱的体积的3倍还多，则第二个水箱的棱长为多少分米？ 26．嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球.游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加． (1)若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果． (2)如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为，淇淇说的值能与合并．你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由． 27．先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照以上各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）． (3)应用上述结论，请计算的值． 28．请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 29．如图，小聪在数轴上表示一个无理数．他先在数轴上方以单位长度为边长画了四个一样的小正方形，再依次连接其中四个顶点，，，（其中点与原点重合），又得到一个正方形（阴影部分）．最后以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点． (1)正方形的面积是 ，点表示的数是 ； (2)请在数轴上继续找出表示的点；（保留作图痕迹） (3)在（2）的基础上，若数轴正半轴上的点表示的数为，且，求的值． 30．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，______；当时，______； (2)若实数a不等于零，求的值； (3)若实数a、b均不等于零，试求的值． 31．实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 C C D C A C D A A B C A D C A 1．【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、实数的性质 【分析】根据正数的绝对值等于本身解答即可． 本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵是正数， ∴的绝对值是， 故选：C． 2．【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键；将18分解为，利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：； 故选C． 3．【答案】D 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故选：D． 4．【答案】C 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算，先确定的取值范围，再得到的取值范围，进而求出正整数的值即可，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 又∵，且为正整数， ∴， 故选：． 5．【答案】A 【知识点】无理数、实数与数轴、实数概念理解、实数的分类 【分析】利用有理数，无理数，数轴的相关概念对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：无限的不循环小数是无理数， 的结论不正确； 无理数是无限的不循环小数，都是无限小数， 的结论正确； 带根号且开不尽放 方的数都是无理数， 的结论不正确； ， 两个无理数的和不一定是无理数， 的结论不正确； 数轴上的点与实数一一对应， 的结论正确； 综上，正确的结论有：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了实数的概念，实数的运算，数轴的相关性质，利用有理数，无理数，数轴的相关概念对每个选项进行逐一判断是解题的关键． 6．【答案】C 【知识点】实数与数轴、实数概念理解 【分析】此题考查了实数，熟练掌握实数的分类和“”的意义是解题的关键．根据实数的分类和的特点进行解答即可得出答案． 【详解】解：圆周率是一个实数，是无理数，不能表示成分数形式，在数轴上有表示它的点， ∴关于圆周率说法正确的是C选项， 故选：C． 7．【答案】D 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查立方根的性质．根据立方根等于它本身的数是0或，即可求出a的值． 【详解】解：∵， ∴或0， ∴a的值为或或0， ∴的值不可能是2． 故选：D 8．【答案】A 【知识点】无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算，通过确定与被开方数相邻的完全平方数，得到无理数的范围，再结合不等式性质求出的范围，进而确定整数的值. 【详解】解：∵ ∴ 即不等式两边同时加3，得，即 ∵在整数与之间 ∴ 故选：A. 9．【答案】A 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、平方根概念理解 【分析】一个正数的两个不同平方根互为相反数，利用这一性质先求出a的值，再计算得到这个正数即可． 【详解】∵一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴， 解得 ， 把代入得，两个平方根分别为和， ∴这个正数为． 10．【答案】B 【知识点】二次根式的乘法 【详解】． 11．【答案】C 【知识点】比较二次根式的大小、实数的大小比较 【分析】比较两个正无理数的大小，可采用平方法，正数比较大小时，平方越大的数本身越大，进一步可得答案． 【详解】解：∵ ， 而 ∴ ∴ ． 12．【答案】A 【知识点】二次根式的混合运算 【详解】解：原式 ． 13．【答案】D 【知识点】无理数、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式的化简，将多项式化简后，得出带有字母的多项式，再将选项整理观察与已知相同的部分．去括号，合并同类项，或通过多项式乘法展开可得是有理数． 【详解】解： ， 是无理数，但是有理数， 是有理数，是有理数， ．，因和5为有理数，a为无理数，则为无理数，故为无理数，故选项错误； ．，因和为有理数，a为无理数，则为无理数，故为无理数，故选项错误； ．，因和1为有理数，a为无理数，则为无理数，故为无理数，故选项错误； ．，是有理数，是有理数，故选项正确； 故选：． 14．【答案】C 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】根据左右两个图形的面积相等，结合算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：左图两个正方形的面积之和为， 所以右图的正方形的面积为，边长为． 15．【答案】A 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 16．【答案】 2（答案不唯一）， π（答案不唯一）， 2，π（答案不唯一）． 【知识点】有理数的定义、无理数、实数概念理解 【分析】实数分为有理数和无理数，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此解答即可． 【详解】解：一个有理数是2，一个无理数是π，其中是实数的有2、π（答案不唯一）． 故答案为：2（答案不唯一），π（答案不唯一），2、π（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了实数的定义，无理数的定义，有理数的定义，掌握以上定义是解题的关键． 17．【答案】 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】利用夹逼法估算无理数的大小，确定其介于哪两个连续整数之间，结合数轴上各点的位置即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， 观察数轴可知，点P表示的数在2和3之间，点Q表示的数在3和4之间，点M表示的数在4和5之间，点N表示的数在5和6之间 ， ∴在数轴上表示的点可能是点M ． 18．【答案】 【知识点】程序设计与实数运算、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，先计算的结果，若结果大于或等于2，则把结果取算术平方根输出，若结果小于2，则把所得的结果作为新数输入，再计算判断即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴输出的结果为， 故答案为：． 19．【答案】 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】根据平方根的性质，得出，根据立方根的定义得出，继而求得的值，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵某个数的平方根为和， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根与立方根综合，掌握平方根与立方根的定义是解题的关键． 20．【答案】2 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除法法则计算，得到答案． 【详解】解： 故答案为：2． 21．【答案】 【知识点】新定义下的实数运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查新定义运算的理解与应用，算术平方根、立方根的计算，掌握新定义的运算规则是解题关键． 先计算算术平方根和立方根，再根据新定义运算规则进行计算． 【详解】解：，， 则． 故答案为：． 22．【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知条件式，化简求值 【分析】利用完全平方公式对所求代数式变形，得到，结合已知条件求出平方后的结果，最后开方取正根即可得到答案． 【详解】解： 将代入得： ， ∵， ∴． 23．【答案】33 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查数式规律问题、算术平方根等知识点，结合已知条件总结出规律是解题的关键． 根据已知数总结规律，然后利用规律即可解答． 【详解】解：第1个数：； 第2个数：； 第3个数：； 第4个数：； …… 第9个数是． 故答案为：33． 24．【答案】(1)，，； (2)的平方根是． 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、无理数整数部分的有关计算 【分析】（）先根据算术平方根和立方根的定义，求出和的值，再通过估算的大小得到的值即可； （）把，，代入代数式计算，求出代数式的平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴，即， 解得：， ∵的立方根是， ∴，即， 把代入得， 解得， ∵， ∴，即， ∵是的整数部分， ∴， ∴，，； （2）解：将，，代入得， ∵， ∴的平方根为，即的平方根是． 25．【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】先根据正方体的体积公式求出第一个正方体水箱的体积，进而得到第二个正方体水箱的体积，根据立方根的定义即可求出第二个水箱的棱长． 【详解】解：第一个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的体积为， ∴第二个正方体水箱的棱长为． 26．【答案】(1) (2) 解：淇淇的说法正确，理由如下： ， ∴， ∵， ∴的值能与合并， ∴淇淇的说法正确． 【知识点】二次根式的加减运算、同类二次根式 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，同类二次根式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可列出式子计算求解即可； （2）根据题意结合二次根式的加减计算法则求出x的值，再判断x与是否为同类二次根式即可得到结论． 【详解】（1）解： ； （2）略 27．【答案】(1) 的结果为； 验证： (2) (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、与实数运算相关的规律题 【分析】本题主要考查了二次根式的加减法，观察式子找规律，根据规律解题即可． （1）利用题中等式的计算规律得出结果，并验证． （2）找出第n个等式的左边为，右边为1与的和，列出等式即可． （3）按照（2）得出的等式关系，代入即可求得结果． 【详解】（1）略 （2）第n个等式的左边为，等式右边为1与的和， 故等式如下： （3） 28．【答案】的值为7或 【知识点】实数运算的实际应用 【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，从而得出，求出，最后代入求值即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以， 解得， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为7或． 29．【答案】(1)； (2) 如图，点为所求； (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】（1）用割补法进行计算正方形的面积即可；再根据勾股定理求出边长即可得到答案； （2）以原点为圆心，正方形的边长为为半径画弧，交数轴负半轴于点，即可得到答案； （3）由题意可得：，再根据，得到答案即可． 【详解】（1）解：个小正方形的总面积是，阴影正方形的面积等于个小正方形面积的一半， 即； 根据勾股定理，正方形边长， 以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点，因此点表示的数为； （2）略 （3）解：由题意可得：， ，数轴正半轴上的点表示的数为， ， ． 30．【答案】(1)1， (2)1或 (3)2或0或 【知识点】求一个数的绝对值、带有字母的绝对值化简问题、实数的性质 【分析】本题考查了绝对值，实数的运算，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）把a的值代入计算即可； （2）分两种情况讨论：当时，当时，分别化简绝对值即可； （3）分四种情况讨论：当，时，当，时，当，时，当，时，分别化简绝对值即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 故答案为：1，； （2）当时，； 当时，； 即当实数a不等于零时，的值是1或； （3）当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上，的值为2或0或． 31．【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)刷涂料的面积为平方米 【知识点】二次根式的应用、二次根式的混合运算 【分析】（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积即可求出涂料的面积． 【详解】（1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长 （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解： （平方米） 答：刷涂料的面积为平方米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $