第2章 一元二次方程 提优卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级上册第2章一元二次方程提优卷，覆盖定义、解法、应用等核心知识，通过现实情境与新定义运算设计，适配单元复习，提升数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|一元二次方程定义、判别式、配方法、增长率应用|结合书城人次（题6）等情境，新定义运算（题8）考察创新意识| |填空题|8|根与系数关系、三角形边长、图形面积（题15）|社团活动增长率（题14）体现数据意识，图形拼接（题15）培养几何直观| |解答题|5|解方程、根的判别式证明、装裱面积（题19）、配方法综合（题20）、机械加工油耗（题21）|分层设计：基础解方程（题17）、提升证明（题18）、创新应用（题21），强化模型意识与推理能力|

第2章一元二次方程提优卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 一、单选题 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．一元二次方程 的根的判别式的值为（     ） A．1 B．11 C．17 D． 3．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 4．用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 5．已知，是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．1 B． C．2 D． 6．某书城预计2026年6月启用，预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同，设进书城人次的年平均增长率为，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．如图，周末小卫同学帮着爸爸用一段长的铁丝网在院墙（墙长）的一边恰好围成了一个矩形鸡舍，其面积为．若在鸡舍垂直于院墙的一边中间位置留一个宽的门（由其他材料构成），则该鸡舍的长度为（     ） A．或 B．或 C． D． 8．对于任意实数，，定义一种新运算“⊙”：，若关于x的方程，已知该方程的两个根为、，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 二、填空题 9．已知关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 10．设，是方程的两个根，则的值为______． 11．某书店今年3月份盈利5000元，5月份盈利6000元．设该书店每月盈利的平均增长率为．根据题意，可列方程为_________． 12．若是方程的两个实数根，则的值为__________． 13．已知三角形两边长分别为4和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是________． 14．某校社团文化节于3月底启动，4月初正式面向全校开放．社团联合会统计，4月1日参与活动的学生大约有1200人，4月3日参与活动的学生大约有2028人，那么从4月1日到4月3日参与活动的学生人数的日平均增长率为___________． 15．有一长方形木板如图1切割，将其中4块重新拼接成新长方形如图2，多出一个图形⑤，若，，且m，n是一元二次方程的两根，则图形⑤的面积为_______． 16．新定义运算：，当时，；当时，．例如：；．若，则的值为_____． 三、解答题 17．解方程： (1) (2) 18．已知，关于的一元二次方程． (1)求证：取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，，满足，求的值． 19．小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1)天头长为________；（用含的代数式表示） (2)若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 20．【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 21．机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为80千克，用油的重复利用率为，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为32千克（），为了减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关． (1)甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到65千克，用油量的重复利用率仍然为．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？ (2)乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了千克， （ⅰ）下降后的润滑用油量为________，油的重复利用率提高为________．（用含的式子填空） （ⅱ）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？ 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《第2章一元二次方程提优卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C D C B C D A 1．D 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，要求二次项系数不为0， ∵选项A中未说明，当时不是一元二次方程，∴A错误； ∵选项B中方程是分式方程，不是整式方程，∴B错误； ∵选项C中方程含有和两个未知数，不是一元方程，∴C错误； ∵选项D中方程，是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，且二次项系数为，∴D符合一元二次方程的定义． 2．C 【分析】确定方程中，，的值，代入判别式公式计算即可． 【详解】解：对于一元二次方程， ，，， 判别式． 3．D 【详解】解：由题意可知：且， 且 4．C 【分析】先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，即可得到结果． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即． 5．B 【分析】先利用一元二次方程根的定义对所求式子的高次项降次，再结合一元二次方程根与系数的关系即可计算出结果． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，且由根与系数的关系可得， 对降次：， 对变形得：， 将上述结果代入原式：， 把代入得：， 所以的值为． 6．C 【分析】根据平均增长率的增长规律，用第一年的人次表示出第三年的人次，结合已知第三年的人次即可列出方程 【详解】解：∵设年平均增长率为，第一年进书城人次为 ∴第二年进书城人次为 ∴第三年进书城人次为 ∵已知第三年进书城人次为 ∴可列方程为 7．D 【分析】设鸡舍垂直于院墙的一边长为，则平行于院墙的一边的长为，即．根据题意，得：，再求解即可． 【详解】解：设鸡舍垂直于院墙的一边长为，则平行于院墙的一边的长为，即．根据题意，得： 整理，得： 解这个方程，得： 当时，． 因为墙长只有，而，所以不符合题意，舍去． 当时，． 因为，符合题意． 所以该鸡舍的长度为． 8．A 【分析】先根据新定义代入，，整理得到一元二次方程的标准形式，再利用根与系数的关系即可得到答案. 【详解】∵ ，且， ∴ 将，代入得： ， 整理得：， ∴ ． 9． 【分析】根据方程有实数根可得判别式大于等于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 关于的方程是一元二次方程，且有实数根， ， 整理得 ， 解得 ． 10． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系， 先求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解: ， 是方程的两个根， 由根与系数的关系得∶ ， ， 将，代入 得:． 11． 【详解】解：已知3月份盈利元，每月盈利的平均增长率为，则4月份盈利为，5月份盈利为，由题意可得 ． 12． 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义与根与系数的关系，利用方程解的定义和根与系数的关系得到对应关系式，再整体代入所求代数式求解即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ， ． 13．18 【分析】先利用因式分解法解一元二次方程，得到第三边的可能取值，再根据三角形三边关系判断符合条件的第三边，最后计算三角形周长． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， 当时，满足三角形三边关系， 因此三角形的周长为：； 当时，不满足三角形三边关系，应舍去； 综上，这个三角形的周长是18． 14． 【分析】设日平均增长率为，则，再解方程即可. 【详解】解：设日平均增长率为，则， 解得(不合题意，舍去)． ∴从4月1日到4月3日参与活动的学生人数的日平均增长率为. 15．29 【分析】由m，n是一元二次方程的两根，利用根与系数的关系得出，从图中可以看出，图形⑤是一个小正方形，它的边长为，则图形⑤的面积为，代入即可求解． 【详解】解：从图中可以看出，图形⑤是一个小正方形，它的边长为， ∴图形⑤的面积为：， ∵m，n是一元二次方程的两根， ∴， ∴ ． 16．或 【分析】先根据新定义，比较与的大小，得到的值，再将等式整理为一元二次方程，求解得到的值． 【详解】解：， ， 根据新定义运算：当时，， 可得， 由题意得：， 整理得：， 因式分解：， 解得：，． 17．(1)， (2)， 【分析】（1）移项后提取公因式分解因式，转化为一元一次方程求解； （2）将方程左边用十字相乘法分解因式，转化为一元一次方程求解． 【详解】（1）解： 或 解得，． （2） 或 解得，． 18．(1)证明：∵， ∴ ． ∵ ∴． ∴取任意实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)， 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）先根据根与系数的关系求出和，再整理，代入和列出一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵方程有两个实数根，， ∴根据根与系数的关系得，，， ∵， ∴，整理得：，即， 解得：，． 19．(1) (2)右边宽为厘米 【详解】（1）解：右边宽与天头长的比为，右边宽为， 天头长为； （2）由题意可知：装裱后长为，装裱后宽为， （舍去），， 答：右边宽为厘米． 20．(1) (2)当时，最大值为7． (3)、、． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ， 当时，，取得最大值为7． （3）解：当，需要加单项式； 当，需要加单项式； 当，需要加单项式． 所以满足条件的单项式为：、、． 21．(1)26千克 (2)（i）；；（ii）60千克 【分析】（1）根据题意得到实际耗油量等于润滑用油量×（重复利用率），代入数据计算即可； （2）（i）企业加工一台大型机械设备润滑用油量为80千克，用油的重复利用率为，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了x千克．即可得到下降后的润滑用油量为千克，用油的重复利用率提高为； （ii）根据乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：（千克）， 答：甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是26千克． （2）解：（i）由题意得到，下降后的润滑用油量为千克，用油的重复利用率提高为． （ii）由题意可得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了千克． ∴． 答：乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是60千克． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $