1.5 全称量词与存在量词 讲义- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦全称量词与存在量词核心知识点，系统梳理其含义、命题识别、真假判断及否定规则，承接集合知识，为逻辑推理奠定基础，构成常用逻辑用语的关键学习支架。 资料通过分知识点详解、题型分层设计（典例与变式结合），以命题判断、符号表示等实例，培养学生抽象能力（数学眼光）、逻辑推理（数学思维）和符号表达（数学语言）。课中辅助教师突出重难点，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

人教A版必修第一册同步讲义 216个知识点· 312道经典例题·216个题型集训 第一章集合与常用逻辑用语 $1.5全称量词与存在量词同步讲义 树目标 课时目标与重难点 1.理解全称量词、存在量词的含义，能识别全称量词命题、存在量词命题【重点】 课时目标 & 2.掌握全称量词命题、存在量词命题的真假判断方法【核心考点】 学习重难点 3.会对全称量词命题、存在量词命题进行否定，牢记命题否定的规则【重难点】 4.能利用命题的否定解决简单问题，为后续学习逻辑推理打下基础【能力拓展】 构网络 课时知识网络导图 常见全称量词：所有的、任意一个 符号记作：廿 全称量词与全称量词命题 命题形弑：∈M,p(z) 真假判定：全部成立则真，举出一个反例即为假 常见存在量词：存在一个、至少有一个 符号记作：3 存在量词与存在量词命题 命题形式：3x∈M,p(x) 真假判定：找到一个成立则真，全部不成立才为假 全称量词与存在量词 全称量词命题的否定一存在量词命题 全称量词命题和存在量词命题的否定 存在量词命题的否定一全称量词命题 核心规则：改变量词，否定结论，变量的取值集合保持不变 全称量词命题为假：举出反例 真假判断常用技巧 存在量词命题为真：举出符合条件的实例 做命题否定时只否定结论，忘记更换量词 高频易错点 错误改变x的取值集合 混清都不是与不都是 梳新知 教材新知全盘梳理 第1页共8页 人教A版必修第一册同步讲义 216个知识，点 312道经典例题216个题型集训 知识点 全称量词与全称量词命题 1.全称量词 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号V表示。 2.全称量词命题 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。 一般形式：Vx∈M,p(x M是给定集合，对M中任意一个x,p(X)成立。 3.真假判断 ·真命题：对集合M中的每一个X,p(x)都成立 ·假命题：在集合M中找到一个xo,使得p(xo)不成立（举反例）。 知识点 存在量词与存在量词命题 1.存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号表示。 2.存在量词命题 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。 一般形式：3x∈M,p(x 含义：在集合M中存在至少一个x,使px)成立。 3.真假判断 ·真命题：在集合M中能找到一个x,使得p(X,)成立 ·假命题：对集合M中的任意一个x,p(x)都不成立。 知识点3 全称量词命题和存在量词命题的否定 1.全称量词命题Vx∈M,p(x)的否定： 3x∈M,p(x 了全称量词命题的否定是存在量词命题。 2.存在量词命题3x∈M,p(x)的否定： Vx∈M,p(x) 了存在量词命题的否定是全称量词命题。 3.性质：一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，必定一真一假。 第2页共8页 人教A版必修第一册同步讲义 216个知识，点 312道经典例题·216个题型集训 知识点4 常见词语的否定 ①所有的+存在一个 ②任意一个“至少有一个 ③是+不是 ④大于+不大于（小于或等于） ⑤小于+不小于（大于或等于） 促应用 破解题型提升能力 题型01 判断命题是否为全称量词命题、存在量词命题 【典例】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题 (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形的对角线不相等： (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a,b能使a-b=a+b: (5)方程3x-2y=10有整数解 【变式】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题 (1)凸多边形的外角和等于360°： （2)有的向量方向不定： (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直. (4)存在二次函数y=ax2+bx十c与x轴无交点. 题型02 用符号“H”与“妇”表示含有量词的命题 【典例】用量词符号“V”“3”表述下列命题： (1)凸n边形的外角和等于2π (2)有一个有理数X0满足x=3. (3)对任意角c,都有sina+cosa=1. 【变式】用符号“V”与“”表示下面含有量词的命题： (1)实数的平方大于等于0： (2)存在一对实数对，使2x+3y+3<0成立： 第3页共8页 人教A版必修第一册同步讲义 216个知识，点 312道经典例题·216个题型集训 (3)勾股定理. 题型03 判断量词命题的真假 【典例】（多选）下列四个命题中，是真命题的有() A.没有一个无理数不是实数 B.空集是任何一个非空集合的真子集 C.1+1<2 D.至少存在一个整数x,使得x2-x+1是整数 【变式】（多选）已知集合A={|x≥1，B={x|x>2,则() A.3x∈A,X∈B B.3x∈B,XEA C.VX∈A,xEB D.Hx∈B,X∈A 题型04 根据量词命题的真假求参数 【典例】已知命题p:“V1≤x<2,x2-a≥0”，命题q:“3x∈R,x2+2ax+2-a=0”,若命题p,q都是 真命题，求实数a的取值范围. 【变式】已知命题p:Hx∈R,x2二2x+a≥0，命题q:x∈R,x2+x+2a-1=0,若p为真命题，q为假命 题，则实数a的取值范围为 题型05 求量词命题的否定 【典例】命题“3n∈1,2,3引，n能被4整除”的否定是() A.n∈{1,2,3，n不能被4整除 B.3n庄{1,2,3，n能被4整除 C.Vn∈1,2,3，n2不能被4整除 D.n1,2,3,n不能被4整除 【变式1已知命腿P:Yx∈R,X2-X+>0,则一p为() 4 第4页共8页 人教A版必修第一册同步讲义 216个知识，点 312道经典例题·216个题型集训 A.vxeR,心-X+号0 B.3x∈R,x-x,+0 170 C.3x∈R,x6-X 4 D.VK,eR心-x+好20 题型06 根据量词命题否定的真假求参数 【典例】若命题“31<x<2,a>2x”为假命题，则a的范围是() A.a<2 B.a≤2 C.a<4 D.a≤4 【变式】若命题“V1≤x≤4，x2>m”是假命题，则m的取值范围() A.m≥16 B.m≥1 c.m<16 D.m<1 刷好题 课后巩固分层训练 A组 基础过关 1.命题“Vx∈R,x≥0”的否定是() A.3x∈R,x≥0 B.x∈R,x<0 C.Hx∈R,x<0 D.VX∈R,x≤0 2.下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是() A.对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0 B.菱形的两条对角线相等 C.3x∈R,Vx2=x D.所有的等边三角形都相似 第5页共8页 人教A版必修第一册同步讲义 216个知识，点 312道经典例题216个题型集训 3.若命题“已知y=x-1,Vx∈R,有m≤y”是真命题，则实数m的取值范围是() A.m≥1 B.m≥-1 C.m≤-1 D.m<-1 4.已知命题p:x∈R,x+1>1;命题q:3x>0,x<xo,则() A.p和q都是真命题 B.一p和q都是真命题 C.p和q都是真命题 D.p和q都是真命题 5.命题“-1≤X≤3，x-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是() A.a≥0 B.a≥-1 C.a≤9 D.a≥1 6.(多选)下列结论正确的有() A.Hx∈R,x+4>2x B.“3x∈R,|x-1+1<0”是假命题 C.“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D.“Vx∈R,x+4x4≥0”的否定是“Vx庄R,X+4x4<0” 7.命题“VXZ,x3-2x+1<0”的否定是 8.已知集合A=x-3≤x<5,B=xm+1<x<2m-1 (1)若BCA,求实数m的取值范围： (2)若命题q:3x∈A,使得x∈B是真命题，求实数m的取值范围. B组 能力跃升 1.命题“2≤x≤3，x2-2x-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是() A.a>0 B.a>-1 C.a≥0 D.a≥-1 2.(多选)下列说法中，正确的有() A.命题p:3n∈N,n>2n-5,则命题p的否定为Hn∈N,n≤2n-5 第6页共8页 人教A版必修第一册同步讲义 216个知识，点 312道经典例题·216个题型集训 B.“X>y>0”是“x2>y2”的充要条件 C.命题“对任意实数a,二次函数y=-2x+a的图象关于y轴对称”是真命题 D.命题“若a>b,则ac>bc”是假命题 3.(多选)下列说法正确的有() A.命题“Vx∈R,x2>-1”的否定是“3x生R,x2≤-1” B.已知集合A={x|x-4<0且x∈N,则集合A的真子集个数是3 C.若集合A={xax2+4x+1=0}中只有一个元素，则a=4 D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 4.已知命题p:3x∈R,m-x+2x-5>0,若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_ 5.设命题p:3x∈R,x2-2x+m-3=0,命题q:Vx∈R,x-2m-5x+m2+19≠0.若p,q都为真命题， 求实数m的取值范围. 6.已知集合A=x-2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m-1,且B≠☑ (I)若命题p:“Vx∈B,x∈A”是真命题，求实数m的取值范围. (2)若命题q:“3x∈A,X∈B”是真命题，求实数m的取值范围. C组 思维挑战 1.(多选)x∈R,x表示不超过x的最大整数.十八世纪，y=x被“数学王子”高斯采用，因此得名高 斯函数.人们有时也称之为“向下取整函数”·则下列命题中正确的是() A.3x∈R,x≥x+1 B.x,y∈R,x+y≥lx+ly C.x,y∈R,若x2y,则x≥y D.[x+2]=2x-[x] 2.若实数入使得命题：“3c∈R,使得Va,b∈R,均有1a+b2-2ab+2b+c≠0”是假命题，则入的取值范 围是 3.已知集合A=x|5≥x≥-2，集合B=x|2m-1≥x≥m+1,m∈R,若命题“3x∈A,使得x∈B” 为真命题，命题“Hx∈B,都有X∈A”为假命题，求实数m的取值范围 第7页共8页 人教A版必修第一册同步讲义 216个知识，点· 312道经典例题216个题型集训 4.己知m∈R,集合A={xx-1≤2}，集合B={xm-3<x≤m+2}. ()若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求m的取值范围： (2)若命题“VX∈B,X∈CRA”是真命题，求m的取值范围； (3)若命题“3X∈A,X∈B”是真命题，求m的取值范围， 第8页共8页人教A版必修第一册同步讲义 216个知识点 · 312道经典例题 ·216个题型集训 第一章　集合与常用逻辑用语 §1.5 全称量词与存在量词 同步讲义 课时目标 & 学习重难点 1. 理解全称量词、存在量词的含义，能识别全称量词命题、存在量词命题【重点】 2. 掌握全称量词命题、存在量词命题的真假判断方法【核心考点】 3. 会对全称量词命题、存在量词命题进行否定，牢记命题否定的规则【重难点】 4. 能利用命题的否定解决简单问题，为后续学习逻辑推理打下基础【能力拓展】 知识点 1 全称量词与全称量词命题 1. 全称量词 短语 “所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫做全称量词，用符号表示。 2. 全称量词命题 含有全称量词的命题，叫做全称量词命题。 一般形式： 是给定集合，对中任意一个，成立。 3. 真假判断 · 真命题：对集合中的每一个，都成立； · 假命题：在集合中找到一个，使得不成立（举反例）。 知识点 2 存在量词与存在量词命题 1. 存在量词 短语 “存在一个”“至少有一个” 在逻辑中通常叫做存在量词，用符号表示。 2. 存在量词命题 含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。 一般形式： 含义：在集合中存在至少一个，使成立。 3. 真假判断 · 真命题：在集合中能找到一个，使得成立； · 假命题：对集合中的任意一个，都不成立。 知识点3 全称量词命题和存在量词命题的否定 1. 全称量词命题的否定： 👉全称量词命题的否定是存在量词命题。 2. 存在量词命题的否定： 👉存在量词命题的否定是全称量词命题。 3. 性质：一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，必定一真一假。 知识点4 常见词语的否定 ① 所有的 存在一个 ②任意一个 至少有一个 ③是 不是 ④大于 不大于（小于或等于） ⑤小于 不小于（大于或等于） 判断命题是否为全称量词命题、存在量词命题题型01 【典例】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使； (5)方程有整数解. 【答案】(1)全称量词命题 (2)全称量词命题 (3)全称量词命题 (4)存在量词命题 (5)存在量词命题 【分析】由已知结合全称量词命题及存在量词命题的定义分别检验各命题． 【详解】（1）命题可以改写为：所有的凸多边形的外角和等于，故为全称量词命题． （2）命题可以改写为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． （3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题 （4）含存在量词“有些”，故为存在量词命题． （5）命题可以改写为：存在一对整数x，y，使成立．故为存在量词命题． 【变式】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． （1）凸多边形的外角和等于360°； （2）有的向量方向不定； （3）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直． （4）存在二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴无交点． 【答案】（1）全称量词命题；（2）存在量词命题；（3）全称量词命题；（4）存在量词命题． 【分析】对于（1）可以改为所有的凸多边形，可判断；对于（2）含有存在量词“有的”，可判断；对于（3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，可判断；对于（4）含有量词“存在”，可判断. 【详解】解：（1）可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题． （2）含有存在量词“有的”，故是存在量词命题． （3）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题． （4）含有量词“存在”，是存在量词命题． 用符号“”与“”表示含有量词的命题题型02 【典例】用量词符号“”“”表述下列命题： (1)凸边形的外角和等于. (2)有一个有理数满足. (3)对任意角，都有. 【答案】(1)是凸边形，的外角和是， (2)，. (3)，. 【分析】（1）用全称量词符号表述； （2）用存在量词符号表述； （3）用全称量词符号表述. 【详解】（1）是凸边形，的外角和是； （2），； （3），. 【变式】用符号“”与“”表示下面含有量词的命题： (1)实数的平方大于等于0； (2)存在一对实数对，使成立； (3)勾股定理． 【答案】(1)，； (2)，，，使得； (3)，则． 【详解】（1），； （2），，，使得； （3），则． 判断量词命题的真假题型03 【典例】（多选）下列四个命题中，是真命题的有（　　） A．没有一个无理数不是实数 B．空集是任何一个非空集合的真子集 C． D．至少存在一个整数，使得是整数 【答案】ABD 【分析】结合实数、空集定义直接判断命题的真假即可. 【详解】对于A，该命题等价于所有无理数都是实数，为真命题； 对于B，显然为真命题； 对于C，显然不成立，为假命题； 对于D，取，能使是整数，为真命题． 【变式】（多选）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先明确集合与集合之间的关系，再结合特称命题、全称命题的真假判断规则逐一分析各选项. 【详解】由题意可知：是的真子集， 在A选项中：取，满足即，同时，即， 因此存在且，该命题为真； 在B选项中：对任意都满足，必然满足即， 不存在且的情况，该命题为假； 在C选项中：取，同时，并非所有都不属于，该命题为假； 在D选项中：对任意，都有，因此必然属于，该命题为真. 根据量词命题的真假求参数题型04 【典例】已知命题：“”，命题：“，”，若命题，都是真命题，求实数的取值范围． 【答案】或 【分析】先分别求出命题、为真时，实数的范围，再求两个范围的公共部分可得答案. 【详解】由为真命题，对恒成立，得；① 由为真命题，即方程有实根，得， 即或;② 对①②求交集，可得或， 综上，所求实数的取值范围为或. 【变式】已知命题p：，命题q：，若p为真命题，q为假命题，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【详解】因为，且， 若命题p：是真命题，则，即. 命题q：为假命题， 则，即， 综合可得，所以实数a的取值范围是. 求量词命题的否定题型05 【典例】命题“，能被整除”的否定是（     ） A．，不能被整除 B．，能被整除 C．，不能被整除 D．，不能被整除 【答案】C 【详解】命题“，能被整除”的否定是： “，不能被整除”． 【变式】已知命题：，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由命题：， 可得为. 根据量词命题否定的真假求参数题型06 【典例】若命题“，”为假命题，则a的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出命题的否定，然后求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以命题“，”为真命题， 因为当时， 所以. 故选：B 【变式】若命题“，”是假命题，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】全称命题的否定是特称命题，将问题转化为不等式能成立求参数的取值范围 【详解】因为“，”是假命题， 则其否定“，”为真命题 则 而当时，取得最小值 所以 故选：B 1．命题“，”的否定是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】原命题中的量词为，改为；原命题结论为，其否定为， 所以原命题的否定为：，. 2．下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．对任意的，都有 B．菱形的两条对角线相等 C． D．所有的等边三角形都相似 【答案】D 【详解】对于A，因为对任意的都成立，所以选项A错误；对于B，菱形的两条对角线互相垂直但不一定相等，所以选项B错误； 对于C，是存在量词命题，不满足题意； 对于D，所有的等边三角形都相似，是全称量词命题，也是真命题．故选D． 3．若命题“已知，，有”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用函数性质求出，根据全称命题为真直接求参即可. 【详解】由，得，要使，有，只需， 所以实数m的取值范围是 4．已知命题：，；命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题、存在量词命题的真假判断方法确定命题真假即可. 【详解】对于命题，取，，是假命题，是真命题， 对于命题，取，，是真命题，是假命题， 因此选项ACD错误，B正确. 故选：B 5．命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据命题是真命题，得，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当命题是真命题时，只需当时，， 又因为当时，的最小值是，所以， 结合各个选项可知，只有是的充分不必要条件， 故选：D. 6．（多选）下列结论正确的有（   ） A．， B．“，”是假命题 C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题 D．“，”的否定是“，” 【答案】AB 【分析】由全称量词、存在量词命题的定义及真假逐个判断选项. 【详解】选项A：将不等式变形：，配方得：， 对所有实数恒成立，因此选项A正确； 选项B：由绝对值的非负性，， 因此，不可能小于0，因此选项B正确； 选项C：“有理数的平方是有理数”等价于“所有有理数的平方都是有理数”， 是全称量词命题，而非存在量词命题，因此选项C错误； 选项D：全称量词命题的否定应为存在量词命题，而非改变的取值范围，因此选项D错误. 故选：AB. 7．命题“，”的否定是________． 【答案】， 【详解】命题“，”的否定是，. 8．已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若命题：，使得是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照集合是否为空集进行分类讨论； （2）根据运算即可. 【详解】（1）当时，，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上，实数的取值范围为. （2），使得是真命题，则， 则，即，则， ，，即， 故实数的取值范围为. 1．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若，，则，即， 故原命题为真命题的一个充分不必要条件是. 2．（多选）下列说法中，正确的有（   ） A．命题，则命题的否定为 B．“”是“”的充要条件 C．命题“对任意实数，二次函数的图象关于轴对称”是真命题 D．命题“若，则”是假命题 【答案】ACD 【分析】对A，根据特称命题的否定是全称命题判断；对B，举反例说明；对C，由二次函数的对称性判断；对D，举例说明. 【详解】对于A，命题的否定为，故A正确； 对于B，当时，满足不满足，所以“”不是“”的充要条件，故B错误； 对于C，对任意实数，二次函数的图象关于轴对称，故C正确； 对于D，当时，得，所以命题“若，则”是假命题，故D正确. 故选：ACD. 3．（多选）下列说法正确的有（   ） A．命题“，”的否定是“，” B．已知集合且，则集合A的真子集个数是3 C．若集合中只有一个元素，则 D．设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】BD 【分析】对于A，利用全称命题的否定要求易得；对于B，求出集合，即可判断；对于C，由时满足条件排除选项；对于D，利用充要条件的判定方法易得. 【详解】对于A，根据全称命题的否定要求，可得命题“，”的否定是“，”，即A错误； 对于B，因且且，可知集合A的真子集个数是，故B正确； 对于C，当时，方程即，只有1个实根为，满足条件，故C错误； 对于D，由，若，则，即“充分性”不成立；又由可得且，即由能推出，故“必要性”成立. 故“”是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：BD. 4．已知命题p：，，若p的否定为假命题，则实数m的取值范围为_______． 【答案】 【分析】变形得到，成立，从而得到答案 【详解】因为p的否定为假命题，所以命题p为真命题， 可化为， 即，成立，故只需， 故实数m的取值范围为． 5．设命题，命题．若都为真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】若命题为真命题，则，解得； 若命题为真命题，则， 解得，又都为真命题，所以实数的取值范围是． 6．已知集合，且． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围． (2)若命题是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据全称量词命题为真命题的含义，得出，再结合集合，列出不等式组求解即可； （2）根据存在量词命题为真命题的含义，得出，然后根据解不等式，再根据补集思想进而即得. 【详解】（1）因为命题“”是真命题,则 , 所以，解得， 所以实数 的取值范围为 . （2）由题意知，得 . 因为命题是真命题，所以 . 若，则 或 ，且，即. 故若，则， 故实数的取值范围为 . 1．（多选），表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数．人们有时也称之为“向下取整函数”．则下列命题中正确的是（    ） A．， B．，， C．，，若，则 D． 【答案】BD 【分析】根据的定义，逐一分析各个选项即可判断得解. 【详解】对于A，由，得恒成立，A错误； 对于B，，，则， 当时，，有； 当时，，因此，，B正确； 选项C，取，满足，而，C错误； 对于D，，当时，，则， 即有，又，因此； 当时，，则，即有， 又，因此，D正确. 故选：BD 2．若实数使得命题：“，使得，均有”是假命题，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先将原命题的假命题转化为其否命题为真命题，再把式子视为关于的方程，利用判别式得到关于的不等式，最后分和两种情况分析，确定的取值范围. 【详解】由题意可知，原命题的否命题：“，使得”是真命题． 所以对任意实数，方程都有实数解． 故而对任意固定的实数都有解． 即关于的不等式对任意固定的实数都有解． 对不等式分情况讨论： ①.若,即.当时,不等式为,对任意显然有解. 当时,关于的二次函数开口向上, 其值域包含正数,故对任意,总存在使得.所以符合题意. ②.若,即.关于的二次函数开口向下, 其最大值为. 要使不等式对任意都有解,则需要其最大值对任意都非负, 即对任意恒成立,这显然是不可能的.故不符合题意. 因此，的取值范围是． 故答案为： 3．已知集合，集合，若命题“，使得”为真命题，命题“，都有”为假命题，求实数的取值范围 【答案】 【分析】分析命题得到两集合之间的关系，对于集合是不是空集分类讨论得到结果； 【详解】因为集合，集合，命题“，使得”为真命题，所以 又命题“，都有”为假命题，可知集合不是集合的子集， 当时，，解得，此时，不满足， 当时，，解得， 因为，所以或 由，解得；由，解得 因此得到 又因为集合不是集合的子集，所以或，解得或， 结合，可得. 4．已知，集合，集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若命题“，”是真命题，求的取值范围； (3)若命题“，”是真命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求出集合A，根据已知条件得是的真子集，列出关于的不等式组即可求解； （2）根据已知条件得是的子集，分析可得.列出关于的不等式，即可求解； （3）由命题“，”是真命题，得.可先求得“时，的取值范围”，再求得“当时，的取值范围”. 【详解】（1）集合，集合. 若“”是“”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集. 所以 ，解得. 当时，，符合题意； 所以的取值范围是. （2）若命题“，”是真命题，则集合是的子集. 或. 因为恒成立，所以. 所以或， 解得：或. 所以的取值范围是或. （3）因为“，”是真命题，所以. 当时，因为，所以或，即或. 所以当时，的取值范围是. 所以，若命题“，”是真命题，则的取值范围是. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $