1.5 全称量词与存在量词 讲义-2026-2027学年高一上学期数学必修第一册

本讲义聚焦高中数学“全称量词和存在量词”核心知识点，系统梳理全称量词与存在量词的概念、符号表示、命题形式，构建从概念理解到真假判断（全称需证所有元素成立、存在需找一个元素成立）再到命题否定（全称否定为存在、存在否定为全称）的递进式学习支架。 资料通过表格对比明晰概念差异，例题与跟踪训练结合强化应用，分层练习题覆盖不同难度。助力学生用数学思维推理命题真假，用数学语言规范表达否定形式，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1.5 全称量词和存在量词 知识点一、全称量词命题和存在量词命题 1.全称量词命题和存在量词命题的概念 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 2.全称量词命题和存在量词命题的真假判断 （1）全称量词命题的真假判断 ①要判断全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立. ②如果在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题． （2）存在量词命题的真假判断 ①要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立． ②要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是假命题，需要集合中的每个元素x，证明p(x)都不成立． 知识点二、全称量词命题和存在量词命题的否定 1.含量词的命题的否定 类型 全称量词命题 存在量词命题 命题形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 命题的否定 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题的否定是全称量词命题 2.命题的否定与原命题的真假关系：原命题为真，则其否命题为假；原命题为假，则其否命题为真. 题型一：全称量词命题和存在量词命题及其真假的判断 例1.判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题，并判断命题的真假. （1）凸多边形的外角和等于360°. （2）对任意的，都有. （3）方程3x－2y＝10有整数解． （4）存在x，y，使2x+3y+3<0. 跟踪训练： 1.判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题，并判断命题的真假． （1）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直. （2）对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立. （3）有些整数既能被2整除，又能被3整除. （4）存在，使. 题型二：全称量词命题和存在量词命题否定及其真假判断 例1.写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． （1）所有分数都是有理数. （2）∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. （3）∃a，b∈R，a2＋b2≤0. （4）∀x∈R，x2－2x＋1≥0. 跟踪训练： 1.写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． （1）某些梯形的对角线互相平分； （2）存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小； （3）所有自然数的平方都是正数. （4）∀x∈R，|x|＋x2≥0. 1.（多选）下列命题是全称量词命题的是(　　) A．任意一个自然数都是正整数 B．有的菱形是正方形 C．梯形有两边平行 D．∃x∈R，x2＋1＝0 2.命题“∃x>0,2x2＝5x－1”的否定是(　　) A．∀x>0,2x2≠5x－1 B．∀x≤0,2x2＝5x－1 C．∃x>0,2x2≠5x－1 D．∃x≤0,2x2＝5x－1 3.下列命题中是存在量词命题的是（ ） A.有些自然数是偶数 B.正方形是菱形 C.能被6整除的数也能被3整除 D.对于任意，总有 4.命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它 是 命题(填“真”或“假”) 5.若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是 ． 6.命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是 ． 7.已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是 ． 8.写出下列命题的否定，并判断真假． （1）正方形都是菱形； （2）∃x∈R，使4x﹣3＞x； （3）∀x∈R，有x+1＝2x． 1.下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是(　　) A．有一个x∈R，使得x2>3 B．对有些x∈R，使得x2>3 C．任选一个x∈R，使得x2>3 D．至少有一个x∈R，使得x2>3 2.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是(　　) A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根 D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根 3.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是(　　) A．∀x∈R,2x＋1>0 B．若2x为偶数，则x∈N C．菱形的四条边都相等 D．π是无理数 4.(多选)对下列命题的否定说法正确的是(　 　) A．p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数 B．p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形 C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形 D．p：∀n∈N,2n≤100；p的否定：∃n∈N,2n>100 5.已知命题；命题，则( ) A.和都是真命题 B.和都是真命题 C.和都是真命题 D.和都是真命题 6.命题:“存在实数,使方程有实数根”,则的否定是( ) A.存在实数,使方程无实数根 B.不存在实数,使方程无实数根 C.对任意的实数,方程无实数根 D.至多有一个实数,使方程有实数根 7.命题,使,若是真命题,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.下列命题，是全称量词命题的是 ，是存在量词命题的是 ．(填序号) ①正方形的四条边相等； ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．　 9.已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题綈p是假命题，则实数a的取值范围是 ． 10.设为给定的一个实常数，命题，则”“是“命题为真命题”的 . 11.若“”为真命题，则的取值范围是 . 12.已知命题：“∃x∈{x|1≤x≤2}，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是 ． 13.写出下列命题的否定，并判断其真假： （1）p：∀x∈R，x2+x+1＞0； （2）p：有些三角形的三条边相等； （3）p：菱形的对角线互相垂直； （4）p：∃x∈N，x2﹣2x+1≤0． 14.若，函数的图象和轴恒有公共点，求实数的取值范围． 15.已知集合，，命题，命题． （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 16.已知命题p：∀x∈R，x2+2m﹣3＞0，命题q：∃x∈R，x2﹣2mx+m+2＜0． （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 全称量词和存在量词 知识点一、全称量词命题和存在量词命题 1.全称量词命题和存在量词命题的概念 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 2.全称量词命题和存在量词命题的真假判断 （1）全称量词命题的真假判断 ①要判断全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立. ②如果在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题． （2）存在量词命题的真假判断 ①要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立． ②要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是假命题，需要集合中的每个元素x，证明p(x)都不成立． 知识点二、全称量词命题和存在量词命题的否定 1.含量词的命题的否定 类型 全称量词命题 存在量词命题 命题形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 命题的否定 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题的否定是全称量词命题 2.命题的否定与原命题的真假关系：原命题为真，则其否命题为假；原命题为假，则其否命题为真. 题型一：全称量词命题和存在量词命题及其真假的判断 例1.判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题，并判断命题的真假. （1）凸多边形的外角和等于360°. （2）对任意的，都有. （3）方程3x－2y＝10有整数解． （4）存在x，y，使2x+3y+3<0. 解：（1）全称量词命题，表示为∀x∈{x|x为凸多边形}，x的外角和为360°，是真命题. （2）全称量词命题，表示为，，是假命题. （3）存在量词命题，表示为，使3x－2y＝10，是真命题． （4）存在量词命题，表示为，使2x+3y+3<0，是真命题． 跟踪训练： 1.判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题，并判断命题的真假． （1）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直. （2）对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立. （3）有些整数既能被2整除，又能被3整除. （4）存在，使. 解：（1）全称量词命题，表示为∀x∈{x|x为菱形}，x的对角线互相垂直，是真命题. （2）全称量词命题，表示为∀x∈{x|x>－1},3x＋4>0，是真命题. （3）存在量词命题，表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除，是真命题． （4）存在量词命题，表示为，使，是假命题. 题型二：全称量词命题和存在量词命题否定及其真假判断 例1.写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． （1）所有分数都是有理数. （2）∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. （3）∃a，b∈R，a2＋b2≤0. （4）∀x∈R，x2－2x＋1≥0. 解：（1）该命题的否定：存在一个分数不是有理数，否命题是假命题． （2）命题的否定是“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题． （3）命题的否定：∀a，b∈R，a2＋b2>0.∵当a＝b＝0时，a2＋b2＝0，∴命题的否定是假命题． （4）命题的否定：∃x∈R，x2－2x＋1<0，否命题是假命题. 跟踪训练： 1.写出下列命题的否定，并判断其否定的真假． （1）某些梯形的对角线互相平分； （2）存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小； （3）所有自然数的平方都是正数. （4）∀x∈R，|x|＋x2≥0. 解：（1）命题的否定为：任意一个梯形的对角线都不互相平分．命题的否定为真命题． （2）命题的否定为：对任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．命题的否定为假命题． （3）命题的否定为：有些自然数的平方不是正数.命题的否定为真命题． （4）命题的否定为：∃x∈R，|x|＋x2<0.命题的否定为假命题． 1.（多选）下列命题是全称量词命题的是(　　) A．任意一个自然数都是正整数 B．有的菱形是正方形 C．梯形有两边平行 D．∃x∈R，x2＋1＝0 解：选项A中的命题含有全称量词“任意”，是全称量词命题，选项C中，“梯形有两边平行”是全称量词命题．故选：AC. 2.命题“∃x>0,2x2＝5x－1”的否定是(　　) A．∀x>0,2x2≠5x－1 B．∀x≤0,2x2＝5x－1 C．∃x>0,2x2≠5x－1 D．∃x≤0,2x2＝5x－1 解：存在量词命题的否定是全称量词命题．故选：A. 3.下列命题中是存在量词命题的是（ ） A.有些自然数是偶数 B.正方形是菱形 C.能被6整除的数也能被3整除 D.对于任意，总有 解：A中含有存在量词，是存在量词命题； B中全称量词省略，可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题； C中全称量词省略，可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题； D中有全称量词“任意”，是全称量词命题．故选：A. 4.命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它 是 命题(填“真”或“假”) 解：命题p是存在量词命题，因为方程x2＋2x＋5＝0的判别式22－4×5<0， 即方程x2＋2x＋5＝0无实根，所以命题p是假命题．故答案为：存在量词命题，假. 5.若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是 ． 解：∵命题∀x∈R，x2－4x＋a≠0为假命题，∴∃x∈R，x2－4x＋a＝0是真命题， ∴方程x2－4x＋a＝0有实数根，则Δ＝(－4)2－4a≥0，解得a≤4.故答案为：{a|a≤4} 6.命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是 ． 解：原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要否定量词又要否定结论，所以其否定为存在一个x∈R，使得x2－2x＋4>0.故答案为：存在一个x∈R，使得x2－2x＋4>0. 7.已知命题p：∀x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是 ． 解：依题意不等式x2＋2x－a>0对x∈R恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1. 故答案为（－∞，－1）. 8.写出下列命题的否定，并判断真假． （1）正方形都是菱形； （2）∃x∈R，使4x﹣3＞x； （3）∀x∈R，有x+1＝2x． 解：（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题． （2）命题的否定：∀x∈R，有4x﹣3≤x．因为当x＝2时，4×2﹣3＝5＞2， 所以“∀x∈R，有4x﹣3≤x”是假命题． （3）命题的否定：∃x∈R，使x+1≠2x．因为当x＝2时，x+1＝2+1＝3≠2×2， 所以“∃x∈R，使x+1≠2x”是真命题． 1.下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是(　　) A．有一个x∈R，使得x2>3 B．对有些x∈R，使得x2>3 C．任选一个x∈R，使得x2>3 D．至少有一个x∈R，使得x2>3 解：“∀”表示“任意的”．故选：C. 2.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则p的否定是(　　) A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根 C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根 D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根 解：命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实数根．故选：C. 3.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是(　　) A．∀x∈R,2x＋1>0 B．若2x为偶数，则x∈N C．菱形的四条边都相等 D．π是无理数 解：对A，是全称量词命题，但不是真命题，故A不正确； 对B，是全称量词命题，但不是真命题，故B不正确； 对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确； 对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确．故选：C. 4.(多选)对下列命题的否定说法正确的是(　 　) A．p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数 B．p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形 C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形 D．p：∀n∈N,2n≤100；p的否定：∃n∈N,2n>100 解：“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．故选：ABD. 5.已知命题；命题，则( ) A.和都是真命题 B.和都是真命题 C.和都是真命题 D.和都是真命题 解：直接判断两个命题的真假．取可得，即不成立， 故命题是假命题，是真命题．当时，，故命题是真命题． 所以和都是真命题．故选：B. 6.命题:“存在实数,使方程有实数根”,则的否定是( ) A.存在实数,使方程无实数根 B.不存在实数,使方程无实数根 C.对任意的实数,方程无实数根 D.至多有一个实数,使方程有实数根 解：命题是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数，方程无实数根．故选：C. 7.命题,使,若是真命题,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 解：因为，所以由，可得．所以， 因为是真命题，所以.故选：C. 8.下列命题，是全称量词命题的是 ，是存在量词命题的是 ．(填序号) ①正方形的四条边相等； ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数．　 解：①②③是全称量词命题，④是存在量词命题．故答案为：①②③，④. 9.已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题綈p是假命题，则实数a的取值范围是 ． 解：∵命题綈p是假命题，∴p是真命题，即存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题， ∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1.故答案为：{a|a≤1}. 10.设为给定的一个实常数，命题，则”“是“命题为真命题”的 . 解：由题意得对恒成立，令， 则在处取得最大值，最大值为，故，即命题为真命题时. 由于，但， 故“”是“命题为真命题”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要条件. 11.若“”为真命题，则的取值范围是 . 解：要使在上恒成立，则．令，则，在上单调递增，则，所以.故答案为：{a|}. 12.已知命题：“∃x∈{x|1≤x≤2}，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是 ． 解：当x∈{x|1≤x≤2}时，因为x2＋2x＝(x＋1)2－1，所以3≤x2＋2x≤8， 由题意有a＋8≥0，∴a≥－8.故答案为：{a|}. 13.写出下列命题的否定，并判断其真假： （1）p：∀x∈R，x2+x+1＞0； （2）p：有些三角形的三条边相等； （3）p：菱形的对角线互相垂直； （4）p：∃x∈N，x2﹣2x+1≤0． 解：（1）易知原命题的否定为：¬p：∃x∈R，x2+x+1≤0， 显然，故¬p为假命题； （2）易知原命题的否定为：¬p：所有的三角形的三条边不都相等， 因为正三角形的三条边相等，则命题p是真命题，则¬p是假命题； （3）易知原命题的否定为：¬p：存在一个菱形，则它的对角线互相不垂直， 显然原命题是真命题，则¬p是假命题； （4）易知原命题的否定为：¬p：∀x∈N，x2﹣2x+1＞0． 显然当x＝1时，x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＝0，则命题¬p为假命题． 14.若，函数的图象和轴恒有公共点，求实数的取值范围． 解：因为函数的图象和轴恒有公共点， 所以恒成立， 即恒成立. 设， 则可转化为此二次函数的图象恒在轴上方（或图象顶点在轴上）的充要条件是，可得. 故实数的取值范围是. 15.已知集合，，命题，命题． （1）若命题为假命题，求实数的取值范围； （2）若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 解：(1)若命题为真命题，则，所以， 所以当命题为假命题时，实数的取值范围为. （2）当命题为假命题时，“”为真命题， 所以,解得， 所以当命题均为假命题时，实数的取值范围为， 所以当命题和命题至少有一个为真命题时，实数的取值范围为. 16.已知命题p：∀x∈R，x2+2m﹣3＞0，命题q：∃x∈R，x2﹣2mx+m+2＜0． （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围． 解：（1）若命题p为真命题，则x2＞3﹣2m对x∈R恒成立，因此3﹣2m＜0，解得． 故实数m的取值范围是． （2）若命题q为真命题， 则Δ＝（﹣2m）2﹣4（m+2）＞0，即m2﹣m﹣2＞0，解得m＜﹣1或m＞2， 因此，实数m的取值范围是{m|m＜﹣1或m＞2}； 若命题p，q至少有一个为真命题， 可得∪{m|m＜﹣1或m＞2}＝{m|m＜﹣1或． 所以实数m的取值范围{m|m＜﹣1或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $