25.2.3　因式分解法 导学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“因式分解法解一元二次方程”，课堂导入从“ab=0则a=0或b=0”的性质切入，通过类比（x+3）（x-3）=0的方程转化，衔接已学因式分解知识，搭建从整式乘法到降次解方程的学习支架。 该资料以提公因式法、公式法为核心，通过例1例2分层讲解方法步骤，例3结合等腰三角形面积问题体现实际应用，培养学生运算能力与推理意识。课堂训练题基础与综合结合，引导学生用数学语言表达方程转化过程，发展模型意识与应用意识，助力主动探究与知识内化。

25.2.3　因式分解法 教学目标 1.掌握应用因式分解的方法，会正确求一元二次方程的解. 2.在利用因式分解将一元二次方程转化成两个一元一次方程的过程中，体会“等价转化”“降次”的数学思想方法. 3.通过探讨一元二次方程的解法，体会“降次”化归的思想，逐步培养主动探究的精神与积极参与的意识. 重点难点 重点：用因式分解法解一元二次方程. 难点：会用因式分解法解形如“x2＝ax”的一元二次方程. 教学过程 我们知道ab＝0，那么a＝0或者b＝0，类似地解方程（x＋3）（x－3）＝0时，可转化为两个一元一次方程x＋3＝0或x－3＝0来解.同样你能求出（x＋3）（x－5）＝0的解吗？ 探究点一　用因式分解法解一元二次方程 类型一　利用提公因式法分解因式 【例1】用因式分解法解下列方程： （1）5x2－4x＝0； （2）x（x－2）＝x－2. 【解析】变形后右边是零，左边是能分解的多项式，可用因式分解法. 【解】（1）原方程可化为x（5x－4）＝0， ∴x＝0或5x－4＝0， 解得x1＝0，x2＝. （2）原方程可化为x（x－2）－（x－2）＝0， ∴（x－2）（x－1）＝0，∴x－2＝0或x－1＝0， 解得x1＝2，x2＝1. 类型二　利用公式法分解因式 【例2】用因式分解法解下列方程： （1）x2－4x＝－4； （2）（x－3）2－16＝0. 【解析】（1）把右边移到左边，再用完全平方公式分解因式求出方程的根；（2）直接用平方差公式分解因式求出方程的根. 【解】（1）原方程可变形为x2－4x＋4＝0，则（x－2）2＝0， ∴x－2＝0，解得x1＝x2＝2. （2）∵（x－3）2－16＝0， ∴（x－3＋4）（x－3－4）＝0， ∴（x＋1）（x－7）＝0， ∴x＋1＝0或x－7＝0，解得x1＝－1，x2＝7. 【方法总结】因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 探究点二　用因式分解法解决问题 【例3】已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2－11x＋30＝0的一个根.求三角形的面积. 【解析】先利用因式分解法解方程求出x的值，从而得出等腰三角形三边的长度，再利用勾股定理求出高，继而利用面积公式计算即可. 【解】∵x2－11x＋30＝0， ∴（x－5）（x－6）＝0， ∴x－5＝0或x－6＝0， 解得x1＝5，x2＝6. 当腰长为5时，三角形三边长度为5，5，8，此时底边上的高为3， ∴等腰三角形的面积为×8×3＝12； 当腰长为6时，三角形三边长度为6，6，8，此时底边上的高为2， ∴等腰三角形的面积为×8×2＝8. 综上，三角形的面积为12或8. 1.方程x2＋3x－18＝0的两个根为（　　） A.x1＝－6，x2＝3 B.x1＝－3，x2＝6 C.x1＝－2，x2＝9 D.x1＝－9，x2＝2 2.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－10x＋21＝0的一个根，则该三角形第三边的长为（　　） A.6 B.3或7 C.3 D.7 3.用因式分解法解下列方程： （1）x2－4x－5＝0； （2）x（x－1）＝2－2x. 25.2.3　因式分解法 1.因式分解： x2－1（x＋1）（x－1）. 2.提公因式法分解因式： （1）确定公因式； （2）分离公因式； （3）提取公因式. 3.公式法分解因式： （1）平方差公式； （2）完全平方公式. 本节课学习了因式分解法的概念，会用因式分解法解一元二次方程.体会转化思想：把一个一元二次方程降次转化为两个一元一次方程求解. 　　通过本节课的学习，学生知道了解一元二次方程的方法不是唯一的，除了以前所学习过的方法，还有因式分解法.然后通过例题讲解和课堂中的练习，学生感受到因式分解法给解题带来的便捷.在解一元二次方程时，要先考虑有无公因式，能否用因式分解法解方程，如果没有公因式再考虑用公式法. 答案 课堂训练 1.A　2.D 3.解：（1）∵x2－4x－5＝0， ∴（x＋1）（x－5）＝0， 则x＋1＝0或x－5＝0， 解得x1＝－1，x2＝5. （2）∵x（x－1）＝2－2x， ∴x（x－1）＝－2（x－1）， ∴x（x－1）＋2（x－1）＝0， 则（x＋2）（x－1）＝0， ∴x＋2＝0或x－1＝0， 解得x1＝－2，x2＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $