25.2.3 因式分解法 导学案2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“因式分解法解一元二次方程”，通过物理竖直上抛问题情境导入，前置补偿回顾已学解方程方法与因式分解知识，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生理解“ab=0则a=0或b=0”的原理及解题步骤。 资料突出小组互查质疑与合作讨论，强化对因式分解逻辑的推理意识，分层作业设计兼顾基础与提升，培养运算能力，结合实际问题体现模型意识，助力学生形成“降次转化”的数学思维，提升自主探究与问题解决能力。

25.2.3 因式分解法 导学案 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 【学习目标】 1.理解用因式分解法解一元二次方程的基本原理：若 ab=0，则 a=0 或 b=0。 2.掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤，会用因式分解法解某些特殊的一元二次方程。 3.能够根据方程的特点，灵活选择合适的方法解一元二次方程（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）。 4.体会 “降次” 转化的数学思想，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。 学习重点：会用因式分解法解一元二次方程。 学习难点：正确对方程左边因式分解；理解 ab=0 的逻辑；根据方程特征选择恰当解法。 【前置补偿】 1. 我们已经学习过哪几种解一元二次方程的方法？ 2. 回忆因式分解常用的方法有哪些？ 【学生自学】 （阅读教材对应 25.2.3 因式分解法部分） 一、情境引入 物理问题：物体从地面以 10m/s 的速度竖直上抛，经过 x s 后离地高度为 (10x−5x²) m，物体落回地面时高度为 0m，列方程得：10x−5x²=0。 对该方程左边因式分解，得：________________________。 依据：如果两个因式的乘积等于 0，那么________________________________。 也就是：若 ab=0，则____________或____________。 因此得到： =0 或 =0。 解得：x₁= ，x₂= 。 思考：x₁、x₂的实际意义分别是什么？ 【小组互查质疑】 推导完成后，小组内互相交换导学案，对照上面步骤检查同伴填写： ①因式分解是否分解彻底； ②是否正确运用 “若 ab=0，则___ ______或___ ____。”； ③有没有混淆 “且” 与 “或”； ④实际问题有没有检验根的实际意义。 把发现的漏洞、错误写在下面： 知识总结：什么叫做因式分解法解一元二次方程？ 答：把一元二次方程整理成一边是________，另一边分解成________________的形式，再使这两个一次因式分别等于 0，从而实现 ，这种解法叫做因式分解法。 二、知识点学习 因式分解法解一元二次方程一般步骤 ①移项：将方程整理，使方程右边化为________； ②因式分解：把方程左边分解成________________________； ③降次：令每一个一次因式分别等于 0，得到________________________； ④求解：解两个一元一次方程，写出方程的两个根。 思考：因式分解法是不是适合所有的一元二次方程？直接开平方法、配方法、公式法呢？ 四种解法适用特点对比： 直接开平方法：适合________________________________形式的方程； 配方法、公式法：适用于________________一元二次方程； 因式分解法：只适合________________________________的一元二次方程，解题更简便。 核心思想：解一元二次方程的基本思路是________，把二次方程转化为两个________求解。 思考辨析：小组交流，四种解法各自的优缺点是什么？ 三、例题自学 例 4 解下列方程： (1) x (x−2)+x−2=0； 解：左边因式分解，得：________________________ 于是 =0 或 =0 即 x₁= ，x₂= 。 (2) 5x²−2x−1/4 = x²−2x+3/4。 解：移项、合并同类项，整理得：________________________ 左边因式分解，得：________________________ 于是 =0 或 =0 即 x₁= ，x₂= 。 四、自学小测 用因式分解法解下列方程 (1) x²+x=0； (2) x²−2√3 x=0； (3) 3x²−6x=−3； (4) 4x²−81=0； (5) 3x(2x+1)=4x+2； (6) (x−4)²=(5−2x)²。 【合作学习】（讨论交流，写下要点） 1. 用因式分解法解方程，为什么必须先把方程右边化为 0？如果右边不为 0，直接分解因式行不行？ 2. “若 ab=0，则 a=0 或 b=0” 中，“或” 字的含义是什么，可以写成 “且” 吗？ 3. 对比四种解法，说一说什么条件优先选择直接开平方法？什么条件优先因式分解法？什么情况用公式法？ 4.配方法在本章有什么特殊作用？仅仅用来解方程吗？ 小组讨论疑问记录：____________________________________________ 【精讲点拨】（课堂笔记区） 🔔易错警示 1.因式分解法解方程，一定要把方程右边整理为 0，再分解左边因式，不化为 0 不能直接令因式等于 0。 2.“ab=0” 是 a=0 或者 b=0，二者满足其一即可，不是同时等于 0，不要把 “或” 写成 “且”。 3.不要随意在方程两边同时除以含有未知数的代数式，容易丢失根。 4.因式分解要分解到不能再分解为止。 5.直接开平方法注意开平方必须写 “±”，不要漏掉负根。 课堂笔记： 【总结提升】 因式分解法理论依据：若 ab=0，则 a=0 或 b=0。 因式分解法步骤：移项化为右边为 0 → 左边因式分解 → 得到两个一次方程 → 求解。 四种解法回顾： ①直接开平方法：适合形如 (x+n)²=p 的方程； ②配方法：可以解全部一元二次方程，同时也是推导求根公式的工具； ③公式法：适合全部一元二次方程，直接代入公式计算； ④因式分解法：仅适合能够把左边分解为一次因式乘积、右边为 0 的方程，计算简便。 数学核心思想：降次转化，把一元二次方程转化为一元一次方程。 【课内自测】 选用合适的方法解下列方程 (1) x²+x=0 (2) x²−2√3 x=0 (3) 3x²−6x=−3 (4) 4x²−81=0 (5) 3x(2x+1)=4x+2 (6) (x−4)²=(5−2x)² 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 用因式分解法解下列方程 (1) x²−7x=0 (2) x²−16=0 (3) 2x²−4x=0 解方程 x (x−5)=0，写出完整步骤。 B 组【能力提升・选做】 用因式分解法解方程：(x+3)²=2x+6 解方程：4 (x−3)²−x (x−3)=0 选用适当方法解方程：(2x−3)²=4 C 组【拓广探索・培优】 小明解方程 2x (x−1)=3 (x−1) 时，直接方程两边同时除以 (x−1)，得到 2x=3，解得 x=3/2。小明的解法是否正确？如果错误，请写出正确完整解法。 一个小圆形场地，把半径增加 5m 得到大圆形场地，大、小圆形场地面积之比为 9:4，求小圆形场地的半径。 已知一元二次方程 x²+(m−2) x−2m=0，请用因式分解法求出这个方程的两个根。 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.3 因式分解法 导学案【解析版】 【学习目标】 1.理解用因式分解法解一元二次方程的基本原理：若 ab=0，则 a=0 或 b=0。 2.掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤，会用因式分解法解某些特殊的一元二次方程。 3.能够根据方程的特点，灵活选择四种解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。 4.体会 “降次” 转化的数学思想，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。 学习重点：会用因式分解法解一元二次方程。 学习难点：正确对方程左边因式分解；理解 ab=0 的逻辑；根据方程特征选择恰当解法。 【前置补偿】 我们已经学习过哪几种解一元二次方程的方法？ 答：直接开平方法、配方法、公式法。 回忆因式分解常用的方法有哪些？ 答：提公因式法；公式法（平方差 a²−b²=(a+b)(a−b)、完全平方 a²±2ab+b²=(a±b)²）。 【学生自学】 （阅读教材对应 25.2.3 因式分解法部分） 一、情境引入 物理问题：物体从地面以 10m/s 的速度竖直上抛，经过 x s 后离地高度为 (10x−5x²) m，物体落回地面时高度为 0m，列方程得：10x−5x²=0。 对该方程左边因式分解，得：x (10−5x)=0。 依据：如果两个因式的乘积等于 0，那么至少有一个因式等于 0。 也就是：若 ab=0，则 a=0 或 b=0。 因此得到：x=0 或 10−5x=0。 解得：x₁=0，x₂=2。 思考：x₁、x₂的实际意义分别是什么？ 答：x₁=0 表示物体被抛出的时刻；x₂=2 表示抛出 2 秒后物体落回地面。 【小组互查质疑】 推导完成后，小组内互相交换导学案，对照上面步骤检查同伴填写： ①因式分解是否分解彻底； ②是否正确运用 “若 ab=0，则 a=0 或 b=0”； ③有没有混淆 “且” 与 “或”； ④实际问题有没有检验根的实际意义。 把发现的漏洞、错误写在下面： 参考提示：常见错误：分解不彻底；把 “或” 写成 “且”；忽略实际意义根的取舍。 什么叫做因式分解法解一元二次方程？ 答：把一元二次方程整理成一边是 0，另一边分解成两个一次因式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于 0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法。 二、知识点学习 因式分解法解一元二次方程一般步骤 ①移项：将方程整理，使方程右边化为 0； ②因式分解：把方程左边分解成两个一次因式相乘的形式； ③降次：令每一个一次因式分别等于 0，得到两个一元一次方程； ④求解：解两个一元一次方程，写出方程的两个根。 思考：因式分解法是不是适合所有的一元二次方程？直接开平方法、配方法、公式法呢？ 答：因式分解法只适合一部分可以因式分解的方程；直接开平方法、配方法、公式法可以解全部一元二次方程。 四种解法适用特点对比 直接开平方法：适合形如 (x+n)²=p 形式的方程； 配方法、公式法：适用于全部一元二次方程； 因式分解法：只适合左边容易分解成两个一次因式乘积，右边为 0 的一元二次方程，解题更简便。 核心思想：解一元二次方程的基本思路是降次，把二次方程转化为两个一元一次方程求解。 思考辨析：小组交流，四种解法各自的优缺点是什么？ 答： ①直接开平方法：计算最快，但只适用于特定平方形式； ②因式分解法：计算简便，但是对因式分解能力有要求，不是所有方程都能分解； ③公式法：万能，直接套公式，但计算量大，容易符号出错； ④配方法：计算繁琐，适合特定题型，最大作用是推导求根公式。 三、例题自学 例 4 解下列方程： (1) x (x−2)+x−2=0； 解：左边因式分解，得：(x−2)(x+1)=0 于是 x−2=0 或 x+1=0 即 x₁=2，x₂=−1。 (2) 5x²−2x−1/4 = x²−2x+3/4。 解：移项、合并同类项，整理得：4x²−1=0 左边因式分解，得：(2x+1)(2x−1)=0 于是 2x+1=0 或 2x−1=0 即 x₁=−1/2，x₂=1/2。 四、自学小测 用因式分解法解下列方程 (1) x²+x=0； 解：x (x+1)=0，x₁=0，x₂=−1 (2) x²−2√3 x=0； 解：x (x−2√3)=0，x₁=0，x₂=2√3 (3) 3x²−6x=−3； 解：整理：3x²−6x+3=0，3 (x−1)²=0，x₁=x₂=1 (4) 4x²−81=0； 解：(2x+9)(2x−9)=0，x₁=−9/2，x₂=9/2 (5) 3x (2x+1)=4x+2； 解：3x (2x+1)−2 (2x+1)=0，(2x+1)(3x−2)=0，x₁=−1/2，x₂=2/3 (6) (x−4)²=(5−2x)²。 解：(x−4)²−(5−2x)²=0，[(x−4)+(5−2x)][(x−4)−(5−2x)]=0 (−x+1)(3x−9)=0，x₁=1，x₂=3 【合作学习】（讨论交流，写下要点） 用因式分解法解方程，为什么必须先把方程右边化为 0？如果右边不为 0，直接分解因式行不行？ 答：ab=0 才有 a=0 或 b=0；若右边不为 0，乘积不等于 0，不能令因式分别等于 0，不能直接分解求解。 “若 ab=0，则 a=0 或 b=0” 中，“或” 字的含义是什么，可以写成 “且” 吗？ 答：“或” 表示 a、b 至少有一个为 0，可以其中一个为 0，也可以两个同时为 0；不能写成 “且”，“且” 代表两个必须同时等于 0。 对比四种解法，说一说什么条件优先选择直接开平方法？什么条件优先因式分解法？什么情况用公式法？ 答：方程是平方等于常数形式优先直接开平方法；移项后右边为 0，左边易因式分解优先因式分解法；无法直接开平方、不容易因式分解，选用公式法。 配方法在本章有什么特殊作用？仅仅用来解方程吗？ 答：配方法可以解方程，同时是推导求根公式的工具，后续学习二次函数还要用到配方法。 小组讨论疑问记录：____________________________________________ 【精讲点拨】（课堂笔记区） 🔔易错警示 因式分解法解方程，一定要把方程右边整理为 0，再分解左边因式，不化为 0 不能直接令因式等于 0。 “ab=0” 是 a=0 或者 b=0，二者满足其一即可，不是同时等于 0，不要把 “或” 写成 “且”。 不要随意在方程两边同时除以含有未知数的代数式，容易丢失根。 因式分解要分解到不能再分解为止。 直接开平方法注意开平方必须写 “±”，不要漏掉负根。 课堂笔记： 【总结提升】 因式分解法理论依据：若 ab=0，则 a=0 或 b=0。 因式分解法步骤：移项化为右边为 0 → 左边因式分解 → 得到两个一次方程 → 求解。 四种解法回顾： ①直接开平方法：适合形如 (x+n)²=p 的方程； ②配方法：可以解全部一元二次方程，同时也是推导求根公式的工具； ③公式法：适合全部一元二次方程，直接代入公式计算； ④因式分解法：仅适合能够把左边分解为一次因式乘积、右边为 0 的方程，计算简便。 数学核心思想：降次转化，把一元二次方程转化为一元一次方程。 【课内自测】 选用合适的方法解下列方程 (1) x²+x=0 解：x (x+1)=0 x₁=0，x₂=−1 (2) x²−2√3 x=0 解：x (x−2√3)=0 x₁=0，x₂=2√3 (3) 3x²−6x=−3 解：整理 3x²−6x+3=0，3 (x−1)²=0 x₁=x₂=1 (4) 4x²−81=0 解：(2x+9)(2x−9)=0 x₁=−9/2，x₂=9/2 (5) 3x (2x+1)=4x+2 解：3x (2x+1)−2 (2x+1)=0 (2x+1)(3x−2)=0 x₁=−1/2，x₂=2/3 (6) (x−4)²=(5−2x)² 解：(x−4)²−(5−2x)²=0 (−x+1)(3x−9)=0 x₁=1，x₂=3 【分层作业】 A 组【基础过关・必做】 用因式分解法解下列方程 (1) x²−7x=0 解：x (x−7)=0 x₁=0，x₂=7 (2) x²−16=0 解：(x+4)(x−4)=0 x₁=−4，x₂=4 (3) 2x²−4x=0 解：2x (x−2)=0 x₁=0，x₂=2 解方程 x (x−5)=0，写出完整步骤。 解：x=0 或 x−5=0 x₁=0，x₂=5 B 组【能力提升・选做】 用因式分解法解方程：(x+3)²=2x+6 解：(x+3)²−2 (x+3)=0 (x+3)(x+3−2)=0 (x+3)(x+1)=0 x₁=−3，x₂=−1 解方程：4 (x−3)²−x (x−3)=0 解：(x−3)[4 (x−3)−x]=0 (x−3)(3x−12)=0 3 (x−3)(x−4)=0 x₁=3，x₂=4 选用适当方法解方程：(2x−3)²=4 解：选用直接开平方法 2x−3=±2 2x−3=2 或 2x−3=−2 x₁=5/2，x₂=1/2 C 组【拓广探索・培优】 小明解方程 2x (x−1)=3 (x−1) 时，直接方程两边同时除以 (x−1)，得到 2x=3，解得 x=3/2。小明的解法是否正确？如果错误，请写出正确完整解法。 解：小明解法错误，直接除以含未知数的代数式会丢失 x−1=0 这个根。 正确解法： 2x (x−1)−3 (x−1)=0 (x−1)(2x−3)=0 x−1=0 或 2x−3=0 x₁=1，x₂=3/2 一个小圆形场地，把半径增加 5m 得到大圆形场地，大、小圆形场地面积之比为 9:4，求小圆形场地的半径。 解：设小圆半径为 x m，则大圆半径 (x+5) m。 π(x+5)² : πx² =9:4 ((x+5)/x)²=9/4 解得 x=10。 检验 x=10>0，符合题意。 答：小圆形场地半径为 10m。 已知一元二次方程 x²+(m−2) x−2m=0，请用因式分解法求出这个方程的两个根。 解：因式分解：(x−2)(x+m)=0 x−2=0 或 x+m=0 x₁=2，x₂=−m 学科网（北京）股份有限公司 $