四川省达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期入学学情自测数学试题

**基本信息** 以茶文化、体育跳绳等生活情境为载体，分层考查实数、几何图形、概率统计等知识，衔接七八年级数学核心素养，兼具基础巩固与能力拓展。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|轴对称、实数运算、概率|结合茶文化标识考轴对称，体现文化传承| |填空题|10题40分|函数关系、几何最值、规律探究|跳绳长度计算抽象为直角三角形模型，培养几何直观| |解答题|8题78分|勾股定理应用、动态几何、代数推理|测量河两岸距离问题，融合全等与实际应用，发展应用意识|

四川省达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期入学学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．中国茶文化源远流长，博大精深，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（　　） A．4的算术平方根是±2 B．3的平方根是﹣13 C．27的立方根是±3 D．的平方根是±2 3．某射箭运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 65 136 210 284 350 552 700 “射中10环”的频率 0.65 0.68 0.70 0.71 0.70 0.70 0.70 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（　　） A．0.65 B．0.70 C．0.75 D．0.69 4．已知一个长方形的周长为46cm，相邻两边分别为xcm，ycm，则y与x之间的关系式为（　　） A．y＝46﹣x B． C．y＝23﹣x D． 5．已知点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，且在第二象限，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，2） 6．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若直角三角形两直角边分别为6和8，则图中阴影部分的面积为（　　） A．20 B．24 C．28 D．无法求出 7．如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作BM⊥AB，在BM上取两点C，D，使得BC＝CD，再过D点作BM的垂线DE，使得点E、C、A在同一直线上，若BD＝6m，ED＝4m，CE＝5m，则A，B两点的距离是（　　） A．6m B．4m C．5m D．3m 8．如图，OA＝5，过点A作直线l⊥OA，点B在直线l上，AB＝2，以点O为圆心，以OB长为半径作弧，与OA的延长线交于点C，则点C表示的实数是（　　） A． B． C．7 D．29 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．已知实数其中无理数有　　 个． 10．20272+2×（﹣2027）×2026+20262＝　　 ． 11．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣2，3），（4，1）．若存在点C，使AC∥y轴，BC∥x轴，则点C的坐标为　　 ． 12．如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1m，小臂到地面的距离约1.2m，则适合小明的绳长为　　 m． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝68°，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F．若D为BC的中点，P为线段EF上一动点，则当△PCD周长的最小时，∠BPE的大小为 　　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）计算：（1）； （2）． 15．（8分）先化简，再求值：[（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2+4a2（a+1）]÷（﹣a），其中a＝1，． 16．（10分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球7个． （1）摸出的球是白球是　　 ；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空） （2）求任意摸出一个球是黑球的概率； （3）小明从盒子里取出m个白球，放入m个黑球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是白球的概率为，则m＝　　 ． 17．（10分）（1）如图1，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米．（假设绳子是直的） （2）如图2，在△ABC中，AB＝25，BC＝28，AC＝17，求△ABC的面积． 18．（12分）如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF． （1）求证：∠AEP+∠CFP＝∠EPF； （2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，且∠BEP＝150°，∠DFP＝120°，直接写出∠EPF与∠EQF的度数； （3）如图3，已知∠BEQ∠BEP，∠DFQ∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．下列有四个结论，其中正确的是_______． ①4x＝a，8y＝b，则22x﹣3y可表示为． ②（x﹣1）（x2+ax+1）的运算结果中不含x2项，则a＝1； ③若a+b＝4，，则a﹣b＝1； ④若（5﹣a）2a﹣4＝1，则a为2，4； 20．已知，则x+y的平方根是 　　 ． 21．如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到A1（1，0），第2次运动到A2（1，1），第3次运动到A3（﹣1，1），第4次运动到A4（﹣1，﹣1），第5次运动到A5（2，﹣1）…则第15次运动到的点A15的坐标是_________. A．（4，4） B．（﹣4，4） C．（﹣4，﹣4） D．（5，﹣4） 22．如图，在一个边长为6cm的正方形纸片ABCD上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1cm的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 　　 cm． 23．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D、E分别是AB、BC上的动点，满足AD＝BE，则AE+CD的最小值为 　　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题： （1）若点P在x轴上，求出点P的坐标； （2）若点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴，求出点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求a的值． 25．（10分）【阅读材料】众所周知，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在某次数学活动课上，王老师准备了若干张如图1所示的甲，乙两种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，现用甲种纸片一张，乙种纸片一张，将甲种纸片放置在乙种纸片内部右下角，如图所示． 【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； 【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知（a﹣b）2＝4，b2＝9，且a＞b，求a2的值； ②已知（4044x﹣2）•2022x＝2021，求（1﹣2022x）2+20222x2的值． 26．（12分）【问题解决】 （1）如图1，在△ABC中，CM为△ABC的中线，若AC＝4，BC＝8，请求出CM的取值范围． 【思考探究】 （2）如图2，C为线段AB上一点，AC＞BC，分别以AC、BC为斜边向上作等腰直角△ACD和等腰直角△CBE，M为AB中点，连结DM，EM，DE．请判断△DME的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）若将图2中的等腰Rt△CBE绕点C转至图3的位置（A，C，B不在同一条直线上），连结AB，M为AB中点，且D，E在AB同侧，连结DM，EM．若AD＝10，EB＝6，，则△DAM的面积为　28　 ． 参考答案 四川省达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期入学学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．中国茶文化源远流长，博大精深，在下列有关茶的标识中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．不是轴对称图形，故本选项错误； B．不是轴对称图形，故本选项错误； C．是轴对称图形，故本选项正确； D．不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：C． 2．下列说法正确的是（　　） A．4的算术平方根是±2 B．3的平方根是﹣13 C．27的立方根是±3 D．的平方根是±2 【解答】解：A、4的算术平方根是，故该选项错误； B、3的平方根是，故该选项错误； C、因为33＝27，（﹣3）3＝﹣27，则27的立方根是3，该选项错误； D、，因为（±2）2＝4，则4的平方根为±2，故该选项正确； 故选：D． 3．某射箭运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 100 200 300 400 500 800 1000 “射中10环”的次数 65 136 210 284 350 552 700 “射中10环”的频率 0.65 0.68 0.70 0.71 0.70 0.70 0.70 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是（　　） A．0.65 B．0.70 C．0.75 D．0.69 【解答】解：估计这名运动员射击一次时“射中10环”的概率是0.70． 故选：B． 4．已知一个长方形的周长为46cm，相邻两边分别为xcm，ycm，则y与x之间的关系式为（　　） A．y＝46﹣x B． C．y＝23﹣x D． 【解答】解：2（x+y）＝46， ∴y＝23﹣x， y与x之间的关系式为y＝23﹣x， 故选：C． 5．已知点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，且在第二象限，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣3，2） 【解答】解：∵点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，且在第二象限， ∴点P的横坐标是﹣2，纵坐标是3， ∴点P的坐标为（﹣2，3）． 故选：B． 6．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，若直角三角形两直角边分别为6和8，则图中阴影部分的面积为（　　） A．20 B．24 C．28 D．无法求出 【解答】解：将阴影部分分割如图所示： 根据直角三角形的三边为6、8、10． 所以阴影部分的面积为2×10+2×2＝24． 故选：B． 7．如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作BM⊥AB，在BM上取两点C，D，使得BC＝CD，再过D点作BM的垂线DE，使得点E、C、A在同一直线上，若BD＝6m，ED＝4m，CE＝5m，则A，B两点的距离是（　　） A．6m B．4m C．5m D．3m 【解答】解：∵BM⊥AB，过D点作BM的垂线DE， ∴∠ABC＝90°，∠EDC＝90°， 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED， ∵ED＝4m， ∴AB＝ED＝4m， 故选：B． 8．如图，OA＝5，过点A作直线l⊥OA，点B在直线l上，AB＝2，以点O为圆心，以OB长为半径作弧，与OA的延长线交于点C，则点C表示的实数是（　　） A． B． C．7 D．29 【解答】解：在Rt△AOB中，OA＝5，AB＝2， 根据勾股定理得：OC＝OB， 则点C表示的实数是． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．已知实数其中无理数有　3　 个． 【解答】解：，，是无理数，共3个， 故答案为：3． 10．20272+2×（﹣2027）×2026+20262＝　1　 ． 【解答】解：原式＝20272﹣2×2027×2026+20262 ＝（2027﹣2026）2 ＝1， 故答案为：1． 11．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣2，3），（4，1）．若存在点C，使AC∥y轴，BC∥x轴，则点C的坐标为　（﹣2，1）　 ． 【解答】解：∵点A，B的坐标分别是（﹣2，3），（4，1）．AC∥y轴，BC∥x轴， ∴点C的坐标为（﹣2，1）， 故答案为：（﹣2，1）． 12．如图1，小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1m，小臂到地面的距离约1.2m，则适合小明的绳长为　2.6　 m． 【解答】解：如图，过A作AD⊥BC于点D， ∵AB＝AC， ∴BDBC（m）， 在Rt△ABD中，AD＝1.2， ∴AB＝AC1.3（m）， ∴绳长为1.3×2＝2.6（m）； 故答案为：2.6． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝68°，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F．若D为BC的中点，P为线段EF上一动点，则当△PCD周长的最小时，∠BPE的大小为 　24°　 ． 【解答】解： 当点P在AD上时，△PCD周长的最小． ∵AB＝AC，∠B＝68°， ∴∠ACB＝∠ABC＝68°， ∴∠BAC＝44°， ∵D为BC的中点， ∴∠DAC∠BAC＝22°， ∵AC的垂直平分线为EF， ∴AP＝CP， ∴∠ACP＝∠DAC＝22°，且CP+DP＝AP+DP＝AD， 此时，△PCD周长的最小，∠CPF＝90°﹣∠ACP＝68°， ∵AC的垂直平分线为EF，AD垂直平分BC， ∴P为△ABC的外心， ∴∠BPC＝2∠BAC＝88°， ∴∠BPE＝180°﹣∠BPC﹣∠CPF＝24°． 故答案为：24°． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）计算：（1）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝﹣2+12 ＝﹣3； （2）原式 ＝23 3． 15．（8分）先化简，再求值：[（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2+4a2（a+1）]÷（﹣a），其中a＝1，． 【解答】解：[（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）2+4a2（a+1）]÷（﹣a） ＝（a2﹣b2+a2﹣2ab+b2+4a3+4a2）÷（﹣a） ＝（4a3+6a2﹣2ab）÷（﹣a） ＝﹣4a2﹣6a+2b， 当a＝1，b时． 原式＝﹣4×（﹣1）2﹣6×1+2×（） ＝﹣4﹣6﹣1 ＝﹣11． 16．（10分）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球7个． （1）摸出的球是白球是　随机事件　 ；（从“随机事件”，“必然事件”，“不可能事件”中选一个填空） （2）求任意摸出一个球是黑球的概率； （3）小明从盒子里取出m个白球，放入m个黑球（其他颜色球的数量没有改变），使得从盒子里任意摸出一个球是白球的概率为，则m＝　2　 ． 【解答】解：（1）摸出的球是白球是随机事件， 故答案为：随机事件； （2）任意摸出一个球是黑球的概率为； （3）根据题意得：， 解得m＝2． 故答案为：2． 17．（10分）（1）如图1，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米．（假设绳子是直的） （2）如图2，在△ABC中，AB＝25，BC＝28，AC＝17，求△ABC的面积． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中： ∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米， ∴AB（米）， ∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置， ∴CD＝17﹣1×7＝10（米）， ∴AD（米）， ∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米）， 答：船向岸边移动了9米． （2）过点A作AD⊥BC于点D， 在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2， 在Rt△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即252﹣BD2＝172﹣（28﹣BD）2， 解得：BD＝20， ∴AD， ∴． 18．（12分）如图1，AB∥CD，在AB、CD内有一条折线EPF． （1）求证：∠AEP+∠CFP＝∠EPF； （2）如图2，已知∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，且∠BEP＝150°，∠DFP＝120°，直接写出∠EPF与∠EQF的度数； （3）如图3，已知∠BEQ∠BEP，∠DFQ∠DFP，则∠P与∠Q有什么关系，请说明理由． 【解答】证明：（1）如图1， 过点P作PG∥AB， ∵AB∥CD， ∴PG∥CD， ∴∠AEP＝∠1，∠CFP＝∠2， 又∵∠1+∠2＝∠EPF， ∴∠AEP+∠CFP＝∠EPF； 解：（2）如图2， ∵∠BEP＝150°，∠DFP＝120°， ∴∠AEP＝30°，∠CFP＝60°， 由（1），可得：∠EPF＝∠AEP+∠CFP＝30°+60°＝90°， ∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q， ∴∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ（∠BEP+∠DFP）（150°+120°）＝135°； （3）如图3， 由（1），可得∠P＝∠AEP+∠CFP，∠Q＝∠BEQ+∠DFQ， ∵∠BEQ∠BEP，∠DFQ∠DFP， ∴∠Q＝∠BEQ+∠DFQ（∠BEP+∠DFP）[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]（360°﹣∠P）， ∴∠P+3∠Q＝360°． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．下列有四个结论，其中正确的是 　①②　 ． ①4x＝a，8y＝b，则22x﹣3y可表示为． ②（x﹣1）（x2+ax+1）的运算结果中不含x2项，则a＝1； ③若a+b＝4，，则a﹣b＝1； ④若（5﹣a）2a﹣4＝1，则a为2，4； 【解答】解：①∵4x＝22x＝a，8y＝23y＝b， ∴，故①正确； ②∵（x﹣1）（x2+ax+1）＝x3+（a﹣1）x2+（1﹣a）x﹣1，不含x2项， ∴a﹣1＝0， ∴a＝1，故②正确； ③∵a+b＝4，， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝16﹣15＝1， ∴a﹣b＝±1，故③错误； ④由题意得：5﹣a≠0，且2a﹣4＝0或5﹣a＝1或5﹣a＝﹣1且2a﹣4为偶数， 解得：a＝2或a＝4或a＝6，故④错误； 故答案为：①②． 20．已知，则x+y的平方根是 　±2　 ． 【解答】解：∵，且根号下不能为负， ∴x﹣3≥0，3﹣x≥0， ∴x＝3， ∴y＝1， ∴x+y＝4， ∴x+y的平方根是±2， 故答案为：±2． 21．如图，一机器人从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到A1（1，0），第2次运动到A2（1，1），第3次运动到A3（﹣1，1），第4次运动到A4（﹣1，﹣1），第5次运动到A5（2，﹣1）…则第15次运动到的点A15的坐标是____（﹣4，4）_____. A．（4，4） B．（﹣4，4） C．（﹣4，﹣4） D．（5，﹣4） 【解答】解：∵15÷4＝3…3， ∴点A15在第二象限， ∴点A15的坐标是（﹣4，4）， 故答案为：（﹣4，4）． 22．如图，在一个边长为6cm的正方形纸片ABCD上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1cm的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 　10　 cm． 【解答】解：由题意可知，将木块展开， 相当于是AB+2个正方形的宽， ∴长为6+2×1＝8（米）；宽为6米． 于是最短路径为：10（米）． 答：爬过木块到达C处需要走的最短路程是10米． 故答案为：10． 23．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D、E分别是AB、BC上的动点，满足AD＝BE，则AE+CD的最小值为 　　 ． 【解答】解：过点A作AF⊥AB，使AF＝AB＝4，连接DF，CF，过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H，如图所示： ∵∠ABC＝90°， ∴∠FAD＝∠ABC＝90°， 在△ADF和△BEA中， ， ∴△ADF≌△BEA（SAS）， ∴FD＝AE， ∴AE+CD＝FD+CD， 根据“两点之间线段最短”得：FD+CD≥CF， ∴FD+CD的最小值为线段CF的长， 即AE+CD的最小值为线段CF的长， ∵AF⊥AB，FH⊥CB，∠ABC＝90°， ∴∠FAD＝∠ABH＝∠H＝90°， ∴四边形ABHF为矩形， ∴BH＝AF＝AB＝4，FH＝AB＝4， ∴CH＝BC+BH＝3+4＝7， 在Rt△CFH中，由勾股定理得：CF， ∴AE+CD的最小值为． 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列各题： （1）若点P在x轴上，求出点P的坐标； （2）若点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴，求出点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求a的值． 【解答】解：（1）∵点P在x轴上， ∴a+5＝0， 解得：a＝﹣5， 则2a﹣2＝﹣10﹣2＝﹣12， ∴点P的坐标为：（﹣12，0）； （2）∵直线PQ∥x轴， ∴a+5＝5， ∴a＝0， 则2a﹣2＝0﹣2＝﹣2， 即点P的坐标为（﹣2，5）； （3）∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ∴2a﹣2＜0，a+5＞0， |2a﹣2|＝|a+5|， 即2﹣2a＝a+5， 解得：a＝﹣1． 25．（10分）【阅读材料】众所周知，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在某次数学活动课上，王老师准备了若干张如图1所示的甲，乙两种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，现用甲种纸片一张，乙种纸片一张，将甲种纸片放置在乙种纸片内部右下角，如图所示． 【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； 【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知（a﹣b）2＝4，b2＝9，且a＞b，求a2的值； ②已知（4044x﹣2）•2022x＝2021，求（1﹣2022x）2+20222x2的值． 【解答】解：（1）图2中阴影部分的面积为：（y﹣x）2， 还可以表示为：y2﹣x2﹣2x（y﹣x）， ∴（y﹣x）2＝y2﹣x2﹣2x（y﹣x）， ∴（y﹣x）2＝y2﹣2xy+x2． （2）①∵（a﹣b）2＝4， ∴a﹣b＝±2， ∵a＞b， ∴a﹣b＝2， ∵b2＝9， ∴b＝±3， ∴a＝b+2＝5或﹣1， ∴a2＝25或1． ②设a＝1﹣2022x，b＝2022x， 则a+b＝1，2ab＝﹣2021， ∴原式＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝1+2021 ＝2022． 26．（12分）【问题解决】 （1）如图1，在△ABC中，CM为△ABC的中线，若AC＝4，BC＝8，请求出CM的取值范围． 【思考探究】 （2）如图2，C为线段AB上一点，AC＞BC，分别以AC、BC为斜边向上作等腰直角△ACD和等腰直角△CBE，M为AB中点，连结DM，EM，DE．请判断△DME的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）若将图2中的等腰Rt△CBE绕点C转至图3的位置（A，C，B不在同一条直线上），连结AB，M为AB中点，且D，E在AB同侧，连结DM，EM．若AD＝10，EB＝6，，则△DAM的面积为　28　 ． 【解答】解：（1）∵CM为△ABC的中线， ∴AM＝BM， 在△ACM和△BDM中， ， ∴△ACM≌△BDM（SAS）， ∴BD＝AC＝4， 在△BCD中，BC﹣BD＜CD＜BC+BD，即8﹣4＜CD＜4+8， ∴4＜CD＜12， ∵CM， ∴2＜CM＜6； （2）△DME为等腰直角三角形，理由如下： 延长EM至点N，使得EM＝NM，连结DN，AN，如图4， ∵等腰直角△ACD和等腰直角△CBE， ∴DA＝DC，EC＝EB，∠DCA＝∠DAC＝∠EBC＝∠ECB＝45°，∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠DCE＝90°， ∵M为AB中点， ∴AM＝BM， 在△EMB和△NMA中， ， ∴△EMB≌△NMA（SAS）， ∴BE＝AN＝CE，∠NAM＝∠B＝45°， ∴∠DAN＝45°+45°＝90°， ∴∠DAN＝∠DCE＝90°， 在△DAN和△DCE中， ， ∴△DAN≌△DCE（SAS）， ∴DN＝DE，∠ADN＝∠CDE， 又∵∠ADN+∠NDC＝90°， ∴∠CDE+∠NDC＝90°＝∠NDE， ∴△DME为等腰直角三角形； （3）延长EM至点F，使得FM＝EM，连结AF，DF，DE， ∵M为AB中点，同上“倍长中线”方法可得△AFM≌△BEM， ∴AF＝BE＝CE＝6，∠MAF＝∠MBE，MF＝ME， 设∠DCE＝α， ∵∠DAF＝∠DAC+∠FAC＝45°+（∠FAB﹣∠CAB） ＝45°+∠EBA﹣（180﹣45°﹣45°﹣α﹣∠ABC） ＝45°+∠EBA﹣（90°﹣α﹣∠ABC） ＝α， ∴∠DCE＝∠DAF， ∴△AFD≌△CED（SAS）， ∴DF＝DE，∠ADF＝∠CDE，∠DFA＝∠DEC， ∴∠ADC＝∠FDE＝ 90°， ∴△DEF为等腰直角三角形， ∵MF＝ME， ∴DM＝ME＝MF＝4，DM⊥ME， ∴DF＝DE＝8， 在△DEC中，DE2+CE2＝62+82＝100＝102＝CD2， ∴△DEC为直角三角形，且∠DEC＝90°， ∴∠DFA＝∠DEC＝90°，∠DEB＝∠DEC+∠BEC＝90°+90°＝180°， ∴AF∥BD，且有D，E，B三点共线， ∴DB＝DE+EB＝8+6＝14， ∴S△ADBBD•DF14×8＝56， ∵M为AB中点， ∴S△DMAS△ADB56＝28． 学科网（北京）股份有限公司 $