3.3幂函数 课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦幂函数，通过A/B组分层设计，实现从概念辨析到综合应用的巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组（10题）|幂函数定义、解析式、单调性、奇偶性|选择/填空/解答结合，如第1题定义辨析、第10题解析式与奇偶性证明，夯实基础| |B组（3题）|比较大小、含参幂函数、不等式应用|含参问题（12题）、偶函数不等式（13题），提升逻辑推理与综合应用能力|

3.3　幂函数 课时作业 班级：＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿　　建议用时：25 分钟 A 组（1—10 题）全体必做；B 组（★，11—13 题）优生班必做、普通班选做。多选题少选得部分分、错选不得分。含参题必须先用"是幂函数"把系数配成 1，解出参数的所有候选值，再用其他条件筛选。 A 组　基础巩固 1．下列函数中，属于幂函数的是（　　） 　A．y＝(2x)²　　B．y＝　　C．y＝－　　D．y＝2ˣ 2．已知幂函数 y＝f(x) 的图象经过点 (4，)，则 f(2) 等于（　　） 　A．　　B．2　　C．　　D． 3．已知幂函数 f(x) 的图象过点 P(2，)，则 f(9)＝（　　） 　A．3　　B．9　　C．81　　D．512 4．下列函数中，在区间 (0，＋∞) 上单调递增的是（　　） 　A．y＝　　B．y＝－3x　　C．y＝5－x²　　D．y＝｜x｜ 5．若 f(x)＝x³，且 f(a＋2)＜f(2a)，则 a 的取值范围是（　　） 　A．(－∞，2)　　B．(2，＋∞)　　C．(－2，2)　　D．(－2，＋∞) 6．（多选）已知幂函数 f(x) 的图象经过点 (3，)，则下列说法正确的是（　　） 　A．f(x) 的定义域为 R　　　　　　B．f(x) 的值域为 (0，＋∞) 　C．f(x) 为偶函数　　　　　　　　D．f(x) 是其定义域上的减函数 7．（多选）关于幂函数 f(x)＝，下列结论正确的是（　　） 　A．f(x) 的定义域为 (－∞，0)∪(0，＋∞)　　B．f(x) 的值域为 R 　C．f(x) 在区间 (0，＋∞) 上单调递减　　　D．f(x) 的图象关于点 (0，0) 对称 8．判断正误（正确的填"正确"，错误的填"错误"） 　（1）幂函数的图象必过 (0，0) 和 (1，1)。（　　） 　（2）幂函数的图象都不过第二、四象限。（　　） 　（3）当幂指数 a 取 1，3， 时，幂函数 y＝ 是增函数。（　　） 　（4）若幂函数 y＝ 的图象关于原点对称，则 y＝ 在定义域内 y 随 x 的增大而增大。（　　） 9．填空：幂函数的概念 　一般地，函数＿＿＿＿＿叫作幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数。 　幂函数的特征：（1）以幂的底为自变量，指数为＿＿＿＿；（2） 的系数为＿＿＿＿且只有一项。 10．已知幂函数 f(x) 的图象过点 (4，64)。 　（1）求出此函数 f(x) 的解析式； 　（2）判断函数 f(x) 的奇偶性，并给予证明。 B 组　能力提升（★） 11．已知 a＝，b＝，c＝，则（　　） 　A．a＜b＜c　　B．b＜c＜a　　C．b＜a＜c　　D．c＜a＜b 12．已知幂函数 f(x)＝(3m²－7m－5) 在 (0，＋∞) 上是增函数，则 m＝（　　） 　A．－ 或 3　　B．－　　C．3　　D．1 13．已知幂函数 f(x)＝(a²－a－1) 是偶函数，则不等式 f(x＋1)＞f(2x－1) 的解集为＿＿＿＿＿。 参考答案与详解 A 组 1．B。形如 y＝（α 为常数）的才是幂函数，要求底数为自变量、系数为 1、只有一项。A 化简为 y＝4x²，系数是 4；B 就是 y＝，符合；C 的系数是 －1；D 的自变量在指数位置，是指数函数。 2．A。设 f(x)＝，把点 (4，) 代入得 ＝，即 ＝，解得 α＝－1。 　所以 f(x)＝＝，f(2)＝。（把两边化成同底数幂再比较指数，是解这类指数方程最稳的做法。） 3．A。设 f(x)＝，由 f(2)＝＝＝ 得 α＝，所以 f(x)＝，f(9)＝＝3。 　选 B 是把 α 当成了 1（直接算 9）；选 C 是把 α 当成了 2。 4．D。A 是反比例函数，在 (0，＋∞) 上单调递减；B 是一次函数，斜率 －3＜0，单调递减；C 是开口向下、对称轴为 x＝0 的二次函数，在 (0，＋∞) 上单调递减；D 中当 x＞0 时 y＝｜x｜＝x，单调递增。 5．B。f(x)＝x³ 的定义域为 R，且在 R 上单调递增，由 f(a＋2)＜f(2a) 得 a＋2＜2a，解得 a＞2。 　（定义域是 R，不需要补自变量的范围；若换成 f(x)＝，就必须补上两个自变量非负的条件。） 6．BC。设 f(x)＝，由 f(3)＝＝＝ 得 α＝－2，所以 f(x)＝x⁻²＝。 　A 错：定义域为 {x｜x0}，不是 R——分母不能为 0。 　B 对：x0 时 x²＞0，所以 ＞0 且可以取到任意正数，值域为 (0，＋∞)。 　C 对：定义域关于原点对称，且 f(－x)＝＝＝f(x)，是偶函数。 　D 错：f(x) 在 (0，＋∞) 上递减、在 (－∞，0) 上递增，两段的单调性相反，不能说它在定义域上是减函数。这正是偶函数“对称区间上单调性相反”的表现。 7．ACD。f(x)＝＝。 　A 对：分母 x³0，定义域为 (－∞，0)∪(0，＋∞)。 　B 错：x0 时 0，值域是 {y｜y0}，不是 R。 　C 对：在 (0，＋∞) 上，x 增大时 x³ 增大， 减小，所以单调递减。 　D 对：f(－x)＝＝－＝－f(x)，是奇函数，图象关于原点成中心对称图形。 　（A 选项提醒一句：定义域是一个集合，写成并集是对的；不能用并集连接的是单调区间，两件事别混。） 8．（1）错误。当 a＜0 时，幂函数 y＝ 的图象不过点 (0，0)，例如 y＝。五个基本幂函数都过的是 (1，1)。 　（2）错误。当 a＝2 时，y＝x² 的图象过第二象限。正确的说法是：幂函数的图象都不过第四象限。 　（3）正确。a 取 1、3 时 y＝ 在 R 上是增函数；a 取 时 y＝ 在 [0，＋∞) 上是增函数。 　（4）错误。当 a＝－1 时，y＝ 的图象关于原点对称（是奇函数），但它在 (0，＋∞) 上 y 随 x 的增大而减小。 9．y＝；常数；1。 10．（1）设 f(x)＝。因为 f(x) 的图象过点 (4，64)， 　　所以 ＝64＝4³，得 α＝3，因此 f(x)＝x³。 　（2）f(x) 是奇函数。证明如下： 　　f(x)＝x³ 的定义域为 R，关于原点对称； 　　又 f(－x)＝(－x)³＝－x³＝－f(x)， 　　所以函数 f(x) 是奇函数。 　　（判断奇偶性四句格式：定义域、－xD、f(－x) 的化简、结论，缺一句扣分。） B 组 11．A。三个数的指数不全相同，先化成同指数：b＝＝＝。 　这样 a、b、c 都是 在 2、9、17 处的函数值。而 y＝ 在 (0，＋∞) 上单调递增，2＜9＜17， 　所以 ＜＜，即 a＜b＜c。 　（比较大小的通用套路：指数相同就比底数，底数相同就比指数，都不同就先通分指数化成同指数。） 12．C。第一步，由 f(x) 是幂函数得系数为 1，即 3m²－7m－5＝1，也就是 3m²－7m－6＝0， 　(3m＋2)(m－3)＝0，解得 m＝3 或 m＝－。 　第二步，用"在 (0，＋∞) 上是增函数"筛选： 　当 m＝3 时，f(x)＝x²，在 (0，＋∞) 上是增函数，符合题意； 　当 m＝－ 时，f(x)＝，指数为负，在 (0，＋∞) 上是减函数，不符合题意，舍去。 　所以 m＝3。选 A 是只做了第一步就停手，没有筛选。 13．(0，2)。第一步，由 f(x) 是幂函数得 a²－a－1＝1，即 a²－a－2＝0，解得 a＝－1 或 a＝2。 　第二步，a＝－1 时 f(x)＝ 是奇函数，不符合；a＝2 时 f(x)＝x² 是偶函数，符合。所以 f(x)＝x²（xR）。 　第三步，f(x)＝x² 是偶函数且在 (0，＋∞) 上单调递增，由 f(x)＝f(｜x｜) 得 　f(x＋1)＞f(2x－1) ｜x＋1｜＞｜2x－1｜。 　两边平方：x²＋2x＋1＞4x²－4x＋1，整理得 3x²－6x＜0，即 x²－2x＜0， 　解得 0＜x＜2，所以解集为 (0，2)。 　（"两边套绝对值再平方"是偶函数型不等式的固定动作，3.2 第四课时练过，这里换成具体的幂函数。） 学科网（北京）股份有限公司 $