3.3 幂函数 学案 2026-2027学年 高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学学案聚焦幂函数的定义、图像及性质这一核心知识点，通过作出具体幂函数图像观察归纳性质，衔接已学基本函数知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料通过图像观察与归纳培养学生数学眼光，类型题及变式训练逻辑推理发展数学思维，习题层次分明助力巩固，提升用数学语言表达函数性质的能力，有效深化对幂函数的理解与应用。

3.3 幂函数 【知识要点】： ①定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数． ②作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（ 4）；（5）． 观察图象，举例学习这类函数的一些性质． 归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律： （Ⅰ）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （Ⅱ）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸； （Ⅲ）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 类型一 幂函数定义域和值域 【例1】设，则使函数的定义域为且为奇函数的所有的值为________。 变式1：已知幂函数，求此幂函数的解析式，并指出定义域。 类型二 幂函数的图像问题 【例2】：给定一组函数解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦及如图所示的一组函数图象，请按照图象顺序将7个函数解析式依次排序______． 【例3】幂函数的图像必不过第________象限 变式2：已知幂函数的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足的a的取值范围． 类型三 幂函数单调性及奇偶性的应用 【例4】利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小： （1） 与；（2）与；（3）与；（4）与 变式3：比较大小 （1），； （2），； （3），； （4），． （5），； 变式4：函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且的值为负值，则下列结论可能成立的是（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 当堂练习 1．若，则的取值范围是（　　） 2．设，，，则的大小关系是（　　） 3．对于幂函数，若，则，大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 4．如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象．已知分别取，四个值，与曲线、、、相应的依次为（　　） A． B． C． D． 5．若，则实数的取值范围（　　） A． B． C． D． 6．是偶函数，且在是减函数，则整数的值是　 　． 7．已知实数满足，则实数的取值范围是　 　． 答案： 【例一】D.当＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R； 当＝1时，函数y＝的定义域为R且为奇函数，满足要求； 当函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R； 当＝3时，函数y＝的定义域为R且为奇函数，满足要求； 故正确的是：1和3． 变式1：因为为幂函数，所以，解得或 当时，，则，且有； 当时，，则，且有。 故所求吗，函数的解析式为或，它们的定义域都是 【例二】：的定义域为，当时，对应第6个图象； 是偶函数，图象关于y轴对称，当时为增函数，且当时，对应第4个图象； 的定义域为，在上为减函数，对应第3个图象； 的定义域为是偶函数，在上为减函数，对应第2个图象： 的定义域为，在上是增函数，且当时，，对应第7个图象； 的定义域为是奇函数，在是减函数，对应第1个图象； 是奇函数的应用为R，则上是增函数，对应第5个图象 故7个函数解析式依次排序， 故答案为： 【例三】四 【解析】由题意得，所以或 当时，；当时，；因此图像必不过第四象限 变式2： 【解析】因为函数在上单调递减，所以，解得。 又因为，所以 因为函数图像关于轴对称，所以为偶数，故。 所以有，因为在上均单调递减， 所以或或 解得或,所以的取值范围为 【例四】 >；（2）<；（3）>；（4）< 变式3：（1）<； （2）<； （3）>； （4）<． （5）； 变式4：C 由于函数为幂函数，故，解得.当时，，当时，.由于“对任意，且，满足”故函数在上为增函数，故.由于，故函数值单调递增的奇函数.由于，所以且，故选C. 当堂练习答案： 1．解： 2．解：a＝＜＝0，b＝∈（0，1），c＝＞1，∴c＞b＞a， 3．解：∵幂函数在（0，+∞）上是增函数，图象是上凸的，∴当0＜x1＜x2时，应有＞．故选：A． 4．解：根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象，当n＞0时，n越大，递增速度越快，故曲线c1的n＝2，曲线c2的n＝，当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线c3的n＝，曲线c4的﹣2，故依次填2，，﹣，﹣2．故选：A． 5．解：y＝在定义域上是增函数，故有，解不等式组得x≥﹣．故选：B． 6．解：∵函数是（0，+∞）是减函数∴a2﹣4a﹣9＜0∴ ∵a为整数∴a＝﹣1、0、1、2、3、4、5∴当a＝﹣1时，y＝x﹣4是偶函数； 当a＝0时，y＝x﹣9是奇函数；当a＝1时，y＝x﹣12是偶函数；当a＝2时，y＝x﹣13是奇函数； 当a＝3时，y＝x﹣12是偶函数当a＝4时，y＝x﹣9是奇函数； 当a＝5时，y＝x﹣4是偶函数．∴a＝﹣1、1、3、5故答案为：﹣1、1、3、5． 7．解：∵实数a满足，∴，解得0.5＜a＜2， ∴实数a的取值范围是（0.5，2）． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $