第4节 幂函数讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕幂函数核心考点，涵盖概念、图象、性质及一次分式函数、对勾函数性质，贴合课标要求。按基础夯实（知识梳理、重点汇总、基础测试）到考点突破（分考点典例与变式）的逻辑架构，通过梳理体系、辨析易错、典例精讲等环节，帮助学生构建知识网络，突破理解难点。 讲义采用分层递进教学法，结合数学思维与数学语言培养，如通过幂函数单调性解不等式训练逻辑推理，用符号准确表达定义域值域。设置基础测试、课后分层练习（选择、填空、解答），配合详细解析，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生解题能力与应考素养。

第4节 幂函数 课标要求： 1． 了解幂函数的概念； 2． 通过具体实例，结合，，，，的图象，理解它们的变化规律． 模块一：基础夯实与概念辨析 1、 知识梳理 1． 幂函数 （1） 幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． （2） 常见的幂函数的图象 （3） 幂函数的性质 1 所有幂函数在上都有定义； 2 当时，幂函数的图象都过点和，且在上单调递增； 3 当时，幂函数的图象都过点，且在上单调递减． 2． 一次分式函数 （1） 定义 我们把形如（，）的函数称为一次分式函数． （2） 性质 1 定义域：，值域：； 2 对称中心：； 3 单调性： 1) 当时，函数在区间和上分别单调递减； 2) 当时，函数在区间和上分别单调递增． 3． 对勾函数（，） （1） 性质 1 奇偶性：奇函数 2 单调性： 1) 单调增区间：、 2) 单调减区间：、 二、重点汇总 1．常用结论 （1）幂函数的图象必经过点； （2）幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； （3）在第一象限内，时图象下凹，时图象上凸． 2．易错提醒 （1）容易混淆指数函数和幂函数，幂函数是底数的变量、指数是常量； （2）忽略幂函数的定义域：如的定义域为，的定义域为； （3）忽视的正负对图象的影响：时图象过原点，时图象不过原点． 三、基础测试 1．请判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． （1）函数是幂函数．（　　） （2）幂函数的图象不可能出现在第四象限．（　　） （3）当时，幂函数在区间上是增函数．（　　） （4）所有幂函数的图象都经过和．（　　） （5）当为偶数时，幂函数（，且为奇函数）是偶函数．（　　） （6）函数的单调增区间是和．（　　） 2．已知幂函数的图象过点，则_________． 3．比较大小：_________． 4．函数的单调递增区间为_________． 5．若，则实数的取值范围是__________． 6．已知幂函数的图象不过原点，则的值为_________． 模块二：考点突破与题型演练 考点一 幂函数的概念 【考法分析】重点考查幂函数的定义、定义域和值域． 【典例1】（1）下列函数中，是幂函数的是（　　） A． B． C． D． （2）已知函数是幂函数，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】（1）下列函数中，是幂函数且定义域和值域相同的是（　　） A． B． C． D． （2）“”是“为幂函数”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【思维点拨】（1）幂函数的定义中必须明确：系数为1，底数只能是自变量本身； （2）幂函数的定义域，就是需要让式子有意义，和常规求定义域的方法是一致的． 考点二 幂函数的图象与性质 【考法分析】重点考查幂函数的图象、单调性、奇偶性，可以利用幂函数的性质解决问题． 【典例2】（1）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（　　） A．或 B．或 C． D． （2）已知幂函数的图象过点，且，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（1）已知幂函数为偶函数，且，，，则（　　） A． B． C． D． （2）已知，，，则（　　） A． B． C． D． 【思维点拨】（1）幂函数的单调性是明确的：主要和的正负有关，但是需要注意定义域； （2） 解函数不等式时，需要利用函数的单调性脱去，解自变量之间的不等式，同样需要注意定义域， （3） 利用单调性比较大小时，首先需要将需要比较的数转化为同一个幂函数的形式． 课后练习 1、 单选题 1． 函数的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 2． 已知幂函数的图象与轴无交点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3． 已知幂函数的图象经过点，则图象的大致形状为（　　） A． B． C． D． 4． 已知幂函数过点，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 5． 已知幂函数的定义域为，则（　　） A． B． C． D． 6． 若幂函数，与在第一象限内的图象如图所示，则（　　） A． B． C． D． 7． 设，，，则（　　） A． B． C． D． 8． 已知函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（　　） A．， B．， C．， D．， 2、 多选题 9． 幂函数，则下列结论正确的是（　　） A． B．函数是奇函数 C． D．函数的值域为 10． 已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的是（　　） A．函数为增函数 B．函数为偶函数 C．若，则 D．若，则 11． 下列说法正确的是（　　） A．若幂函数的图象经过点，则解析式为 B．幂函数始终经过点和 C．若函数，则在区间上单调递减 D．若幂函数的图象关于轴对称，则 3、 填空题 12． 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是_________． 13． 函数的值域是_________． 14． 已知幂函数的图象关于原点对称，则满足成立的实数的取值范围是_________． 4、 解答题 15． 已知幂函数的图象过点． （1） 求函数的解析式； （2） 判断的增减性，并证明； （3） 求在上的值域． 16． 已知幂函数在上单调递增，． （1） 求函数的解析式； （2） 求关于的不等式的解集（其中）． 17． 已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增． （1） 求函数的解析式； （2） 判断函数在区间上的单调性，并证明． 18． 若函数在定义域内的某个区间上是增函数，且在区间上是减函数，则称函数在区间上是“弱增函数”． （1） 判断在区间上是否是“弱增函数”； （2） 若函数（是常数）在区间上是“弱增函数”，求应满足的条件． 19． 已知函数，． （1） 若，试判断的奇偶性，并说明理由； （2） 若在上单调，且对任意，恒成立，求的取值范围； （3） 若，当时，求的最大值的表达式． 参考答案 三、基础测试 1．（1）× 【解析】幂函数的系数必须为． （2）√ 【解析】底数为正的指数幂必为正，不可能出现在第四象限． （3）√ （4）× 【解析】当时，在处无定义，不经过点． （5）√ 【解析】，定义域为，关于原点对称，为偶数，所以，所以，为偶函数． （6）× 【解析】当时，函数的单调增区间为和． 2． 【解析】幂函数过点，∴， ∴，∴． 3． 【解析】幂函数在上单调递减， 又，∴，即． 4．和 5． 【解析】幂函数在其定义域上单调递增， ∴等价于， 解得． 6． 【解析】函数是幂函数，∴，解得或， 若，则，定义域为，图象不过原点； 若，则，定义域为，图象过原点． 【典例1】（1）C 【解析】幂函数的定义是，系数为，底数为自变量本身，指数为常数，且无其它项，所以选项C正确． （2）D 【解析】函数是幂函数，∴，∴， ∴，∴． 【变式1】（1）B 【解析】为指数函数，选项A错误； 是幂函数，且定义域值域均为，选项B正确； 是幂函数，但是定义域为，值域为，选项C错误； 不是幂函数，选项D错误． （2）A 【解析】当时，是幂函数，充分性成立； 若是幂函数，则，解得或，必要性不成立； ∴“”是“为幂函数”的充分不必要条件． 【典例2】（1）C 【解析】是幂函数，∴，解得或， 若，则在上单调递增， 若，则在上单调递减． （2）A 【解析】设幂函数为，图象过点， 即，∴，∴， ∴的定义域为，关于原点对称， 又，∴是奇函数， 又，∴在上单调递增， 又等价于， ∴，解得． 【变式2】（1）D 【解析】是幂函数，∴， 解得或， 当时，， 定义域为，关于原点对称，又， ∴是偶函数，满足条件； 又，∴函数在上单调递增， ，又， ∴，∴． （2）A 【解析】， ， ， 函数在上单调递增， 又，∴． 课后练习 1．B 【解析】函数恒过点，当时在处无定义， 当，则，∴函数的图象恒过定点． 2．A 【解析】幂函数图象与轴无交点，则， 解得． 3．A 【解析】设，，， ∴，为偶函数，且在上单调递减， 选项A符合题意． 4．A 【解析】设，函数过点，又，， ∴，则，是定义域为的偶函数，且在上单调递增， ∴不等式等价于，解得． 5．D 【解析】为幂函数，则，解得或， 若，则，定义域为， 若，则，定义域为． ∴，，． 6．D 【解析】由图象知，，∴． 7．B 【解析】，，， 幂函数在上单调递增， ，，， ∴，∴． 8．D 【解析】函数是幂函数，则，解得或， 对任意，且，满足， ∴在上单调递增， 当时，，在上单调递减，不符合题意， 当时，，在上单调递增，符合题意， ∴，， 若，，则，或，， ∴，符合题意，选项A正确； 若，，则，， ∴，符合题意，选项B正确； 若，，则，， 此时，符合题意，选项C正确； 若，，则，， ∴，不符合题意，选项D错误． 9．AD 【解析】为幂函数，则，解得或， 又，∴，选项A正确； 此时，为偶函数，选项B错误； ，，∴，选项C错误； 函数的值域为，选项D正确． 10．ACD 【解析】设幂函数，，， ∴，定义域为，为增函数，选项A正确； 定义域不关于原点对称，不是偶函数，选项B错误； 为增函数，∴时，，选项C正确； 是凹函数，∴，选项D正确． 11．AD 【解析】选项A，设幂函数为，图象经过，代入得，所以，，选项A正确； 选项B，幂函数始终过点，当时，幂函数在处无定义，不一定过点，选项B错误； 选项C，，所以函数在上单调递减，又因为函数是偶函数，所以在上单调递增，选项C错误； 选项D，函数是幂函数，所以，解得或，图象关于轴对称，故为偶函数，所以，，在上单调递增，在上单调递减，又，所以，选项D正确． 12． 【解析】函数在上单调递减，需满足， 解得． 13． 【解析】， 令，则，函数在上单调递增， ∴，∴的值域是． 14． 【解析】函数是幂函数，∴，解得或， 若，则，图象关于原点对称，符合题意； 若，则，图象关于轴对称，不符合题意； ∴，不等式为，解得． 15．解：（1）设幂函数，图象过点， 代入得，∴， ∴函数解析式为． （2）由（1）知，定义域为， 对任意，设， 则， ∴，函数为增函数． （3）由（2）知，函数在上单调递增， ∴，， 又函数在上连续， ∴函数在上的值域为． 16．解：（1）为幂函数，∴， 解得或， 幂函数在上单调递增，则，∴， ∴函数的解析式为． （2）由（1）知，∴， ∴不等式可化为， 即，即， 若，则不等式的解集为， 若，则不等式的解集为， 若，则不等式的解集为． 17．解：（1）函数是幂函数，则，解得， ∵函数在上单调递增，∴，解得， 又，则或， 若，则，为奇函数，不符合题意， 若，则，为偶函数，符合题意， ∴函数的解析式为． （2）由（1）知，∴， 对任意，设， 则 ， ∴，∴函数在上单调递增． 18．解：（1）的对称轴为， ∴在区间上单调递增， ， 在上单调递减，在上单调递增， ∴在区间上不是“弱增函数”． （2）的对称轴为， 在区间上是“弱增函数”， ∴在区间上单调递增，则，解得， ，在区间上说减函数， 则且，即， ∴，． 19．解：（1），则， 定义域为，关于原点对称， ， ∴是非奇非偶函数． （2）当时，， 结合对勾函数的单调性， 在上单调递增，在上单调递减， ∵函数在区间上单调，∴， ∴， 对任意，恒成立，则， 即，结合得． （3）， ∵，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ，， 若，即，则， 若，即，则， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $