第4节 基本不等式 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕基本不等式专题，覆盖证明过程、最值求解、实际应用等核心考点，按基础夯实、考点突破、分层练习的逻辑架构展开，通过知识梳理、典例精讲、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建完整知识体系，突破应用难点。 讲义采用“问题链”设计，如在最值求解中结合配凑法、常数代换法实例，培养学生数学思维和模型意识。设置基础测试、课后练习、拔高练习三级训练，配合详细解析，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

第4节 基本不等式 课标要求： 1． 了解基本不等式的证明过程； 2． 能用基本不等式解决简单的最值问题； 3． 掌握基本不等式在实际生活中的应用． 模块一：基础夯实与概念辨析 1、 知识梳理 1． 基本不等式： （1） 基本不等式成立的条件：，； （2） 等号成立的条件：当且仅当时取等号； （3） 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 2． 两个重要的不等式 （1） （），当且仅当时取等号； （2） （），当且仅当时取等号． 3． 利用基本不等式求最值 （1） 已知都是正数，如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2） 已知都是正数，如果和等于定值，那么当时，积有最大值． 二、重点汇总 1．常用结论 （1）倒数和的下界：若，则； （2）平方的和与和的平方：； （3）权方和不等式：（）． 2．易错提醒 （1）无视“一正”：基本不等式要求各项为正，在使用时不能忽视各项符号； （2）无视“二定”：积或和必须是定值，有时候需要考虑用拼凑法； （3）无视“三相等”：不能忽视去等号的条件，有时候会出现等号取不到的情况，这种情况下需要使用其他方式求最值； （4）连续使用不等式：在多次使用基本不等式时，等号成立的条件可能不一致，如果要多次使用，要保证取等号的条件一致． 三、基础测试 1．请判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． （1）若，则恒成立．（　　） （2）函数在上的最小值为．（　　） （3）“且”是“”的充要条件．（　　） （4）不等式与成立的条件是相同的．（　　） （5）已知，则的最小值为．（　　） （6）已知且，则的最小值为．（　　） 2．已知，则的最大值是________． 3．的最大值是________． 4．已知，且，则的最小值为________． 5．若，且，则的最小值为________． 6．把一段长为的细铁丝弯成一个矩形，当矩形的长为________，宽为________时，面积最大． 模块二：考点突破与题型演练 考点一 利用基本不等式求最值 【考法分析】重点考查“配凑法”、“常数代换法”等． 【典例1】（1）已知为正数，，则的最大值为（　　） A． B． C． D． （2）若，则的（　　） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最大值为 （3）已知正数满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． （4）已知正数满足，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（1）已知为正数，，则的最大值为（　　） A． B． C． D． （2）已知，则的最小值为（　　） A． B． C． D． （3）已知，且，则的最小值为（　　） A． B． C． D． （4）已知正数满足，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【思维点拨】1．在使用配凑法求最值时，主要配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式； 2． 常数代换法，主要解决形如“已知（为常数），求的最值”的问题，先将转化为，再利用基本不等式求最值； 3． 当所求最值的代数式的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，然后利用基本不等式求最值． 考点二 利用基本不等式求参数值或范围 【考法分析】将不等式问题转化为函数最值问题，主要有“恒成立”问题和“存在性”问题． 【典例2】（1）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（　　） A． B． C． D． （2）已知正数满足，若存在满足条件的使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（1）若正实数满足且恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． （2）已知正数满足．若不等式能成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【思维点拨】1．，使得，等价于；，使得，等价于； 2． ，使得，等价于；，使得，等价于； 3． 遇到严格不等式的时候一定要注意分析等号是否可取的问题． 考点三 利用基本不等式解决实际问题 【考法分析】通过实际问题抽象出函数解析式，利用基本不等式求函数的最值进而解决实际问题． 【典例3】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为________元． 【变式3】某生态果园近期将上市售卖水果，为覆盖种苗、人工与包装耗材成本，果园统计了连续售卖数据，测算得出总利润（单位：百元）与售卖天数（）满足函数，则当连续售卖________天时，日均利润取得最大值，此时日均利润最大值为________百元． 【思维点拨】利用基本不等式解决实际问题的思路如下： 1． 建模：理清单件 / 单位销量利润、销量、总利润的关系，写出总利润或日均利润的函数表达式，明确变量取值范围； 2． 变形：对函数做代数变形，凑出满足 “一正、二定、三相等” 的基本不等式结构； 3． 求最值：用基本不等式算出最值，验证等号成立条件是否在变量允许范围内； 4． 还原：把计算结果还原为实际问题的决策结论． 考点四 柯西不等式（拓展） 【知识梳理】1．柯西不等式的向量形式：设是两个向量，则，当且仅当是零向量，或者存在实数，使得时等号成立； 2． 二维形式的柯西不等式：设，则，当且仅当时等号成立； 3． 一般形式：设（），则，当且仅当（），或存在一个实数，使得（）时等号成立． 【典例4】（1）设满足，则的最小值为________． （2）设满足，则的最小值是________． （3）已知正实数满足，则的最大值是________． 【思维点拨】利用柯西不等式求最值一般注意以下几点： 1． 识别特征：出现平方和、线性约束、根式线性组合这三类结构时，优先考虑柯西不等式求解最值； 2． 配凑结构：对照柯西不等式的形式，把已知线性条件、待求最值的式子拆分成两组平方项序列； 3． 验证等号：依据的等号成立条件求出变量取值，确认符合题目范围（如正实数要求）后再确定最终最值； 4． 场景区分：求平方和最小值时，把线性约束作为；求根式线性式最大值时，把根式项作为反向使用不等式． 课后练习 1、 单选题 1． 已知，，且，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．已知正数满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．函数（）的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．已知，，若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．已知，，且满足，则最小值为（　　） A． B． C． D． 6．已知实数，，且满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 7． 已知正数满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．已知，，则使得成立的一个必要不充分条件是（　　） A． B． C． D． 2、 多选题 9．已知，，且，则下列选项中正确的有（　　） A． B． C． D． 10．已知，，且，则（　　） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 11． 已知，，且，则（　　） A． 的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 3、 填空题 12． 若正数满足，则的最小值为________． 13． 设，则的最小值为________． 14． 已知，且，则的最小值为________． 4、 解答题 15． （1）已知，求的最小值； （2）求的最大值． 16．已知，且．求： （1）的最大值； （2）的最小值． 17． 已知，且． （1） 求的最小值； （2） 若对于任意的均有恒成立，求实数的取值范围． 18． （1）已知均为正数，且，证明：； （2）已知均为正数，且，证明：． 19．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为 ，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体的报价为每平方米 元，屋顶和地面以及其他报价共计元，设屋子的左右两面墙的长度均为（）． （1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功，求的取值范围． 拔高练习 1． 若关于的不等式（，）恒成立，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，，且，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．若，且满足，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 4．已知，，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 5． 设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 6． 已知正数满足，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．已知正数满足，则的最小值为________． 8．若，，，则的最小值为________． 9．已知正数满足，则的最大值为________． 参考答案 三、基础测试 1．（1）× 【解析】当时，，不等式不成立． （2）× 【解析】，当时，，∴在上单调递增，∴． （3）× 【解析】当且时，，充分性成立；当且时，，，成立，∴当时，且或且，必要性不成立；∴“且”是“”的充分不必要条件． （4）× 【解析】成立的条件是，成立的条件是且，二者并不相同． （5）× 【解析】，则，，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为． （6）√ 【解析】，则，∵，，∴，，∴，当且仅当，即，时等号成立，∴的最小值为． 2． 【解析】，则，， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴， 即的最大值为． 3． 【解析】， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最大值是． 4． 【解析】，，， ∴，∴， ∵，，∴， 当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值为． 5． 【解析】，即， ∴， ∴或， 又，，∴，即的最小值为． 6． 【解析】设矩形的长为，宽为，则，矩形的面积， ∴，当且仅当时取等号， ∴当矩形的长为，宽为时，面积最大． 【典例1】（1）D 【解析】， ∵，∴， ∴，当且仅当，即，时等号成立， 即的最大值为． （2）B 【解析】，∴， ∴，， ∴， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值为． （3）A 【解析】，∴，当且仅当即，时等号成立， ∴的最小值是． （4）C 【解析】，则， ∴， ∵是正数，∴，， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴的最小值是． 【变式1】（1）A 【解析】， ∵，∴， ∴，当且仅当，即，时取等号， ∴的最大值为． （2）C 【解析】， ∵，∴，， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴的最小值为． （3）D 【解析】，∴， ∵，，∴，， ∴， 当且仅当即，时取等号， ∴的最小值为． （4）A 【解析】，∴， ∴， ∵是正数，∴，， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴的最小值是． 【典例2】（1）A 【解析】，，∴， ∴， ， ∵，，∴，， ∴， 当且仅当时取等号， ∴的最小值为， 恒成立，只需， 即，∴的最大值为． （2）A 【解析】，∴， ∵为正数，∴，， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴的最小值为， 要使不等式成立，只需， 即或． 【变式2】（1）B 【解析】，∴， ∵是正数，∴，， ∴， 当且仅当即，时取等号， ∴的最小值为， 要使恒成立，只需， 即． （2）B 【解析】，即， ∴，即， ∴， ∵为正数，∴，， ∴， 当且仅当即，时取等号， ∴的最小值为， 要使不等式能成立，只需， 即或． 【典例3】 【解析】设该超市每月销售该商品所获得的利润为，则， ∴， ∵，∴，， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴的最小值为，即所获得的最小利润为元． 【变式3】 【解析】设日均利润为，则， ∴， ∵，∴，， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴， ∴当连续售卖天时，日均利润取得最大值，此时日均利润最大值为百元． 【典例4】（1） 【解析】根据柯西不等式：， ∴，当且仅当，即，时取等号， ∴的最小值为． （2） 【解析】根据柯西不等式：， ∴， 当且仅当即，，时取等号， ∴的最小值是． （3） 【解析】，即， ∵是正数，∴根据柯西不等式， 当且仅当即时取等号， ∴的最大值是． 课后练习 1．C 【解析】，，∴， 当且仅当即，时取等号， ∴，即，即的最大值为． 2．D 【解析】是正数且，∴， ∴， ∵是正数，∴，， ∴， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为． 3．D 【解析】， ∵，∴， ∵，∴，， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴的最小值是． 4．C 【解析】，∴， ∴， ∵，，∴，， ∴， 当且仅当即，时取等号， ∴的最小值为． 5．D 【解析】，，∴，， ∴，当且仅当时取等号， 又，∴，即， ∴， ∴的最小值为． 6．B 【解析】，，， ∴， ∴， ∵，∴，， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴的最小值为． 7．A 【解析】，∴， ∵是正数，∴，， ∴， 当且仅当即，时取等号， ∴的最小值为， 要使不等式恒成立， 只需恒成立， 即， ∴， ∴． 8．D 【解析】当时满足， 但是，，∴选项A、C错误； ∵， ，则， ∴是成立的充要条件， ，∴， 当，时，满足， 但是， ∴是成立的必要不充分条件． 9．BCD 【解析】，，，则，， ∴，，∴选项A错误，选项B正确； ， ∵，，∴，， ∴， 当且仅当即，时取等号， ∴，选项C正确； 根据柯西不等式：， ∴，当且仅当取等号，选项D正确． 10．ABD 【解析】，，∴， 当且仅当即，时取等号， ∴，即，即的最大值为，选项Ａ正确； ， ∵，，∴，， ∴， 当且仅当即，时取等号， ∴的最小值为，选项B正确； ，∴， ∴， 当且仅当即，时取等号， 又，∴，选项C错误； ， 当且仅当即，时取等号， ∴有最小值，选项D错误． 11．ACD 【解析】，，∴， ∴， ∵，，∴，即， 当且仅当即，时取等号， ∴的最小值为，选项A正确； ，当且仅当且时取等号 ， ∵，，∴等号不能同时成立，选项B错误； ， ∵，∴， 即的最小值为，选项C正确； ，∴， ∵，∴，， ∴， 当且仅当即，时取等号， ∴的最小值为，选项D正确． 12． 【解析】为正数，∴，， ∴， 当且仅当即，时取等号， ∴，即，∴的最小值为． 13． 【解析】， ∵，∴，， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴的最小值为． 14． 【解析】，即， ∴，∴， ∵，∴，， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴的最小值为． 15．（1）解：， ∵，∴，， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴的最小值为． （2）解：， 当且仅当即时取等号， ∴的最大值为． 16．解：（1）∵，， ∴， 即， ∴，即， 当且仅当即，时取等号， ∴的最大值为． （2），∴， ∴， ∵，∴，， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴的最小值为． 17．解：（1），， ∴， ∴，当且仅当即，时取等号， ∴的最小值为． （2），，，∴， ∴， ∵，，∴，， ∴， 当且仅当即，时取等号， ∴的最小值为， 要使不等式恒成立， 只需，即， ∴实数的取值范围是． 18．（1）证明：由柯西不等式：， ∴，即证． （2）证明：由柯西不等式： ​ ， ∴，即证． 19．解：（1）设甲工程队的报价为，则根据题意： ， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴当左右墙的长度为米时，甲工程队的报价最低． （2）由题意知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， ∴， ， 当且仅当即时取等号， ∴，∴的取值范围是． 拔高练习 1．B 2．D 3．C 4．D 5．B 6．C 7．9 8．4 9． 学科网（北京）股份有限公司 $