幂函数、指数函数、对数函数运算及图像性质讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕幂函数、指数函数、对数函数三大核心考点，按定义、性质、运算及图像的逻辑层次构建知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练的教学流程，帮助学生突破函数性质应用、大小比较等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以分层题型训练为特色，融入数学思维与数学语言素养，如在指数函数单调性分析中通过分类讨论培养推理能力，结合对数换底公式与糖水不等式提升运算能力。设置基础到综合的例题梯度，配合即时方法总结，确保学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏提供清晰框架，助力提升学生应考能力。

幂函数、指数函数、对数函数运算及图像性质 一 幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. （2）幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. （3）幂函数的图象和性质 ①幂函数的单调性 ②幂函数的奇偶性 二 指数函数 （1）指数的基本性质 ①零指数幂:; ②负整数指数幂: ③正分数指数幂:; ④负分数指数幂: （2）指数的基本计算 ①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算 ③幂的乘方运算 ④积的乘方运算 （3）指数函数的图象和性质 图 象 定义域 值域 性质 过定点 当时，； 时, 当时，； 时, 在上是增函数 在上是减函数 指数函数常用技巧 ①当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． ②当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． ③指数函数与的图象关于轴对称． 三 对数与对数函数 （1）对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． （2）常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； （3）对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧. （4）对数函数的图象和性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 四 对数型糖水不等式 （1）设 , 且 , 则有 （2）设 , 则有 （3）上式的倒数形式：设 , 则有 题型一 幂函数的图像与性质 例1.（1）（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（  C ） A． B． C． D． （2）（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【详解】由于为幂函数，所以，解得或，又函数在上单调递减，所以，即故当时符合条件 （3）（2025·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（   ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2 【详解】因为为幂函数，所以，即，解得或. 当时，，其定义域为，图象与坐标轴无公共点，符合题意； 当时，，其图象与坐标轴有公共点，不合题意.综上，.故选：A. （4）（2026·江西·一模）已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为 ． 【详解】因为幂函数在上单调递增，则，解得，正数、满足，则 例2.（1）（2025·重庆南开中学高三月考）已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】由是幂函数，知：，又在上， ∴，即，则且∴. （2）（2026·北京·三模）已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 【详解】对于A选项：由分数指数幂的运算得，而，二者不相等，故A错误； 对于B选项：由是偶函数得，又幂函数在上单调递增，且，故，即，B错误； 对于C选项：的定义域为，对任意，有，故是偶函数，C错误； 对于D选项： 对任意，，因此，值域为，D正确 . （3）（2025·高三·河北邢台·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【解析】由得或，时，在上是增函数，不合题意， 时，，在上是减函数，满足题意，所以，，则，，是奇函数，因此，所以，即，故选：B. （4）（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【详解】因为函数是幂函数，则，解得或， 因为对任意，，且，满足，所以在上单调递增， 时，，在上单调递减，故舍，所以时，， 对于A，取时，，可能成立；对于B，取时，，可能成立；对于C，取时，，可能成立；对于D，因为，则，则，由单调性可知，故，与矛盾，一定不成立. 例3.（1）（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【解析】，由幂函数在上单调递增，得，即； 由指数函数在上是单调递减，得，即；..故选：B （2）（2025·广东广州·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由，，，则，，又，，则，即，所以．故选：D （3）（2026·天津红桥·二模）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解析】，，而， 所以a，b，c的大小关系为.故选：C （4）（2025·福建三明·三模）若 ，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，由于在上单调递增，故；而在上单调递减，故， 故，故选：A 例4.（1）（2025·江西·一模）若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】当时，由，得；由，得；由，得.因为，所以是关于的减函数.又，所以，所以.故选：A. （2）（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． 【详解】由图象知，时，在第一象限单调递减，故排除，图象关于轴对称，故函数是偶函数，时，，定义域为，满足，是偶函数； 时，，定义域为，满足，是奇函数；． （3）（2025·广东·一模）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（    ） A．16 B．24 C．32 D．48 【详解】若和在上单调递增，在上单调递减，则有个；若和在上单调递增，在上单调递减，则有个；若和在上单调递增，在上单调递减，则有个；若、和在上单调递增，则有个；综上所述：共有个.故选：B. （4）（25-26高三上·甘肃临夏·阶段检测）已知函数． （1）是否存在实数a，，使得在区间上的取值范围为？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由． （2）求不等式的解集． 【答案】(1)不存在，理由：假设存在实数a，，使得在区间上的取值范围为． ∵函数的定义域为，且函数在上单调递增，∴，，即方程在上有两个不相等的实数根．方程，整理得． ∵，∴方程无实数根．∴假设不成立，即不存在实数a，， 使得在区间上的取值范围为． （2）设函数．∵函数，在区间上都单调递增， ∴函数在区间上单调递增．∵， ∴等价于，即．∴，即，解得，故不等式的解集为． 题型二 指数的运算 例5.（1）（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． （2）（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． （3）（2026·山西临汾·二模）已知（，且），则______． 【解析】已知（，且），令，则，，解得， ，；， ． （4）（2026·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 【详解】由，则，即，则，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是.故选：C. （5）（2026·广东广州·三模）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【详解】∵，∴.∵是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，∴，，∴，∴，.∴ （6）（2026·贵州·二模）已知函数（）的图象经过点，．若，则 ． 【详解】依题意，，整理得，则，而，因此，又，则，而，所以. 例6.（1）（25-26高三上·福建莆田·开学考试）已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且． （1）求函数、的解析式； （2）设，，对于，都有，使得，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为①，所以，是偶函数，是奇函数，故，故②，故①+②得，则， （2）对于，都有，使得，则在R上的值域为在上的值域的子集，其中，因为，，，所以在R上的值域为， ，令，显然在上单调递增， 所以，故， 当时，取得最小值，最小值为，故在上的值域为，所以，故，解得. （2）（2025广东）已知（且）是上的奇函数，且． （1）求的解析式； （2）若关于的方程在区间内只有一个解，求的取值集合； （3）设，记，是否存在正整数，使不得式对一切均成立？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由． 【解析】（1）解：因为函数（且）是上的奇函数，则，即，，可得，即，又因为，整理得， 因为且，解得，因此，. （2）解：因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，由可得，可得，即，则，即，所以，关于的方程在时只有一解.因为. 当时，则有，解得，合乎题意；当时，由，可得，.由题意可得或或，解得或或.综上所述，实数的取值范围是. （3）解：，所以，， 则， 所以，，由，即，当时，则不等式对任意的恒成立.当时，由可得，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因为，故，，解得.综上所述，符合条件的正整数的值为：或或. 题型三 指数函数的图像与性质 例7.（1）（2025·高三·河北·期末）已知函数，且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 . 【解析】对于函数，且，令，则，则函数且的图象恒过定点，则，且，故 （2）（2025·山东济宁·一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是 . 【解析】函数且的图象过定点，则，所以， 由，得，则 令，则，则 ，当且仅当，即，即时，取等号，所以的最小值是.故答案为：. （3）（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则______． 【详解】是幂函数，则，所以，．在中，令，得，所以定点为，故，又，解得． 例11.（1）（2025·辽宁·模拟预测）已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解析】设，则，由复合函数的单调性可知当时，在区间上单调递增，所以只需，则，与矛盾；当时，在区间上单调递减，所以，即．故的取值范围是．故选：B （2）（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为为上的增函数，所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意；当时，在上单调递减，则，解得.综上，. （3）（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】令，由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得.a的取值范围是. （4）（2025·安徽·三模）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【详解】依题意，为偶函数，当时，，由可知，解得，所以.故选：B 例12.（1）（2026·广东广州·三模）若函数有最大值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】当时， ，当时，，若，在上单调递增，此时没有最大值，若，在上单调递减，要想函数有最大值，则，解得；若，，函数有最大值1，符合题意； 故实数的取值范围为.故选：A. （2）（2025·安徽安庆·模拟预测）已知，且，，则（） A．1 B．2 C．3 D．4 【详解】因为，两边同除以，得，即，① 因为，两边同除以，得，即， 整理得，②由①②可构造函数，显然该函数是上的增函数，于是根据①②知，所以，因此．故选：B． （3）（25-26高三上·河南.模拟预测）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，当时，函数有（   ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 【详解】由题设，且，则，所以，则时，，所以，令，则，当且仅当时取等号，故最大值为. （4）（2026·云南·模拟预测）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】函数，的定义域都是，定义域都关于原点对称， 又，，所以，均为偶函数，故的图象都关于轴对称，结合对称性可得该交点只能在轴上，可得，所以.故选：C． 例10.（1）（2026·陕西宝鸡·二模）若函数为奇函数，则（ D  ） A． B． C．8 D．16 （2）（2026·江苏徐州·模拟预测）若函数（）是奇函数，则（    ） A． B．1 C．3 D．9 【详解】由题知，，定义域为，由是奇函数得（负根舍去），则，，符合题意．故. （3）（2026·山东潍坊·三模）已知，函数，为奇函数，则（     ） A．13 B．24 C．80 D．240 【详解】由，则， 又函数为上的奇函数，则，即对任意成立，整理得所以，即，结合，解得，所以，即． （4）（2026·湖南常德·二模）已知函数为奇函数，则实数______． 【解析】由题意可得对定义域内的任意恒成立，故，因此，化简可得：对定义域内的任意恒成立，由于是变化的，因此，故. （5）（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为为偶函数，所以，，所以，即，所以且，故. 例11.（1）（2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，在单调递增，则， 此时两部分值域的并集不为，不符合题意；若，则在单调递增，即，，当时，在单调递增，则，要使函数的值域为，则，解得：， 若，则，此时函数的值域为，不符合题意；若，则在单调递增，即，，当时，在单调递减， 则，，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 综上，若函数的值域为，则的取值范围是 （2）（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，则，且，所以， 若函数的值域为，可知当时，则的值域包含，若，则在内单调递减，可得，不合题意；若，则在内单调递增， 可得，则，解得；综上所述：实数a的取值范围是.故选：B. （3）（2026·重庆·三模）若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域为，由是奇函数即，所以，解得，则， 因为且，所以，，则，即，可得，所以函数的值域为． （4）（2026·河南开封·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【详解】,设，因为，则， 所以，因为，则，即，所以当时，，当时，，当时，，所以的值域是 （5）（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】当时，，则，故，若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意；若，当时，，此时函数在上的值域为，不是，不符合题意；若，当时，，此时函数在上的值域为，所以，解得.综上所述，实数的取值范围是. 例12.（1）（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】设，的定义域为关于原点对称，，所以是奇函数， ，所以在上单调递减， 由得，即，，因为在上单调递减，所以，解得，故选：C. （2）（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解析】由，得的图象关于直线对称，设，则，因为在上单调递增，且在上单调递增，所以在上单调递增，由，可得，所以，整理得，解得或． （4）（2026·安徽合肥·模拟预测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【详解】由题意，得，，则，所以函数为奇函数，又，由于在上单调递增，且，故在上单调递增，由，则，即，解得，则的取值范围为. （5）（多选题）（2026·河北邯郸·二模）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 【详解】A选项，因为为奇函数，且定义域为，所以，代入解得：， 验证：当时，，，即，所以A选项正确；B选项，由A选项解析得：，即，因为在上单调递增，所以在上单调递增，则在上单调递增，所以B选项错误； C选项，令，则，，因为，所以，， ，则：，的值域为，所以C选项正确； D选项，因为，所以，又因为是奇函数，所以，原不等式变形为：，由B选项解析得：在上单调递增，所以需满足，解得：，所以D选项正确.故选：ACD （6）（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】函数，定义域为.易知函数只含项， 因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大，所以在上单调递减，在上单调递增.等价于离的距离小于离的距离大小问题， 即.两边平方得；整理得，解得.故的取值范围为. 例13.（1）（25-26高三下·湖北·开学考试）函数，则对任意实数，下列结论正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递增 C．是奇函数，且在上单调递减 D．是偶函数，且在上单调递减 【详解】的定义域为，而，则，故是奇函数，由于，函数单调递增，故在上单调递增，故选：B （2）（2026·陕西·三模）已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【详解】由，，则，故是定义在上的奇函数，由，得，由为增函数，知是增函数，所以，即，所以， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值是. （3）（2025·贵州安顺·模拟预测）已知函数，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【详解】由题意函数知，函数定义域为R，则，故，所以为奇函数，而在R上单调递增，则在R上单调递增，由，得，则，则，当时，取最小值，故选：C （4）（2025·宁夏吴忠·二模）定义在上的函数满足，且，当时，，当时，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】由，即，可得的图象关于点对称；由，即，可得的图象关于点对称， ，所以的周期为4．易知，所以，所以，，所以在上的值域为．又的图象关于点对称，所以当时，，即在一个周期内的值域为，所以的最小值为.故选：D． （5）（2026·湖南岳阳·三模）已知函数图象上不同的两点，到直线的距离相等，则（    ） A． B． C． D． 【详解】如下图：不妨设，根据不同的两点，到直线的距离相等， 到的距离不超过，而点到的距离为， ，故，故A选项错误；根据不同的两点，到直线的距离相等，则，，则，得到，解得：，故B正确；且，又因为，得到，由基本不等式：，C选项错误；，故，，又，故，D选项错误；故选：B． （6）（2025·江苏苏州·三模）已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【详解】由，得的图象关于对称，函数，则，即的图象也关于对称，因此函数与图象的交点关于对称，不妨设关于点对称的坐标为，，则，，则，，同理得：，，即.故选：D 例14.（1）（2026·江苏南通·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】，，因为，且，所以，即， ，因为，幂函数在上单调递增，，所以，因此，即，，因为，，所以， 因为，所以，即，因此.故选：A （2）（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即.故选：C （3）（2026·广东·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则，，间的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【详解】，函数的图像关于直线对称，，又是定义在R上的奇函数，，，则，即，故，函数的周期为，，再根据对称性可得，，，当时，为增函数， 则，，故.故选：A （4）（2026·江苏·一模）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为为正数，故.由题设有，而，故，故， 故，且，故设，因为均为上的增函数，故为上的增函数，而，故， 故A正确，BCD错误. （5）（2025·四川眉山·模拟预测）已知，则（  ）. A． B． C． D． 【详解】因为函数在上是增函数，函数在上是减函数，且，所以，即.故选：C. （6）（多选题）（2026·安徽铜陵·模拟预测）已知函数，若实数m，n满足，则（   ） A． B． C． D． 【详解】已知，，令，则，即，若，则，，，，则，，此时存在实数m，n满足，假设时，则，函数在上单调递增，故，所以，与题设矛盾，故，选项正确；若，，则满足，但，选项错误；由可知，则，由解得，因为，故，即，选项正确；若时，，选项错误..故选：AC. 题型四 对数的运算 例15.（1）（2026·湖南·模拟预测）若，则（    ） A．2 B． C． D． 【详解】由，得 ，所以． （2）（2026·天津和平·三模）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【详解】由，所以，所以. （3）（2025·河南郑州·三模）已知，则的值为 ． 【详解】因为，所以，可得 ，即，所以，即，所以.故答案为：. （4）（2026·天津南开·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由可得，则， 所以. （5）（2026·浙江台州·二模）已知实数，，若，，则（   ） A． B． C． D．1 【详解】，故，，，故，所以， 因为，所以，，所以. 例16.（1）（2026·吉林长春·二模）已知实数，若且，则（   ） A．9 B．21 C．27 D．30 【详解】设，则，由于，则，故由可得，即，解得，舍去，故，即得，又，则，即，结合，得，故，则. （2）（2）（2026·天津·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由得，，即.由得，，即，所以.所以. （3）（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【详解】因为，，即，所以．故选：C. （4）（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． 【详解】由题，整理得， 或，又，所以，故故答案为：64. （5）（2026·江西上饶·一模）已知，且，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 【详解】，由得，则所以故选：A． 例17.（1）（2026·湖北十堰·一模）已知，，用，表示______. 【详解】由，得，则；由，得，则，因此，所以.故答案为： （2）（2025湖北）已知，，则= .（用表示） 【解析】因为，所以. （3）2026·山西朔州·一模）若，且，，则__________. 【详解】根据题意，由，可得，又，所以，令，，则，，所以可得①，②，将②式通分，可得，即③，将③式代入①式，可得，解得，即. （4）（2026·山东泰安·二模）已知实数，且，若，则__________. 【详解】，，， ，， ，，，，，. （5）（2026·河南开封·模拟预测）设、为正数，若，且，则________． 【详解】因为、为正数，若，且，即，即， 即，即，整理可得，即，解得或，故有或，故. 例18.（1）（2026·上海·三模）已知实数，，若，，则____________. 【详解】因为，所以，即，又因为，所以，所以， 因为，所以，，所以. （2）（2026·浙江·模拟预测）已知，则__________. 【详解】由于，则，， ，，   （3）（2025·浙江金华·一模）已知，则（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 【详解】，所以，则，解得.故选：C. （4）（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知，则的最小值为（   ） A．3 B．2 C． D．1 【详解】因为，，所以，，当且仅当时取等号，.故选：D. （5）（2026·江苏·模拟预测）直线与函数的图象交于两点，过点分别作轴的垂线，垂足为，则当矩形的面积为时，的值为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意可得，设函数与直线的交点为， 则，则，同理，则，又因为，，解得，设，则，故，代入点坐标得，化简得，解得，故. （6）（25-26·安徽皖南八校第一次联考）已知函数的最小值为， （1）求的值； （2）已知正实数均不等于1，且是方程的两个根，求的值. 【详解】（1），则函数的最小值为， 得到，又，则. （2），则的两根为，，即. 题型五 对数函数的图象与性质 例19.（1）（2025·河南·二模）函数过定点A，若，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【详解】当，即时，恒有，即过定点，因为，所以点在上，则，且， 于是得，当且仅当，即时取＂＂，由且得：，所以当时，取得最小值8．故选：C （2）（2025·安徽安庆·模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（    ）． A． B． C．3 D． 【解析】由题意可知，则，当且仅当，时，的最小值为，故选:A． （3）（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数的图象过定点，正实数，满足，则的最小值为_____. 【详解】当时，所以函数的图象过定点，所以，，即，所以，当且仅当，时等号成立.故答案为：12 例20.（1）（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 由题意可知：的定义域为，令解得；令解得； 则当时，，故，所以；时，，故，所以；故， 则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：C. （2）（2025·广东佛山·模拟预测）设函数，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，恒成立，所以，即，所以．因为且， 所以．故选：C. （3）（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【详解】函数的定义域为，可得函数在上单调递增，又，由，得，因为函数在上单调递增，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：B. （4）（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；对于选项D：例如，则，可得，即故D错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误 （5）（多选题）（2025·安徽安庆·模拟预测）设、是曲线上两个不同的点，则（） A． B． C． D． 【详解】对于选项，构造点，点恒在的上方，则，即，故A正确，B错误；   对于选项C，构造，则，点，点恒在的上方，则，两边取对数得，即，故C正确；   对于选项D，构造，则，点，点恒在的上方，则，两边取对数得，即，故D正确；   故选：ACD． 例21.（1）（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【详解】由，得，则函数的定义域为，排除AB；由复合函数的单调性可知，在上单调递增，则函数在上单调递增，C正确，D错误. （2）（2026·河北沧州·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为函数在区间上单调递增，令，而函数在定义域内单调递减，所以在区间上单调递减，又因为，有恒成立，则，求解可得所以．故选：D （3）（2026·河北张家口·二模）已知，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为函数在上单调递增，，所以，解得又在上单调递增，即 ；函数在上单调递增，即，解得，综上，的取值范围是. （4）（2025·河南·模拟预测）已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】由在上单调递增，则值域为，由对称轴为， 当时，开口向上，则，显然成立； 当时，在上单调递增，且，显然成立； 当时，开口向下，则，则；综上，.故选：D （5）（2025·吉林·三模）若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】是由，复合而成，由题意知：，在区间上单调递增，若函数（其中且）在区间上单调递减，所以单调递减，可得： ,又对于恒成立，所以，解得：， 综上所述：.故选：A 例22.（1）（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题知，在区间上单调递增，∴在区间上的值域为，时，，其对称轴为，要使的值域为R，则在区间上的值需取遍区间内所有值，，解得.故选：C． （2）（2026·河南周口·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【详解】若，则在上单调递减，在上单调递减，且当时，，当时，，此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得；若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意；若，则在上单调递增，在上单调递减，且当时，，当时，，的值域不可能为，不合题意；若，则在上单调递增，在上单调递增，且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得，综上所述，实数的取值范围为. （3）（2026·江西南昌·三模）设且，函数的值域为的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【详解】当时，，因为函数在上单调递增，则在上单调递增，所以，即在上的值域为；当时，，且. ①当时，在上单调递减，所以，即在上值域为，值域存在上界，整个函数值域无法延伸到正无穷，不满足值域为，不合题意； ②当时，在上单调递增，所以，即在上值域为，因为整个函数值域为，所以，解得或，又因为，所以，即.所以函数的值域为的一个充分不必要条件对应的的取值范围应为的真子集，所以B正确. （4）（2026·湖南·三模）已知函数且在上的值域为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【详解】函数在上具有相同的单调性，所以在上单调，要满足题意，则在上单调递增，所以，解得，故选C. （5）（2026·安徽芜湖·一模）若函数（且）的值域是，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】当时，单调递减，此时，要使的值域是，则当时，的值域为的子集，所以，解得，即实数a的取值范围为，故选：A （6）（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为________；若的值域为，则的取值范围是________． 【详解】第一空：当时，易知的值域为，若的值域为， 则当时，的最大值需满足小于或等于2，因为在上单调递增， 故需满足：即，解得：，故的一个取值为； 第二空：当时，易知的值域为，若的值域为，则需满足当时，的最小值需满足小于或等于2，又在上单调递增，则需满足即，解得：，所以的取值范围是.故答案为：， 例23.（1）（2026·河南·模拟预测）已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． 【详解】，即，，解得， ，则，解得， 的定义域为，又因为，，即函数的取值范围是． （2）（多选题）（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B． C． 在区间上单调递增 D． 【详解】令，则或，故的定义域关于原点对称，选项A：的定义域为，，满足奇函数定义，A正确。选项B：，B错误。选项C：由于在单调递增，而为定义域内的单调递增函数，为由复合函数“同增异减”得在区间单调递增，由于为奇函数，因此在区间上单调递增，C正确。选项D：由于，不满足，D错误。故选：AC （3）（2026·云南昆明·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【详解】的定义域为，因为，所以，即为偶函数，当时，则， 由复合函数的单调性质得：在上单调递增，单调递增，所以在上单调递增.故选：C （4）（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．的值域为 D．的图象关于原点对称 【详解】选项A：由题意，即，所以，即，解得，故A正确；选项B：令，当时，单调递减，所以在上单调递增，又当时，函数在上单调递增，根据复合函数单调性原则可知在上单调递增，故B正确；选项C：因为，所以， 则，所以，则，所以值域为，故C错误；选项D：因为定义域为关于原点对称，且，所以，所以为奇函数，图象关于原点对称，故D正确.故选：C 例24.（1）（2026·山东东营·二模）已知奇函数的周期为2，且当时，，则_____． 【详解】由的周期为2，可得， 由是奇函数，可得，再由的周期为2，可得，因为当时，，所以，即. （2）（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【详解】因为函数的周期为2，且为奇函数，所以，因为， 所以，故选：A （3）（25-26高三上·河南南阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则 （    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，，对称轴为直线，则，所以，所以，所以，则的周期，因为，所以，又当时，，函数是定义在上的奇函数，所以时，，所以，故选：A． （4）（2025·河北·模拟预测）若（其中）是偶函数，则（ A   ） A．2 B．1 C． D． （5）（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 【详解】 函数有意义需满足且，即， 由于是奇函数，定义域关于原点对称，因此也不在定义域内，代入分子得，解得，求参数： 将代入得： ，由于在定义域内，奇函数满足，代入得： ，解得，此时函数，， 则，即，则是奇函数，满足题意，故 . （6）（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【详解】由可得， ，若为奇函数，则有， 即，整理得，则，解得，当时，，令，解得或，此时定义域为关于原点对称，符合为奇函数，故符合题意． （7）（2026·河南周口·三模）已知是偶函数，且当时，，则（    ） A．2 B．3 C．29 D．30 【详解】当时，，当时，，因为是偶函数，所以在中，都满足，代入中可得 例25.（1）（江淮十校2025届高三第一次联考数学试题）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】函数的定义域为，不等式化为：． 令，，，故函数在上单调递增，在上单调递减．当时，，当时，，当时，， 当时，，当，且时，，画出及的大致图象如下， 因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，故正整数解为．故，即．故.故选：C. （4）（2025·河北·模拟预测）已知且，若关于x的不等式恰有1个整数解，则a的取值范围是 ． 【详解】不等式恰有1个解时，，当时，，不等式无整数解；当时，，随着的增大，函数比增长更快，因此2是不等式的唯一整数解，则，解得， 所以a的取值范围是.故答案为： （2）（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】由，易知其定义域为，由，则函数为偶函数，，由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则在上单调递减，在上单调递增，即函数在上单调递增，在上单调递减，由，则，即，整理可得，化简可得，解得. 故选：A （3）（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． 【详解】， 设，，所以为偶函数，所以，是偶函数， 当时，，所以在单调递增，根据复合函数单调性可知，在单调递增，所以不等式，即，两边平方，整理为，解得：或所以不等式的解集为. （4）（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数，若函数的图象关于点对称，则（    ） A．-3 B．-2 C． D． 【详解】依题意将函数的图象向左移1个单位长度关于原点对称，即是奇函数，因奇函数的定义域关于原点对称，而时函数无意义，故时也无意义，即，解得此时为奇函数，则解得故.故选：C． 例26.（1）（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，，且，所以. （2）（2025·江西·模拟预测）已知，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【详解】由对数的运算性质，可得，则；又由，则，因为，可得，所以，所以.故选：A. （3）（2026·山西忻州·模拟预测）若正实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】令，则，所以对应函数依次为，根据指数函数的图象及其平移关系，大致图象如下， 由图，随从左到右移动依次有，，，，即，，，，不可能有. （4）（2026·北京大兴·三模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【详解】已知，同时取对数得： ，， 又，且函数在区间单调递增，因此，可得：，即，故. （5）（2026·四川眉山·模拟预测）设，，，则（     ） A． B． C． D． 【详解】，，是单调递增函数，， ，，；，，是单调递增函数，， ，，；，，，，，，，，故选项C正确. （6）（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）若，，，则（ ） A． B． C． D． 【详解】，，， ，， 又，都大于，．，故选：． （7）（江淮十校2025届高三第一次联考数学试题）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【详解】，而，且．所以，故． （8）（江西省赣抚吉十二校2026届高三第一次联考）设，则（ ） A. B. C. D. 【详解】令，则，令，得； 令，得，故在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 得，即，所以，所以，即.故选：D. （9）（25-26高三上·广西·开学考试）（多选题）若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则，，. 如图，作出函数，，的图象， a，b，c的值分别是函数，，的图象与直线的交点的纵坐标.由图可知，随着的变化，可能出现，，.   故选：ABD （10）（2025·山东·模拟预测）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由，可得.因为，所以，所以.设函数，则，易知在上单调递增，所以，即.故选：D. （11）（2025·湖南邵阳·三模）（多选题）已知函数的定义域为，且，，当时，单调递减，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数为奇函数 C． D． 【详解】因为，所以，所以关于点中心对称，故A错误；令，所以，又，所以，故为奇函数，故B正确；又因为，所以是偶函数，所以，所以，所以，所以是周期为4的函数，令，得，令，得，令，得，所以，故C正确；，又，故，又因为当，单调递减，且，所以，所以关于点中心对称，所以在区间上单调递减，所以， 所以，故D错误.故选：BC. 题型六 对数函数实际应用 例27.（2023·全国·高考真题）（多选题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【详解】由题意可知：，对于选项A：可得，因为，则，即，所以且，可得，故A正确；对于选项B：可得，因为，则，即，所以且，可得，当且仅当时，等号成立，故B错误；对于选项C：因为，即，可得，即，故C正确；对于选项D：由选项A可知：，且，则，即，可得，且，所以，故D正确；故选：ACD. 例28.（2026·广西南宁·三模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（   ）个小时才能驾驶．（参考数据：，） A．6 B．7 C．8 D．9 【详解】设他经过个小时后血液中酒精含量为，则， 当时，，即，解得，因为时间必须大于小时才能使酒精含量低于，结合选项为整数，故至少需要经过小时才能驾驶.故选项C正确. 例29.（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 例30.（2026·湖南株洲·三模）点声源亦称“球面声源”或“简单声源”．已知点声源在空间中传播时，衰减量L（单位：dB）与传播距离r（单位：m）的关系式为，其中k为常数．当传播距离由15m增加到90m时，衰减量的增量约为（    ）（参考数据：，） A．8dB B．12dB C．16dB D．18dB 【详解】设传播距离为时的衰减量为，传播距离为时的衰减量为， 则衰减量的增量为.由衰减量公式，可得： ， 代入，，得，故，因此：， 代入参考数据，，得：. 例31.（2026·湖南长沙·模拟预测）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 【详解】已知衰减公式，当的质量衰减为最初的时，满足： ，即，两边取对数得：，则， 即． 例32.（2026·贵州贵阳·二模）某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型（其中y为感染人数，为初始感染人数，k为传播系数，t为发现疫情后的天数，e为自然对数的底数）．已知发现疫情第1天感染人数为120人，第3天感染人数为270人．若感染人数达到1000人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情后第（   ）天启动．（参考数据：，，） A．6 B．7 C．8 D．9 【详解】由题意可得，所以，所以.由，得， 两边取自然对数得，所以，所以， 所以，所以，所以，即.所以最迟应在发现疫情后第7天启动 题型七 指数与对数函数综合问题 例33.（25-26高三上·安徽淮北·阶段检测）函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）由函数， 令，可得，则函数即为函数，可得函数在上单调递减，所以，所以函数的值域为. （2）令，可得，则不等式对任意恒成立，即为对于任意恒成立，当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，即为恒成立，因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，综上可得，实数的取值范围为. 例34.（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数，. （1）求函数的值域及单调区间； （2）若不等式在上有解，求实数k的取值范围. 【详解】（1），设，， 所以，所以即为，又因为， 所以的值域为；且在上单调递减，在上单调递增，即在上单调递减，在上单调递增，所以的值域为，单调递减区间为，单调递增区间为； （2）因为，令，则原不等式等价于在上有解，即在上有解，又因为，得， 所以，由对勾函数的性质可知，所以，所以实数k的取值范围为. 例35.（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数． （1）求函数的单调性； （2）设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为6？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为，所以解得，所以函数的定义域为； 因为在上单调递增，且在上单调递增， 所以函数在上单调递增； （2）由已知，是增函数，因为函数在上有且仅有一个零点，所以，解得，所以的范围是； （3）假设存在正实数满足题意，，则，， 设，则，，由基本不等式有，当且仅当时等号成立，若，则，此时满足题意，若，即， 设，，，因为，所以，，所以时，，，是增函数，时，，，不合题意；当时，，，是减函数，时，，，不合题意；综上，存在正实数，使得函数在内的最小值为6，满足条件时. 例36.（2026·河南开封·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且满足，． （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为是上的偶函数，故对任意，恒成立，所以，，令，代入化简得得，因此的解析式为. （2）由题意可得，易知在上单调递增，因此不等式等价于.令，不等式变为对任意恒成立，分离参数得，由基本不等式得，当且仅当取最小值，因此，即. （3）对任意，存在，满足，等价于在上的最小值在上的最小值.因为单调递增，故，因此存在，使得，即，开口向上，对称轴， 若，，得； 若，，恒成立； 若，，结合恒成立.综上得，即. 例37.（2026·河南南阳·模拟预测）若存在，使得函数对其定义域内的任意，，当时，恒成立，则称为“积轴函数”，为轴积系数. （1）证明：为“2积轴函数”. （2）已知函数. （i）试问是否为“积轴函数”？若是，求出轴积系数的值；若不是，请说明理由. （ii）若函数有唯一零点，求正数的取值范围. 【答案】(1)函数的定义域为，当时，有，则，所以函数为积轴函数. （2）（i）因为，进一步化简可得： ， 设函数为“积轴函数”，则当，，且时，有， 则，， ， ， ，又因为，恒成立，所以，求得，所以函数为“4积轴函数”. （ii）由（i）可知，函数为“4积轴函数”，函数有唯一零点， 即有唯一解，因为函数为“4积轴函数”，所以， 对任意，，又因为，则，所以恒成立，该情况无解，所以原方程的解等价于有唯一解，对上式进一步化简可得：，当时，方程化为，解得,符合唯一解， 当时，判别式，有两个不相等的实根， 所以，两根之积为,若,则，乘积为负，两根一正一负，仅有正根在定义域内，符合唯一零点，当时，则，乘积为正，两根同号，又因为两根之和为，所以两根均为正，即方程有两个正根，对应两个零点，不符合唯一零点要求,综上所述可得的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 幂函数、指数函数、对数函数运算及图像性质 一 幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. （2）幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. （3）幂函数的图象和性质 ①幂函数的单调性 ②幂函数的奇偶性 二 指数与指数函数 （1）指数的基本性质 ①零指数幂:; ②负整数指数幂: ③正分数指数幂:; ④负分数指数幂: （2）指数的基本计算 ①同底数幂的乘法运算 ②同底数幂的除法运算 ③幂的乘方运算 ④积的乘方运算 （3）指数函数的图象和性质 图 象 定义域 值域 性质 过定点 当时，； 时, 当时，； 时, 在上是增函数 在上是减函数 指数函数常用技巧 ①当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． ②当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． ③指数函数与的图象关于轴对称． 三 对数与对数函数 （1）对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数． （2）常见对数： ①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数； ②常用对数：以为底，记为； ③自然对数：以为底，记为； （3）对数的性质和运算法则： ①；；其中且； ②(其中且，)； ③对数换底公式：； ④； ⑤； ⑥，； ⑦和； ⑧. （4）对数函数的图象和性质 图象 性质 定义域： 值域： 过定点，即时， 在上增函数 在上是减函数 当时，，当时， 当时，，当时， 四 对数型糖水不等式 （1）设 , 且 , 则有 （2）设 , 则有 （3）上式的倒数形式：设 , 则有 题型一 幂函数的图像与性质 例1.（1）（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）若幂函数为偶函数且在单调递增，则实数的可能值为（   ） A． B． C． D． （2）（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 （3）（2025·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（   ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2 （4）（2026·江西·一模）已知幂函数在上单调递增，若正数、满足，则的最小值为 ． 例2.（1）（2025·重庆南开中学高三月考）已知函数是幂函数，直线过点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2）（2026·北京·三模）已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 （3）（2025·高三·河北邢台·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递减，若，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 （4）（2026·江苏泰州·模拟预测）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足．若，且的值为负数，则下列结论中一定不成立的是（     ） A．， B．， C．， D．， 例3.（1）（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a （2）（2025·广东广州·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． （3）（2026·天津红桥·二模）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． （4）（2025·福建三明·三模）若 ，则（   ） A． B． C． D． 例4.（1）（2025·江西·一模）若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（   ） A． B． C． D． （2）（2026·上海·模拟预测）已知，幂函数的大致图象如图所示，则_________． （3）（2025·广东·一模）已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（    ） A．16 B．24 C．32 D．4 （4）（25-26高三上·甘肃临夏·阶段检测）已知函数． （1）是否存在实数a，，使得在区间上的取值范围为？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由． （2）求不等式的解集． 题型二 指数的运算 例5.（1）（2025·河南新乡·二模）（    ） A．16 B． C．32 D． （2）（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． （3）（2026·山西临汾·二模）已知（，且），则______． （4）（2026·黑龙江佳木斯·三模）已知正数，满足，则的最小值是（   ） A． B．9 C． D．13 （5）（2026·广东广州·三模）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． （6）（2026·贵州·二模）已知函数（）的图象经过点，．若，则 ． 例6.（1）（25-26高三上·福建莆田·开学考试）已知定义域都为的函数与满足：是偶函数，是奇函数，且． （1）求函数、的解析式； （2）设，，对于，都有，使得，求实数的取值范围． （2）（2025广东）已知（且）是上的奇函数，且． （1）求的解析式； （2）若关于的方程在区间内只有一个解，求的取值集合； （3）设，记，是否存在正整数，使不得式对一切均成立？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由． 题型三 指数函数的图像与性质 例7.（1）（2025·高三·河北·期末）已知函数，且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为 . （2）（2025·山东济宁·一模）已知函数且的图象过定点A，且点A在直线上，则的最小值是 . （3）（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则______． 例8.（1）（2025·辽宁·模拟预测）已知函数（且）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （3）（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （4）（2025·安徽·三模）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 例9.（1）（2026·广东广州·三模）若函数有最大值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． （2）（2025·安徽安庆·模拟预测）已知，且，，则（） A．1 B．2 C．3 D．4 （3）（25-26高三上·河南·模拟预测）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，当时，函数有（   ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 （4）（2026·云南·模拟预测）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C． D． 例10.（1）（2026·陕西宝鸡·二模）若函数为奇函数，则（   ） A． B． C．8 D．16 （2）（2026·江苏徐州·模拟预测）若函数（）是奇函数，则（    ） A． B．1 C．3 D．9 （3）（2026·山东潍坊·三模）已知，函数，为奇函数，则（     ） A．13 B．24 C．80 D．240 （4）（2026·湖南常德·二模）已知函数为奇函数，则实数______． （5）（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 例11.（1）（2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． （3）（2026·重庆·三模）若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． （4）（2026·河南开封·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． （5）（2026·贵州六盘水·一模）已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例12.（1）（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （3）（2026·陕西·三模）已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． （4）（2026·安徽合肥·模拟预测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． （5）（多选题）（2026·河北邯郸·二模）已知函数为奇函数，则下列结论正确的是（   ） A． B．在上单调递减 C．的值域为 D．的解集为 （6）（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例13.（1）（25-26高三下·湖北·开学考试）函数，则对任意实数，下列结论正确的是（    ） A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递增 C．是奇函数，且在上单调递减 D．是偶函数，且在上单调递减 （2）（2026·陕西·三模）已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． （3）（2025·贵州安顺·模拟预测）已知函数，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 （4）（2025·宁夏吴忠·二模）定义在上的函数满足，且，当时，，当时，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． （5）（2026·湖南岳阳·三模）已知函数图象上不同的两点，到直线的距离相等，则（    ） A． B． C． D． （6）（2025·江苏苏州·三模）已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 例14.（1）（2026·江苏南通·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． （2）（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． （3）（2026·广东·模拟预测）已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则，，间的大小关系为（    ）． A． B． C． D． （4）（2026·江苏·一模）已知正数，满足，则（   ） A． B． C． D． （5）（2025·四川眉山·模拟预测）已知，则（  ）. A． B． C． D． （6）（多选题）（2026·安徽铜陵·模拟预测）已知函数，若实数m，n满足，则（   ） A． B． C． D． 题型四 对数的运算 例15.（1）（2026·湖南·模拟预测）若，则（    ） A．2 B． C． D． （2）（2026·天津和平·三模）已知，，则（     ） A． B． C． D． （3）（2025·河南郑州·三模）已知，则的值为 ． （4）（2026·天津南开·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． （5）（2026·浙江台州·二模）已知实数，，若，，则（   ） A． B． C． D．1 例16.（1）（2026·吉林长春·二模）已知实数，若且，则（   ） A．9 B．21 C．27 D．30 （2）（2026·天津·一模）若，，则（   ） A． B． C． D． （3）（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． （4）（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ． （5）（2026·江西上饶·一模）已知，且，则（   ） A．4 B．3 C． D．2 例17.（1）（2026·湖北十堰·一模）已知，，用，表示______. （2）（2025湖北）已知，，则= .（用表示） （3）2026·山西朔州·一模）若，且，，则__________. （4）（2026·山东泰安·二模）已知实数，且，若，则__________. （5）（2026·河南开封·模拟预测）设、为正数，若，且，则________． 例18.（1）（2026·上海·三模）已知实数，，若，，则____________. （2）（2026·浙江·模拟预测）已知，则__________. （3）（2025·浙江金华·一模）已知，则（    ） A．3 B．9 C．27 D．81 （4）（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知，则的最小值为（   ） A．3 B．2 C． D．1 （5）（2026·江苏·模拟预测）直线与函数的图象交于两点，过点分别作轴的垂线，垂足为，则当矩形的面积为时，的值为（   ） A． B． C． D． （6）（25-26·安徽皖南八校第一次联考）已知函数的最小值为， （1）求的值； （2）已知正实数均不等于1，且是方程的两个根，求的值. 题型五 对数函数的图象与性质 例19.（1）（2025·河南·二模）函数过定点A，若，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 （2）（2025·安徽安庆·模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（    ）． A． B． C．3 D． （3）（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数的图象过定点，正实数，满足，则的最小值为_____. 例20.（1）（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 （2）（2025·广东佛山·模拟预测）设函数，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． （3）（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． （4）（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． （5）（多选题）（2025·安徽安庆·模拟预测）设、是曲线上两个不同的点，则（） A． B． C． D． 例21.（1）（2026·广西·模拟预测）设函数，则函数（    ）． A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 （2）（2026·河北沧州·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． （3）（2026·河北张家口·二模）已知，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （4）（2025·河南·模拟预测）已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． （5）（2025·吉林·三模）若函数（且）在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例22.（1）（2025·江西新余·模拟预测）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． （2）（2026·河南周口·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． （3）（2026·江西南昌·三模）设且，函数的值域为的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． （4）（2026·湖南·三模）已知函数且在上的值域为，则（    ） A．4 B．2 C． D． （5）（2026·安徽芜湖·一模）若函数（且）的值域是，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． （6）（2025·北京海淀·一模）已知函数（且）．若的值域为，则的一个取值为________；若的值域为，则的取值范围是________． 例23.（1）（2026·河南·模拟预测）已知函数是偶函数，则函数的值域为__________． （2）（多选题）（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B． C． 在区间上单调递增 D． （3）（2026·云南昆明·二模）已知函数，则（    ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 （4）（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．的值域为 D．的图象关于原点对称 例24.（1）（2026·山东东营·二模）已知奇函数的周期为2，且当时，，则_____． （2）（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知函数是周期为2的奇函数，且当时，，则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 （3）（25-26高三上·河南南阳·期末）已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则 （    ） A． B． C． D． （4）（2025·河北·模拟预测）若（其中）是偶函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． （5）（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数是奇函数，则（     ） A． B．1 C． D．2 （6）（2026·陕西榆林·模拟预测）若函数为奇函数，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． （7）（2026·河南周口·三模）已知是偶函数，且当时，，则（    ） A．2 B．3 C．29 D．30 例25.（1）（江淮十校2025届高三第一次联考数学试题）已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2）（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． （3）（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． （4）（2025·江苏泰州·模拟预测）已知函数，若函数的图象关于点对称，则（    ） A．-3 B．-2 C． D． 例26.（1）（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． （2）（2025·江西·模拟预测）已知，，则（    ） A．， B．， C．， D．， （3）（2026·山西忻州·模拟预测）若正实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． （4）（2026·北京大兴·三模）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． （5）（2026·四川眉山·模拟预测）设，，，则（     ） A． B． C． D． （6）（25-26高三上·湖南长沙·开学考试）若，，，则（ ） A． B． C． D． （7）（江淮十校2025届高三第一次联考数学试题）若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． （8）（江西省赣抚吉十二校2026届高三第一次联考）设，则（ ） A. B. C. D. （9）（25-26高三上·广西·开学考试）（多选题）若实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． （10）（2025·山东·模拟预测）已知，若，则（   ） A． B． C． D． （11）（2025·湖南邵阳·三模）（多选题）已知函数的定义域为，且，，当时，单调递减，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数为奇函数 C． D． 题型六 对数函数实际应用 例27.（2023·全国·高考真题）（多选题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 例28.（2026·广西南宁·三模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（   ）个小时才能驾驶．（参考数据：，） A．6 B．7 C．8 D．9 例29.（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 例30.（2026·湖南株洲·三模）点声源亦称“球面声源”或“简单声源”．已知点声源在空间中传播时，衰减量L（单位：dB）与传播距离r（单位：m）的关系式为，其中k为常数．当传播距离由15m增加到90m时，衰减量的增量约为（    ）（参考数据：，） A．8dB B．12dB C．16dB D．18dB 例31.（2026·湖南长沙·模拟预测）某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）（    ） A．年 B．年 C．年 D．年 例32.（2026·贵州贵阳·二模）某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型（其中y为感染人数，为初始感染人数，k为传播系数，t为发现疫情后的天数，e为自然对数的底数）．已知发现疫情第1天感染人数为120人，第3天感染人数为270人．若感染人数达到1000人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情后第（   ）天启动．（参考数据：，，） A．6 B．7 C．8 D．9 题型七 指数与对数函数综合问题 例33.（25-26高三上·安徽淮北·阶段检测）函数． （1）当时，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求的取值范围． 例34.（2025·海南儋州·模拟预测）已知函数，. （1）求函数的值域及单调区间； （2）若不等式在上有解，求实数k的取值范围. 例35.（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数． （1）求函数的单调性； （2）设，若函数在上有且仅有一个零点，求实数的取值范围； （3）设，是否存在正实数，使得函数在内的最小值为6？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 例36.（2026·河南开封·模拟预测）已知函数为定义在上的偶函数，且满足，． （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 例37.（2026·河南南阳·模拟预测）若存在，使得函数对其定义域内的任意，，当时，恒成立，则称为“积轴函数”，为轴积系数. （1）证明：为“2积轴函数”. （2）已知函数. （i）试问是否为“积轴函数”？若是，求出轴积系数的值；若不是，请说明理由. （ii）若函数有唯一零点，求正数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $