精品解析：吉林长春市东北师范大学附属中学2026-2027学年上学期九年级数学开学考试题

数学 时长：90分钟 分值：100分 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 2025年，我国新能源汽车产销量均超16000000辆．数据16000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解： ． 2. 如图，直线，它们依次交直线m、n于点A、B、C和D、E、F，已知，，，那么等于（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由题意根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求解即可． 【详解】∵， ∴，即 ∴解得， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，能正确根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解答此题的关键． 3. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象过点 B. 函数图象位于第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质依次判断各选项即可． 【详解】解：A选项，将代入，得，函数图象不过点，A错误； B选项，， 函数图象位于第二、四象限，B错误； C选项，当时，随的增大而增大，C错误； D选项，当时，，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ，D正确 ． 4. 若一元二次方程的两根分别为，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=3，x1x2=-1，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：根据题意得： x1+x2=3，x1x2=-1， 则， 故选：B． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=． 5. 在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把点P代入直线求出n，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴， ∴， ∴关于x，y的方程组的解； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，二元一次方程与一次函数的关系，准确计算是解题的关键． 6. 如图，在中，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据阴影三角形有一个角为，与相等，结合是公共角，相等，可以得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、根据阴影三角形有一个角为，与相等，是公共角，相等，能得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； C、，，可以得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、只有，不能得到阴影三角形与原三角形相似，符合题意； 故选D． 7. 如图，在中，点是线段上一点，，过点作交的延长线于点，若的面积等于4，则的面积等于（ ） A. 2.4 B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】证明可求，从而可求，，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键． 8. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，交轴于点，连接，取的中点，连接，则的面积为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义与三角形面积的计算，解题的关键是设出点的坐标表示出线段长度，结合中点性质求出的高，再利用面积公式计算． 设点A的横坐标为，根据反比例函数解析式表示出A、B两点坐标，求出的长度；由D是中点得出点D到的距离；最后代入三角形面积公式计算． 【详解】解：设点的坐标为（）． 轴， 点的横坐标为，点的横坐标为． 点在的图象上， 点的坐标为． 点在的图象上， 点的坐标为． ， 即． 点是的中点， 点到直线（直线）的距离为． ． 故选：D． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 函数的自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由有意义可得：再解不等式可得答案． 【详解】解：由有意义可得： 即 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键． 10. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据解答即可求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 11. 点，都在反比例函数的图像上，则______．（填“”或“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是比较反比例函数值或自变量的大小，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．先分别将点的坐标代入解析式求出，的值，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， 故将，代入，得，， ∵， ∴． 故答案为：． 12. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象，找直线在上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知：两条直线的交点坐标为， ∵， ∴， ∴，即直线在直线的上方， ∵当时，直线在直线的上方， ∴解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式的问题转化为比较函数值大小的问题是解答本题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为．点在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质， 首先直接利用位似图形的性质结合相似比得出的长； 然后根据相似三角形的判定定理得出，结合相似三角形的对应边成比例得到比例式，进而得出的长，由此即可得出点坐标，掌握知识点的应用是解题的关键； 【详解】解：∵正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，点E是边上一点，连接，以为斜边在右侧作等腰直角三角形，与交于点G，连接，有以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论序号为________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，即可判断①；证明出，得到，即可判断②；证明出，得到，然后结合即可判断③；设，，则，分别表示出，，即可判断④． 【详解】解：∵在正方形中，是对角线， ∴，是等腰直角三角形，, ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴，，故①正确； ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，故③错误； ∵， ∴设，，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论序号为①②④． 三、解答题（本题共10小题，共58分） 15. 2026吉马荣耀奖牌，以玫瑰花瓣为环、六枚“吉”字雪花为缀，将摇橹人图腾藏进雾凇纹理，把“北国江城”的浪漫与力量，凝作跑者胸前的荣耀．赛事组委会为完赛选手定制了全马、半马两款奖牌．据了解，每枚全马奖牌比半马奖牌贵4元；用1500元定制全马奖牌的数量与用1200元定制半马奖牌的数量相同．求全马、半马奖牌每枚的单价各是多少元？ 【答案】全马奖牌单价为元，半马奖牌单价为元． 【解析】 【分析】设半马奖牌每枚单价为元，则全马奖牌每枚单价为元，根据“用1500元定制全马奖牌的数量与用1200元定制半马奖牌的数量相同”列分式方程求解即可． 【详解】解：设半马奖牌每枚单价为元，则全马奖牌每枚单价为元， 由题意可知：， 解得：， 检验：当时，， 因此是原方程的解， 全马奖牌单价为：元． 答：全马奖牌单价为元，半马奖牌单价为元． 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画出相应图形，保留作图痕迹． （1）在网格①中的边上找点，在边上找点，连接，使． （2）在网格②中的边上找点，连接，使． （3）在网格③中的边上找点，连接，使的面积是面积的4倍． 【答案】（1）解：如图所示： 点、点即为所求； （2）解：如图所示： 点即为所求； （3）解：如图所示： 点即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据中位线性质可知，当是的中位线即可得到，取边上中点，边上中点，连接即可得到答案； （2）根据直角三角形两锐角互余可知，根据，若要使，过点作交于，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式，和以边上的高为高，从而两个三角形高相等，若的面积是面积的4倍，则，再利用格点得到点，连接即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是读懂题意，灵活运用所学的几何性质解决问题是关键． 17. 超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在让顾客得到更大实惠的前提下，当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为1200元． 【解析】 【分析】设每件商品应降价元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，每天销售利润为1200元”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设每件商品应降价元． 由题意，得， 解得． 让顾客得到更大实惠， ． 故当每件商品降价20元时，该商店每天的销售利润为1200元． 18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过点，点的坐标为． （1）的值为 ； （2）若将菱形沿轴正方向平移个单位． ①当菱形的顶点落在反比例函数的图像上时，求的值； ②在平移过程中，若反比例函数的图像与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，利用待定系数法求函数解析式，菱形的性质和勾股定理，解本题的关键是判断菱形的边始终和双曲线有交点的分界点． （1）先由点的坐标确定出，从而求出点坐标，最后求出； （2）①由平移的性质确定出的纵坐标，根据解析式求出点的横坐标，即可；②由平移的性质求出点落在双曲线上的横坐标的值即可求出反比例函数图象与菱形的边始终有交点的的取值范围． 【小问1详解】 解：如图所示：过点D作x轴的垂线，垂足为F， ∵点D的坐标为， ∴， ∴， ∴菱形， ∴，则 ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 【小问2详解】 ①将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 则平移后， ∵菱形的顶点B落在反比例函数的图象上， ∴， ②如图， 将菱形沿x轴正方向平移m个单位， 使得点D落在函数的图象处， 过点作x轴的垂线，垂足为， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵落在函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连结、，它们相交于点，且． （1）求证：； （2）若，，则的长为____________． 【答案】（1）证明：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． （2）3 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到，进而可证，再根据即可得证； （2）设，则，根据相似三角形的性质可得，据此列方程即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ， ， ， ， ． 20. 青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：（单位：，其中表示体重（单位：），表示身高（单位：）．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（）分成四个等级，如表所示，为了解学生体重指数分布情况，九年级某数学综合实践小组开展了一次调查． 等级 偏瘦（A） 标准（B） 超重（C） 肥胖（D） 男 女 【数据收集】 小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据． 【数据整理】 调查小组根据收集的数据，绘制了两幅不完整的统计图． 【问题解决】 根据以上信息，解答下列问题 （1）若一位男生的身高为，体重为，则他的体重指数（）属于______等级（填“A”、“B”、“C”或“D”）． （2）求体重指数（）“B”等级的女生人数并将条形统计图补充完整． （3）扇形统计图中表示体重指数（）“A”等级的扇形的圆心角的度数为______． 【答案】（1）B （2）39人； （3）36 【解析】 【分析】（1）根据体重指数计算公式求解即可得； （2）先根据C等级的男生和女生总人数除以其所占的百分比即可得本次调查的男生和女生的总人数，再求出B等级的女生人数，据此补全条形统计图即可得； （3）利用360度乘以A等级人数所占的百分比即可得． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴他的体重指数（）属于B等级； 【小问2详解】 解：本次调查的男生和女生的总人数为（人）， 则B等级的女生人数为（人）， 将条形统计图补充完整略； 【小问3详解】 解：， 即扇形统计图中表示体重指数（）“A”等级的扇形的圆心角的度数为． 21. 已知A、B两地之间有一条笔直公路，甲车从A地出发匀速去往B地，到达B地后立即以原速原路返回A地，乙车从B地出发匀速去往A地，两车同时出发，乙车比甲车晚20分钟到达A地．甲车距A地的路程y(千米）与甲车行驶的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）在图中画出乙车距A地的路程y（千米）与x（分钟）之间的函数图象，并求出它所对应的函数关系式．（写出自变量x的取值范围） （2）甲、乙两车在行驶过程中相遇了______次． （3）求甲车到B地时，乙车距A地的路程． 【答案】（1）如图． （2）2 （3）当甲车到达B地时，乙车距离A地的路程为30千米 【解析】 【分析】（1）根据题意，之间的距离为千米，乙车行驶时间为分钟，根据乙车从B地出发匀速去往A地，画出函数图象，待定系数法求解析式即可求解． （2）根据函数图象即可求解； （3）根据甲用时30分钟到达B地，将代入（1）的解析式求解即可求解． 【小问1详解】 解：设乙车距离A的路程y与x之间的函数关系式为， 把、代入， 得．解得， ∴． 【小问2详解】 根据函数图象可知，相遇了2次， 故答案为：2． 【小问3详解】 甲到达B所用时间为 当时，． 所以，当甲车到达B地时，乙车距离A地的路程为30千米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息是解题的关键． 22. 如图在中，，，点在边上，满足．点是折线上任意一点，且不与的顶点重合．将沿翻折，得到． （1）求点到边的距离． （2）当点是中点时，求的值． （3）当时，直接写出的值． （4）当点在直线上方时，若与重叠部分为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）过点作，结合等腰三角形的性质，根据勾股定理即可得出； （2）过点作，根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，求得，根据勾股定理求得和； （3）分两种情况，当在上时，或者当在上时，分别求解即可； （4）当在边上时，或者当在上时，两种情况都是找当或时的临界状态，从而求得的取值范围 【小问1详解】 如图，作， ，， ， ． 【小问2详解】 如图，作， 是的中点， ， ，， ， ， ， ， 解得， ， ，， ， ． 【小问3详解】 ①如上图，当在边上时，过点作于点， ，且沿翻折形成， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， 设， 则，，， ， 解得， ， ； ②如下图，当点在边上时，过点作于点， 是沿翻折而成， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， 设，，则， ， ，， ， ， 解得， ， ； 综上所述，的值是或． 【小问4详解】 ①如下图所示，当在上且时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 解得， 设，， 则， ， 由折叠可知，，，， ， ，， ， 解得，（舍去）， ， ； ②当点P在AC边上时，如下图，当交于点时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 解得， 设，则， ， 由折叠可知，，， ， ， ，， ， ， ， ， 解得， ，， ， ， ， 综上所述，或 【点睛】本题主要考查勾股定理，锐角三角函数，直角三角形以及折叠问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 时长：90分钟 分值：100分 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 2025年，我国新能源汽车产销量均超16000000辆．数据16000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线，它们依次交直线m、n于点A、B、C和D、E、F，已知，，，那么等于（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 3. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象过点 B. 函数图象位于第一、三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 4. 若一元二次方程的两根分别为，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点是线段上一点，，过点作交的延长线于点，若的面积等于4，则的面积等于（ ） A. 2.4 B. 3 C. D. 4 8. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，交轴于点，连接，取的中点，连接，则的面积为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 函数的自变量的取值范围是_______． 10. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 11. 点，都在反比例函数的图像上，则______．（填“”或“”或“”） 12. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为．点在轴上，若正方形的边长为，则点坐标为 ________． 14. 如图，在正方形中，点E是边上一点，连接，以为斜边在右侧作等腰直角三角形，与交于点G，连接，有以下结论：①；②；③；④若，则．其中正确的结论序号为________． 三、解答题（本题共10小题，共58分） 15. 2026吉马荣耀奖牌，以玫瑰花瓣为环、六枚“吉”字雪花为缀，将摇橹人图腾藏进雾凇纹理，把“北国江城”的浪漫与力量，凝作跑者胸前的荣耀．赛事组委会为完赛选手定制了全马、半马两款奖牌．据了解，每枚全马奖牌比半马奖牌贵4元；用1500元定制全马奖牌的数量与用1200元定制半马奖牌的数量相同．求全马、半马奖牌每枚的单价各是多少元？ 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画出相应图形，保留作图痕迹． （1）在网格①中的边上找点，在边上找点，连接，使． （2）在网格②中的边上找点，连接，使． （3）在网格③中的边上找点，连接，使的面积是面积的4倍． 17. 超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在让顾客得到更大实惠的前提下，当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过点，点的坐标为． （1）的值为 ； （2）若将菱形沿轴正方向平移个单位． ①当菱形的顶点落在反比例函数的图像上时，求的值； ②在平移过程中，若反比例函数的图像与菱形的边始终有交点，请直接写出的取值范围． 19. 如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连结、，它们相交于点，且． （1）求证：； （2）若，，则的长为____________． 20. 青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：（单位：，其中表示体重（单位：），表示身高（单位：）．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（）分成四个等级，如表所示，为了解学生体重指数分布情况，九年级某数学综合实践小组开展了一次调查． 等级 偏瘦（A） 标准（B） 超重（C） 肥胖（D） 男 女 【数据收集】 小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据． 【数据整理】 调查小组根据收集的数据，绘制了两幅不完整的统计图． 【问题解决】 根据以上信息，解答下列问题 （1）若一位男生的身高为，体重为，则他的体重指数（）属于______等级（填“A”、“B”、“C”或“D”）． （2）求体重指数（）“B”等级的女生人数并将条形统计图补充完整． （3）扇形统计图中表示体重指数（）“A”等级的扇形的圆心角的度数为______． 21. 已知A、B两地之间有一条笔直公路，甲车从A地出发匀速去往B地，到达B地后立即以原速原路返回A地，乙车从B地出发匀速去往A地，两车同时出发，乙车比甲车晚20分钟到达A地．甲车距A地的路程y(千米）与甲车行驶的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）在图中画出乙车距A地的路程y（千米）与x（分钟）之间的函数图象，并求出它所对应的函数关系式．（写出自变量x的取值范围） （2）甲、乙两车在行驶过程中相遇了______次． （3）求甲车到B地时，乙车距A地的路程． 22. 如图在中，，，点在边上，满足．点是折线上任意一点，且不与的顶点重合．将沿翻折，得到． （1）求点到边的距离． （2）当点是中点时，求的值． （3）当时，直接写出的值． （4）当点在直线上方时，若与重叠部分为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $