26.2.1二次函数y=ax²的图象和性质（分层作业，8大题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 初中数学二次函数y=ax²同步练，通过A/B/C三级分层设计，实现从概念理解到几何综合的知识巩固路径，适配新授课差异化教学需求，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|系数a与图象性质、点代入求值等单一概念|图象辨析题强化几何直观，基础计算培养运算能力| |B组|函数值比较、多图象对比、与一次函数综合|多图象对比题提升推理意识，综合题构建知识联系| |C组|二次函数与平面几何综合应用|等边三角形与抛物线结合题发展模型观念，培养创新意识|

分层作业 26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 系数a与图象性质辨析 题型02 函数点代入、求值 题型03 基础增减性判断 题型04 抛物线对称变换 B组 能力进阶 题型01 比较函数值大小 题型02 多条y=ax2图象对比分析 题型03 二次函数与一次函数综合 C组 思维拔高 题型 二次函数与平面几何综合 系数a与图象性质辨析题型01 1．（24-25九年级上·山西大同·联考）函数与的图象的关系是（    ） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；对于，其对称轴为y轴，顶点为坐标原点；当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下，由此即可作出判断． 【详解】解：函数与的图象顶点为原点，对称轴为y轴；而函数中二次项系数为正，故开口向上，中二次项系数为负，故开口向下；除A选项外，其它选项均不正确； 故选：A． 2．二次函数的图象大致是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一判断图象即可．本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与二次函数的系数的关系是解题的关键． 【详解】解：的图象是一条过原点，开口向下的抛物线， 故选：D． 3．（25-26九年级上·江苏淮安·月考）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图像与二次函数的图像，理解掌握函数图像的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解：A．函数图像可得，则开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B．函数图像可得，则开口方向向下正确，顶点坐标为，故选项B正确； C．函数图像可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D．函数图像可得，则开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选：B． 4．已知二次函数，则其图像的开口向______．（填“上”或“下”） 【答案】上 【分析】根据二次项系数得出抛物线的开口方向． 【详解】， ∵， ∴该二次函数的图像开口向上， 故答案为上． 【点睛】此题考查二次函数图像的性质，熟知二次函数图像的性质是解题的关键． 5．抛物线与的开口大小相等，开口方向相反，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质，两个抛物线的开口大小相等、方向相反时，其二次项系数互为相反数，即可得到结果． 【详解】解：∵抛物线与的开口大小相等， ∴，即， ∵中，开口向下，两抛物线开口方向相反， ∴开口向上， ∴， ∴． 函数点代入、求值题型02 1．（24-25九年级上·河南周口·月考）如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；④，比较的大小，用“>”连接为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据中决定开口方向和开口大小，越大，开口越小，进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：， ∴； 故选A． 2．（25-26九年级上·贵州·期中）若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴若图象经过点，则该图象必经过点． 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，找到两个临界位置是解题关键．先将点，代入求出的值，再结合函数图象求解即可得． 【详解】解：将点代入抛物线得：，解得， 将点代入抛物线得：， 如图，若抛物线与线段恰有一个公共点， 则的取值范围是， 故选：D． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·联考）已知点在抛物线上，则的值为___________． 【答案】18 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 将点的横坐标代入抛物线解析式求解． 【详解】解：将代入抛物线， 得：． 故答案为：18． 5．二次函数的图象对称轴右侧上有两点，若，则______0． (填“＞”“＜”或“＝”) 【答案】＜ 【分析】根据二次函数的增减性，即可求解． 【详解】解：根据题意得二次函数的图象在对称轴右侧y随x的增大而减小， ∵， ∴， ∴． 故答案为：＜ 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 基础增减性判断题型03 1．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数图像的性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵二次函数，当时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向上， ∴． 故选：C． 2．对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数有最小值 B．函数图象开口向下 C．函数图象顶点坐标是 D．y随x增大而减小 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质进行逐项判断即可． 【详解】解：二次函数，开口向下，有最大值，对称轴为y轴，顶点为， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 故A，C，D不符合题意；B符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟记二次函数的开口方向，顶点坐标，函数最值，增减性是解本题的关键． 3．当时，函数的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向下，对称轴为直线，即轴，函数有最大值，距离对称轴越远，函数值越小，由此可解，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴是解题的关键． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为直线，即轴，， ∴当时，二次函数有最大值， 由，根据距离对称轴越远，函数值越小， ∴当时，有最小值， ∴当时，函数的取值范围为， ∴最大值与最小值的和为， 故选：． 4．（25-26九年级上·广东珠海·期末）若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，由二次函数图象开口向下，得二次项系数小于零． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴二次项系数， 故答案为：. 5．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． （1）k的值是_________． （2）若是此二次函数的图象上一点，且，则n的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式． （1）根据二次函数定义以及当时，y随x的增大而增大．可得出结论； （2）当时，，当时，，并结合函数图象求出y的取值范围． 【详解】解：（1）由题意可得，解得； 故答案为：； （2）由题意可得二次函数的解析式为， 当时，有最大值为0， 当时，，当时，， ∴当是此二次函数的图象上一点，且时，则， 故答案为：． 抛物线对称变换题型04 1．在平面直角坐标系中，点，，由线段与抛物线的一段）组成的图形C，如图所示．若将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，则这样的点P的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出直线的解析式，设点P的横坐标为m，则，然后分两种情况：当点P在线段上时，当点P在抛物线上时即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的横坐标为m，则， 当点P在线段上时，此时点P的坐标为， ∵将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上， ∴点在图形C上， ∴或， ∴（舍去）或； 当点P在抛物线上时，此时点P的坐标为， ∵将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上， ∴点在图形C上， ∴或， ∴（舍去）或（舍去）或； ∴这样的点P的个数为2个． 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线，三个顶点的坐标分别为，，．平移得到，当有两个顶点在抛物线上时，的长为________． 【答案】2或6或 【分析】根据已知点和抛物线的相对位置和点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”分情况求解即可． 【详解】解： ∵，，，， ∴要使平移后的三角形有两个顶点在抛物线上，只需将水平向左平移、竖直向上平移， 设将水平向左平移a个单位长度，竖直向上平移b个单位长度， 则，，， 若点、在抛物线上，如图1，则， 解得， 此时； 若点、在抛物线上，如图2，则， 解得， 此时； 若点、在抛物线上，如图3，则， 解得， 此时； 综上，的长为2或6或，    故答案为：2或6或． 【点睛】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征、坐标与图形-平移变换，熟知点的坐标平移规律是解答的关键． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，，，． (1)写出A，B两点分别关于y轴的对称点，的坐标． (2)画出以O为顶点并过A和B两点的抛物线图象． 【答案】(1)， (2) 如图所示： 【分析】本题考查坐标与图形变换-轴对称，二次函数的性质、画二次函数的图象，掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据点关于y轴对称的点的坐标特征“纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解即可； （2）根据二次函数的对称性描点画图即可． 【详解】（1）解：∵A，B两点分别关于y轴的对称点为，，，， ∴，； （2）解：∵抛物线以O为顶点并过A和B两点， ∴该抛物线关于y轴对称，并经过，两点， 在平面直角坐标系中描点、连线可得抛物线 比较函数值大小题型01 1．已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键． 根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点距离对称轴有2个单位长度， 点距离对称轴有0个单位长度， 点距离对称轴有1个单位长度， ∴根据抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可知：， 故选：C． 2．若点，是二次函数图象上的两点，则与的大小关系是______． 【答案】 【分析】找到抛物线的对称轴，进而确定抛物线的增减性，根据自变量的大小关系可确定函数值的大小关系． 【详解】解：∵的对称轴为y轴，， ∴抛物线开口向下，在y轴右侧，y随x的增大而减小， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数值的大小比较，根据二次函数的解析式确定对称轴的位置是解题的关键． 3．若，是二次函数的图象上的两点，则与的大小关系是_____ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的增减性，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． 根据二次函数的增减性判断即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，对称轴为轴， 时，随的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 4．已知，，三点都在二次函数的图象上，比较、、的大小：______．（用“＞”连接） 【答案】 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后比较三个点离y轴的远近得到y1，y2，y3的大小关系． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线的对称轴为y轴， ∵A（-1，y1），B（-2，y2），C（，y3）， ∴点A到对称轴的距离是1个单位， 点B到对称轴的距离是2个单位， 点C到对称轴的距离是个单位， ∴点B离y轴最远，点C离y轴最近， ∵ ∴抛物线开口向下， ∴点离对称轴越近，其函数值越大， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，对于二次函数y=a(x-h)2+k （a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值.其顶点坐标是(h，k)，对称轴为x=h. 5．已知，两点在二次函数的图象上，且，则与的大小关系是_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的解析式判断二次函数的增减性，再根据增减性直接判断即可． 【详解】解：， 二次函数开口向下，对称轴为轴， ， ， 故答案为：． 多条y=ax2图象对比分析题型02 1．若二次函数的图象开口向上，则a的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象开口向上，即二次项的系数大于0． 2．已知二次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系为________ 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此可根据“当时，开口向上，当时，开口向下，越大，开口也就越小”进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：； 故答案为． 3．（24-25九年级上·甘肃·期中）在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为________”连接）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．二次函数解析式中二次项系数的绝对值越大相应的抛物线开口越小，据此解答即可． 【详解】解：∵抛物线皆开口向上， ∴各二次函数中的二次项系数都为正数， ∵二次函数解析式中二次项系数的绝对值越大相应的抛物线开口越小， ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·陕西西安·月考）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次项系数与图象的关系是解题的关键．直接利用二次函数的图象开口大小与的关系即可得出答案． 【详解】解：观察图象可知，开口向上，故， 和开口向下，且的开口大小小于，故， ． 故答案为：． 5．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 二次函数与一次函数综合题型03 1．（24-25九年级上·福建泉州·月考）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．轴 D．轴 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数对称轴为：直线是解题的关键．直接根据二次函数对称轴的计算方法求解即可． 【详解】解：∵， 抛物线的对称轴为：，即y轴； 故选：D． 2．已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 【答案】D 【分析】本题考查了基本二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，顶点坐标，结合图象进行判断． 【详解】解：由抛物线可知， A.，抛物线开口向上，故选项A正确，不符合题意； B.顶点坐标为，故选项B正确，不符合题意； C.对称轴为直线，故选项C正确，不符合题意； D.当时，y有最小值0，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 3．（2025·河南·模拟）如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键． 根据的纵坐标与纵坐标的绝对值之和为的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴ ． 故选：B． 4．（2026·山东东营·模拟）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点、2、…）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点，则的值为________． 【答案】 【分析】根据点的坐标确定和的横坐标，代入函数解析式求出纵坐标，进而表示出线段的长度． 【详解】解：点的坐标为，且轴， 点和的横坐标均为， 点在抛物线上，点在直线上， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ， ． 5．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）关于抛物线，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线的对称轴为直线；④当时，；⑤若、是该抛物线上两个不同的点，则．其中正确的说法有__________．（填序号） 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题的关键； 根据的开口向下，顶点是可判断①，根据二次函数的增减性可判断②，根据抛物线的对称轴为y轴可判断③，根据二次函数的增减性和最值可判断④，根据二次函数的对称性可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：∵抛物线， ∴①抛物线开口向下，顶点是，故说法①错误； ②当时，y随x的增大而减小，故说法②正确； ③抛物线的对称轴为y轴，即直线，故说法③正确； ④当时，，故说法④错误； ⑤若、是该抛物线上两个不同的点，则，故说法⑤正确； 综上，说法正确的是②③⑤， 故答案为：②③⑤． 二次函数与平面几何综合题型 1．二次函数y=x2的图象如图所示，点A0 位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2023在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2023在二次函数y=x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2022B2023A2023都是等边三角形，则△A2022B2023A2023的周长是（    ） A．6069 B．6066 C．6063 D．6060 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质可得∠A1A0B1=60°，然后表示出A0B1的解析式，与二次函数解析式联立求出点B1的坐标，再根据等边三角形的性质求出A0A1，同理表示出A1B2的解析式，与二次函数解析式联立求出点B2的坐标，再根据等边三角形的性质求出A1A2，同理求出B3的坐标，然后求出A2A3，从而得到等边三角形的边长为从1开始的连续自然数，与三角形所在的序数相等，进而求得三角形的周长． 【详解】解：∵△A0B1A1是等边三角形， ∴∠A1A0B1=60°， ∴A0B1的解析式为y=， 联立 解得：或， ∴B1（，）， ∴等边△A0B1A1的边长为， 同理，A1B2的解析式为y=， 联立， 解得或， ∴B2（，2）， ∴等边△A1B2A2的边长A1A2=2×（21）=2， 同理可求出B3（，）， 所以，等边△A2B3A3的边长A2A3=2×（-1-2）=3， …， 以此类推，系列等边三角形的边长为从1开始的连续自然数， △A2022B2023A2023的边长为2023， ∴△A2022B2023A2023的周长是6069． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，主要利用了联立两函数解析式求交点坐标，根据点B系列的坐标求出等边三角形的边长并且发现系列等边三角形的边长为从1开始的连续自然数是解题的关键． 2．如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线的长为______． 【答案】 【分析】根据点B在抛物线y=x2的第一象限部分，可设B点坐标为（x，x2），则x＞0．根据B点的横坐标与纵坐标之和等于6，列出方程x+x2=6，解方程求出x的值，再求出OB的长即可得到结论． 【详解】解：连接OB，如图， ∵正方形OABC的顶点B在抛物线y=x2的第一象限部分， ∴可设B点坐标为（x，x2），且x＞0． ∵B点的横坐标与纵坐标之和等于6， ∴x+x2=6， 解得x1=2，x2=-3（不合题意舍去）， ∴B（2，4）， ∴OB2=22+42=20， ∴ ∵四边形OABC是正方形， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出B点坐标是解题的关键． 3．如图，在第一象限内作与轴的夹角为的射线，在射线上取一点，过点作轴于点．在抛物线上取一点，在轴上取一点，使得以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点A的坐标是______．    【答案】或或或 【分析】此题应分四种情况考虑：（1）当，时；（2）当，时；（3）当，时；（4）当，时，利用特殊三角形三边关系，根据三角形全等即可求解． 【详解】（1）当，时，    设，代入， 解得：（舍去），， ，， 又， ，， ； （2）当，时，    过点作轴，垂足为， 由（1）得，，， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 又， ， ； （3）当，时，      设，代入，解得：（舍去），， ，， ， ， ， ； （4）当，时，    过点作轴，垂足为点， 由（3）得，， 在中，由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， 又， ， ， ， 综上所述，点A的坐标是或或或． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质以及二次函数图象和性质，由于全等三角形的对应顶点不明确，因此要注意分类讨论思想的运用． 4．（2025·重庆·模拟）如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质． (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2) 如图， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一）； (3)或． 【分析】本题是动点下的图象的面积问题，考查了三角形的面积公式，函数的图象与性质，写出函数表达式并画出函数图象是解题的关键． （）由速度与时间的关系表示出各线段，根据三角形面积公式即可得出答案； （）根据函数表达式画线即可画出图象，由图象的变化趋势即可得出性质； （）由函数图象的趋势即可得出答案． 【详解】（1）解：当点在上时，即， 则，， ∴； 当点在上时，即， 则， ∴， 综上可知：关于的函数表达式为； （2）解：列表： 描点， 连线 如图， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； （3）解：由图象可知：，， 解得：（负值已舍去），， ∴当时的取值范围或． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 系数a与图象性质辨析 题型02 函数点代入、求值 题型03 基础增减性判断 题型04 抛物线对称变换 B组 能力进阶 题型01 比较函数值大小 题型02 多条y=ax2图象对比分析 题型03 二次函数与一次函数综合 C组 思维拔高 题型 二次函数与平面几何综合 系数a与图象性质辨析题型01 1．（24-25九年级上·山西大同·联考）函数与的图象的关系是（    ） A．开口方向不同，顶点相同，对称轴相同 B．开口方向不同，顶点不同，对称轴相同 C．开口方向相同，顶点相同，对称轴相同 D．开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 2．二次函数的图象大致是（    ） A． B．   C．   D．   3．（25-26九年级上·江苏淮安·月考）函数与在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（   ）． A． B． C． D． 4．已知二次函数，则其图像的开口向______．（填“上”或“下”） 5．抛物线与的开口大小相等，开口方向相反，则______． 函数点代入、求值题型02 1．（24-25九年级上·河南周口·月考）如图，各抛物线所对应的函数解析式为：①；②；③；④，比较的大小，用“>”连接为（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·贵州·期中）若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，连接，若抛物线与线段恰有一个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·安徽阜阳·联考）已知点在抛物线上，则的值为___________． 5．二次函数的图象对称轴右侧上有两点，若，则______0． (填“＞”“＜”或“＝”) 基础增减性判断题型03 1．（24-25九年级上·浙江杭州·月考）已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数有最小值 B．函数图象开口向下 C．函数图象顶点坐标是 D．y随x增大而减小 3．当时，函数的最大值与最小值的和为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·广东珠海·期末）若二次函数的图象开口向下，则的取值范围是________． 5．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大． （1）k的值是_________． （2）若是此二次函数的图象上一点，且，则n的取值范围是_________． 抛物线对称变换题型04 1．在平面直角坐标系中，点，，由线段与抛物线的一段）组成的图形C，如图所示．若将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，则这样的点P的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线，三个顶点的坐标分别为，，．平移得到，当有两个顶点在抛物线上时，的长为________． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，，，． (1)写出A，B两点分别关于y轴的对称点，的坐标． (2)画出以O为顶点并过A和B两点的抛物线图象． 比较函数值大小题型01 1．已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．若点，是二次函数图象上的两点，则与的大小关系是______． 3．若，是二次函数的图象上的两点，则与的大小关系是_____ 4．已知，，三点都在二次函数的图象上，比较、、的大小：______．（用“＞”连接） 5．已知，两点在二次函数的图象上，且，则与的大小关系是_____． 多条y=ax2图象对比分析题型02 1．若二次函数的图象开口向上，则a的值为（    ） A．3 B． C． D． 2．已知二次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系为________ 3．（24-25九年级上·甘肃·期中）在同一坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为________”连接）． 4．（25-26九年级上·陕西西安·月考）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 5．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 二次函数与一次函数综合题型03 1．（24-25九年级上·福建泉州·月考）抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．轴 D．轴 2．已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 3．（2025·河南·模拟）如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东东营·模拟）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点、2、…）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点，则的值为________． 5．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）关于抛物线，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是；②当时，y随x的增大而减小；③抛物线的对称轴为直线；④当时，；⑤若、是该抛物线上两个不同的点，则．其中正确的说法有__________．（填序号） 二次函数与平面几何综合题型 1．二次函数y=x2的图象如图所示，点A0 位于坐标原点，A1，A2，A3，…，A2023在y轴的正半轴上，B1，B2，B3，…，B2023在二次函数y=x2第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2022B2023A2023都是等边三角形，则△A2022B2023A2023的周长是（    ） A．6069 B．6066 C．6063 D．6060 2．如图，正方形的顶点在抛物线的第一象限的图象上，若点的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线的长为______． 3．如图，在第一象限内作与轴的夹角为的射线，在射线上取一点，过点作轴于点．在抛物线上取一点，在轴上取一点，使得以为顶点的三角形与全等，则符合条件的点A的坐标是______．    4．（2025·重庆·模拟）如图，在矩形中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，点沿折线方向运动，点沿射线方向运动，当点追上点时，均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围． (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质． (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $