26.2.1 y=ax²的图象和性质（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础巩固到思维拔高再到中考衔接，覆盖二次函数图象性质的单一知识点到综合应用，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|函数图象、增减性、字母系数a等基础知识点|选择填空作图结合，如图象判断、对称轴与顶点坐标分析，夯实概念理解| |B组能力进阶|函数与一次函数、几何综合应用|多知识点综合题，如二次函数与直线交点面积计算，培养推理能力| |C组思维拔高|规律探究与动态问题|如等边三角形与抛物线结合的规律题，发展创新意识| |拓展链接中考|中考真题与模拟题|对接中考题型，如正方形与抛物线综合题，强化应用意识|

分层作业 26.2.1 的图象性质 目 录 A组 巩固过关 题型01的函数图象 题型02的增减性 题型03字母系数a的讨论问题 题型04的规律探究问题 题型05与一次函数的综合 题型06与几何的综合问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 的函数图象题型01 1．（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（    ） A．顶点坐标相同 B．对称轴相同 C．图象形状相同 D．最低点相同 2．（25-26九年级上·广东汕头·期末）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“”按成了“”，和原图象相比，发生改变的是（    ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 3．根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 4．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 5．画出下列函数的图象： (1)； (2) x … 0 1 2 3 … y … 27 12 3 0 3 12 27 … x … 0 1 2 3 … y … 0 … 的增减性 6．（2026·广东广州·二模）给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ）题型02 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 7．（25-26八年级下·广西南宁·期末）二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽蚌埠·二模）下列函数中，当时，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级下·吉林长春·期中）若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 字母系数a的讨论问题题型03 11．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 12．（25-26九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 13．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 14．（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 15．（25-26九年级上·河南郑州·期末）抛物线与抛物线相比开口小，那么________（请写出一个符合条件的a值）． 16．已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)当时， ． 的规律探究问题题型04 17．（23-24九年级下·四川宜宾·期末）二次函数的图像x如图所示，点位于坐标原点，点，，，…在y轴的正半轴上，点，，，…在二次函数位于第一象限的图像上，若，，，…都为等边三角形，则的边长为（   ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 18．（25-26八年级下·山东东营·期中）二次函数的函数图象如图，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，，都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为___． 与一次函数的综合题型05 19．如图，已知二次函数的图像和直线相交于、两点，且点的坐标是，点的坐标是． (1)________，并直接写出将二次函数的图像向左平移个单位长度所得的图像的函数表达式__________． (2)求的面积． (3)在二次函数的图像上是否存在点，使得的面积等于的面积，若存在，请求出所有符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 21．（2025·新疆昌吉·模拟预测）已知抛物线与直线都经过点． (1)求h，k的值； (2)如果一条过原点且对称轴是y轴的抛物线恰好经过点，请确定此抛物线的解析式． 与几何的综合问题题型06 22．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 23．已知点在抛物线上，则点的坐标为__________；若在轴上存在点，使是等腰三角形，请写出点的坐标__________． 24．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 25．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，抛物线的顶点为O，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），当为直角三角形时，，则的值是______．    26．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 27．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26九年级上·四川广元·期中）已知点，是函数的图象上的两点，且当时，有，则的取值范围是______ 30．（25-26九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是____． 31．如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 32．如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________. 33．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，为坐标原点，已知二次函数，四边形为矩形，，在抛物线上，当，运动时，点也在另一个二次函数图像上运动．设，则关于x的函数表达式为________ 34．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，四边形是边长为的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图象上，则a的值为（   ） A． B． C． D． 35．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 36．（25-26九年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，点是抛物线上位于第二象限的一动点，交抛物线于点．当点A在抛物线上运动的过程中，有以下结论：①；②；③的面积为定值；④直线必过一定点．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 37．（2026·浙江台州·二模）已知二次函数，当时，有，则下列说法：①当时，有最大值；②当时，有最大值．正确的判断是（    ） A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 38．（2026·江苏盐城·三模）小雨同学用计算机软件绘制函数的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于轴对称的图象，得到新的图象（如图所示）．若点 ，，，，，都在图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则…的值是（     ） A． B． C． D． 39．（2026·山东东营·模拟预测）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点（、2、…）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点，则的值为________． 39．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 40．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为______． 41．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其面积之比记为，则__________． 试卷第42页，共46页 21 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 26.2.1 的图象性质 目 录 A组 巩固过关 题型01的函数图象 题型02的增减性 题型03字母系数a的讨论问题 题型04的规律探究问题 题型05与一次函数的综合 题型06与几何的综合问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 的函数图象题型01 1.（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（    ） A．顶点坐标相同 B．对称轴相同 C．图象形状相同 D．最低点相同 【答案】C 【分析】本题考查了的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据的性质求解即可． 【详解】解：函数，，都是形式， 二次函数， 顶点坐标均为，对称轴均为y轴，最低点均为， 但a值分别为，1，2，不相等， ∴图象开口大小不同，形状不同， 故选：C． 2．（25-26九年级上·广东汕头·期末）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“”按成了“”，和原图象相比，发生改变的是（    ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二次函数中，系数决定抛物线的开口方向和大小；的符号改变时，开口方向改变，但不变则开口大小不变；对称轴和顶点坐标均不变. 【详解】解：∵原函数，，开口向上；新函数，，开口向下， ∴开口方向改变； ∵， ∴开口大小不变； ∵对称轴均为， ∴对称轴不变； ∵顶点坐标均为， ∴顶点坐标不变． 故选：B． 3．根据函数图象填空： （1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方； （2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点． 【答案】 轴（或直线） 下 下 高 【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空． 【详解】（1）抛物线属于型二次函数． 根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是． ．则抛物线开口向上．且． 仅当时． 当时．．抛物线上的点都在轴上方． （2）抛物线中． ．根据二次函数性质，抛物线开口向下． ． 仅当，即顶点处时． 除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点． 4．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图像，则阴影部分的面积是_____． 【答案】8 【分析】根据二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称，利用割补法将阴影部分面积转化为正方形面积的一半求解． 【详解】解：二次函数与 的图象关于轴对称，正方形关于轴对称， ∴图中阴影部分的面积是图中正方形面积的一半， ∴图中阴影部分的面积是． 5．画出下列函数的图象： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 27 12 3 0 3 12 27 … 在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数的图象，如图所示． （2）解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 0 … 在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数的图象，如图所示． 的增减性 6．（2026·广东广州·二模）给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ）题型02 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，逐个判断各函数在时的增减性即可得到答案. 【详解】解：①对于，是一次函数，，随增大而增大，当时符合条件； ②对于，是一次函数，，随增大而减小，不符合条件； ③对于，是反比例函数，，时随增大而减小，当时不符合条件； ④对于，是二次函数，开口向上，对称轴为，时随增大而增大，故当时符合条件； 因此符合条件的是①④，故选C. 7．（25-26八年级下·广西南宁·期末）二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． 8．（2026·安徽蚌埠·二模）下列函数中，当时，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数，一次函数，二次函数的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、因为，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； B、因为，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； C、因为，且对称轴为y轴，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； D、因为，则当时，的值随值的增大而减小，故本选项符合题意； 9．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所学不同函数的性质逐一判断即可得到结果． 【详解】解：选项A，是正比例函数， ∵比例系数， ∴随的增大而增大，符合题意； 选项B，是二次函数，开口向上，对称轴为轴， 当时，随增大而减小，不符合题意； 选项C，是一次函数， ∵一次项系数， ∴随的增大而减小，不符合题意； 选项D，是反比例函数， ∵， ∴在每个象限内随的增大而减小，且定义域不连续，不符合题意． 10．（25-26九年级下·吉林长春·期中）若点和点都在抛物线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 字母系数a的讨论问题题型03 11．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 12．（25-26九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数，一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题． 分别将，两点的横坐标代入，由图像知，时，，当时，，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：将代入中时，得 ， 将代入中时，得 ， 根据图像可知，时，，当时，， 则有： ， 解得：， ∴只有满足， 故选D． 13．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，分别对应与的函数图象，则，的大小关系______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图： 因为直线与两条抛物线的交点从上到下依次为，， 所以． 14．（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·河南郑州·期末）抛物线与抛物线相比开口小，那么________（请写出一个符合条件的a值）． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于抛物线，其开口大小由二次项系数的绝对值的大小决定，越大，抛物线的开口越小，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线与相比开口小， ∴， ∴可取， 故答案为：4（答案不唯一）． 16．已知抛物线经过点． (1)求a的值； (2)当时， ． 【答案】(1)3 (2)12 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求可得函数解析式，再把代入解析式中求出此时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 当时，． 的规律探究问题题型04 17．（23-24九年级下·四川宜宾·期末）二次函数的图像x如图所示，点位于坐标原点，点，，，…在y轴的正半轴上，点，，，…在二次函数位于第一象限的图像上，若，，，…都为等边三角形，则的边长为（   ） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 【答案】C 【分析】先计算出；；的边长，推理出等边的边长为n的规律，依据规律得到的边长． 【详解】解：作轴于，轴于，轴于． 设，，． ∵等边， ∴， ∴， ∴点坐标为，代入解析式得， 解得（舍去）或，于是等边的边长为； ∵等边， ∴， 所以，点坐标为，代入解析式得， 解得（舍去）或， 于是等边的边长为； ∵等边， ∴， 所以，点坐标为，代入解析式得， 解得（舍去）或， 于是等边的边长为． … 等边的边长为n， 于是的边长为2008． 18．（25-26八年级下·山东东营·期中）二次函数的函数图象如图，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，，都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则的斜边长为___． 【答案】8 【分析】过点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，，分别写出直线、直线、直线的解析式，将它们分别与联立，求得点，，的坐标，从而可得，，，发现规律后，按照规律即可求得的斜边长． 【详解】解：如图所示，过点，，分别作轴的垂线，垂足分别为，，， ，，都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形， ， 所在直线的解析式为：， 由，得， ， ， 直线为：， 由，得， ， ， 直线为：， 由，得， ， ， 由上面，，，可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次加， ∴的斜边长为． 与一次函数的综合题型05 19．如图，已知二次函数的图像和直线相交于、两点，且点的坐标是，点的坐标是． (1)________，并直接写出将二次函数的图像向左平移个单位长度所得的图像的函数表达式__________． (2)求的面积． (3)在二次函数的图像上是否存在点，使得的面积等于的面积，若存在，请求出所有符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质、三角形面积的计算，掌握相关知识是解题的关键． （1）将代入二次函数即可求出，根据二次函数的图像性质即可得出平移后的图像的函数表达式； （2）设直线的解析式为，将和代入即可求出解析式，再求出交点C坐标，根据即可求解； （3）设，根据面积等于的面积为求出，再代入抛物线求解即可． 【详解】（1）解：代入二次函数得， 解得， 向左平移个单位长度所得的图像的函数表达式为：； （2）设直线的解析式为， 将和代入直线的解析式得， 解得， 直线的解析式为， 联立直线与抛物线得， 解得， 交点C坐标为， ； （3）设，要求面积等于的面积为， 得， 解得：，， 代入抛物线得， 点的坐标为或． 20．（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 【答案】(1)，． (2)当时，二次函数的函数值随的增大而增大． (3)点的坐标为． 【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）联立两函数解析式，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴，即， 把点A的坐标代入得， ∴； （2）解：由（1）得二次函数的解析式为， ∴对称轴为y轴，函数图象开口向下， ∴当时，二次函数的函数值随的增大而增大； （3）解：联立，解得或， ∴点B的坐标为． 21．（2025·新疆昌吉·模拟预测）已知抛物线与直线都经过点． (1)求h，k的值； (2)如果一条过原点且对称轴是y轴的抛物线恰好经过点，请确定此抛物线的解析式． 【答案】(1) (2)抛物线解析式为 【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出，再把代入，进行求解出，即可作答． （2）理解题意，此抛物线的解析式为，则把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线都经过点， ∴， 把代入， 得， ∴， （2）解：依题意，设此抛物线的解析式为， 由（1）得， ∵抛物线恰好经过点， ∴抛物线恰好经过点， ∴， 解得． ∴． 与几何的综合问题题型06 22．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 23．已知点在抛物线上，则点的坐标为__________；若在轴上存在点，使是等腰三角形，请写出点的坐标__________． 【答案】 或或或 【分析】将代入求出点的坐标；根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，然后分别根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴ ∴点的坐标为； ∵是等腰三角形， ∴如图，当时， ∵ ∴； 当时， ∴ ∴； 当或时， ∵ ∴ ∴ ∴， 综上所述，点的坐标为或或或． 24．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． (1)求二次函数的解析式； (2)为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、函数与直线的交点坐标计算，以及等边三角形的性质，熟练结合函数与几何图形的性质是解题关键． （1）利用二次函数图象上点的坐标特征，代入已知点坐标求出函数解析式； （2）先结合直线方程与二次函数解析式求出交点坐标，再根据等边三角形的中线、高的性质，计算出顶点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：将代入， 解得：，， 点、的坐标分别为，， ，， 是等边三角形， 易得点在轴上，且， 轴， ， ， 点的坐标为， 点的坐标为或． 25．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，抛物线的顶点为O，平行于轴的直线与该抛物线交于点，（点在点左侧），当为直角三角形时，，则的值是______．    【答案】 【分析】本题考查抛物线的性质以及直角三角形的性质． 先根据抛物线的对称性得出，两点关于轴对称，，进而得到直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出点坐标，将坐标代入即可求出． 【详解】解：如图，   抛物线的对称轴为轴，且轴， , 为直角三角形， 是等腰直角三角形， 关于轴对称， 点和点到的距离相等， ， ， 点的横坐标为， 是等腰直角三角形， ， ， 点纵坐标为，即， 将代入得，． 故答案为：． 26．（25-26九年级上·上海奉贤·期末）已知抛物线经过两个不同的点和，那么的值是（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像的性质，根据抛物线关于轴对称的性质，由于点和点的纵坐标相同，因此它们的横坐标互为相反数，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为轴，且点和的纵坐标均为， 点和点关于轴对称， ， 故选：B． 27．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 28．（25-26九年级上·安徽蚌埠·期末）如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是将图像上的点代入求解． 根据该函数图像可知，该二次函数的顶点为，则可设该函数解析式为，将点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：由函数图像可知，该二次函数的顶点为， 设该函数解析式为， ∵当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为． 则点， 将点代入可得，， 解得， ∴抛物线的表达式为． 故选：A ． 29．（25-26九年级上·四川广元·期中）已知点，是函数的图象上的两点，且当时，有，则的取值范围是______ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由函数形式可知其为二次函数，根据当时，有，判断函数在时递减，故，解不等式可得的取值范围． 【详解】解：当时， 可得：， 无论为何值，均有， 不符合题意； 当时，函数是二次函数， 其图象为抛物线， 当时，有， ， 解得：． 故答案为：． 30．（25-26九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是____． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 分别把、点的坐标代入得的临界值，根据二次函数的性质可得到的取值范围． 【详解】解：因为抛物线与线段有公共点，则抛物线开口必须向上， 的顶点坐标为，对称轴为轴， 把代入解析式，得，解得， 把代入解析式，得，解得， 因为抛物线与线段有公共点， 则 故答案为：． 31．如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先根据二次函数的解析式求出，，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求，利用待定系数法求出直线的解析式，则可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得最小值． 【详解】（1）解：将代入得：， ∴， 将代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：将代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为， ∴与轴的交点即为所求， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为， 综上，此时点的坐标为，的最小值为． 32．如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________. 【答案】 【分析】本题考查图形的平移、二次函数的图象性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，得到点、的坐标，根据抛物线，求得、的值，进而求出点到点的距离即可． 【详解】解：设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位， 则点、， 由于点、都在抛物线上， 则， 解得， 将代入得：， ∴， 故答案为：． 33．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，平面直角坐标系中，为坐标原点，已知二次函数，四边形为矩形，，在抛物线上，当，运动时，点也在另一个二次函数图像上运动．设，则关于x的函数表达式为________ 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，矩形的性质，中点公式，勾股定理，解题的关键是根据四边形是矩形列出关于m，n，x，y的方程组． 过A作轴于D，过B作轴于E，连接、，设，，又，根据四边形是矩形，可得，即可解得． 【详解】解：如图，过A作轴于D，过B作轴于E，连接、， ∵，在抛物线上， 设，， ∵四边形是矩形， ∴与中点重合，， 而， ∴， 整理得 ∴ 整理得：， 解得：或， 又∵， ∴， ∴ ∴， 当时，则（舍去） 当时，则， 故答案为：． 34．（25-26九年级上·广东潮州·期中）如图，四边形是边长为的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图象上，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据正方形的对角线平分一组对角线可得，过点B作轴于D，然后求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再利用勾股定理列式求出，从而得到点B的坐标，再把点B的坐标代入抛物线解析式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， 过点B作轴于D， ∵与x轴正半轴的夹角为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在抛物线的图象上， ∴， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了正方形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记正方形性质并求出与x轴的夹角为，然后求出点B的坐标是解题的关键． 35．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、图形的旋转变换，解题的关键是利用旋转的坐标变化规律确定线段的位置，再结合抛物线解析式求交点坐标． 1． 代入点坐标求出抛物线解析式； 2． 根据旋转规则确定点的坐标，得到的纵坐标； 3． 将的纵坐标代入抛物线解析式，求出点的横坐标，得到点坐标． 【详解】解：将代入， 得， 解得， 故抛物线解析式为． 绕点顺时针旋转得到， 则旋转后对应 且， 故的纵坐标为． 点在上，故其纵坐标为； 将代入抛物线，得（舍去负根，因在第一象限）， 旋转后对应， 故是从到的线段， 纵坐标恒为． 代入得（舍去）， 故． 故选：C． 36．（25-26九年级上·安徽滁州·阶段检测）如图，点是抛物线上位于第二象限的一动点，交抛物线于点．当点A在抛物线上运动的过程中，有以下结论：①；②；③的面积为定值；④直线必过一定点．其中正确的结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合，勾股定理，正确的计算是解题的关键． 由点的坐标，根据勾股定理可得②正确，进而可以判断①，由，在抛物线上，得到，结合直线解析式可得，进而判断④，根据割补法进行列式计算，即可判断③． 【详解】解：， ∴ 则， ， 即 ， 即， 故①正确， ，在抛物线上 ， ∵， ， ， 故②正确， ，在抛物线上， ， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得， ， ， 当时，则， 直线必过一定点， 故④正确， 分别过点作轴，作轴， ∴ ∵都是会变化的， 故不为定值， 故③不正确． 故选B 37．（2026·浙江台州·二模）已知二次函数，当时，有，则下列说法：①当时，有最大值；②当时，有最大值．正确的判断是（    ） A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误 【答案】B 【分析】是开口向上，对称轴为轴，最小值为的二次函数，根据区间位置分类讨论，分别判断两个说法的正误即可． 【详解】解：开口向上，对称轴为，时随增大而减小，时随增大而增大． ①当， 若包含原点， 则的最小值， 得， 对应范围为， 此时． 若不包含原点，全在侧， 则，， 可得， 即， 得． 全在侧，同理可得． 因此最大值为，存在最大值， 故①正确. ②当，即， 若全在侧， 则. 可取任意大的正数， 随增大无限增大，不存在最大值， 故没有最大值， ②错误． 综上，①正确②错误． 38．（2026·江苏盐城·三模）小雨同学用计算机软件绘制函数的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于轴对称的图象，得到新的图象（如图所示）．若点 ，，，，，都在图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则…的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图象可得，函数图象关于点中心对称，结合题意可得，求出，，即可得解． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵将对称轴左侧的图象作关于轴对称， ∴图象关于点中心对称， ∵这20个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴，，……，， ∴， ∵，， ∴当时，，当时，， ∴． 39．（2026·山东东营·模拟预测）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点（、2、…）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点，则的值为________． 【答案】 【分析】根据点的坐标确定和的横坐标，代入函数解析式求出纵坐标，进而表示出线段的长度． 【详解】解：点的坐标为，且轴， 点和的横坐标均为， 点在抛物线上，点在直线上， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ， ． 39．（2024·广东·中考真题）若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 40．（2025·山东东营·中考真题）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点，，…，在y轴的正半轴上，点，，…，，点，，…，在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质、正方形的性质及利用抛物线解析式求直角边长，找到规律是解题的关键． 根据正方形性质得和是等腰直角三角形．设的直角边长为，则，代入抛物线的解析式中解得，则的直角边长为，同理可求得等腰直角的直角边长为，依此类推，等腰直角的直角边长为，即可求得其周长． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，是等腰直角三角形． 设的直角边长为，则； 代入抛物线的解析式中得： ， 解得（舍去），； 故的直角边长为， 同理可求得等腰直角的直角边长为， … 依此类推，等腰直角的直角边长为， 故正方形的周长为． 故答案是：． 41．（2024·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点，连接，相交于点，得和，若将其面积之比记为，则__________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，根据题意，易证，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵作直线与轴相交于点，与抛物线相交于点， ∴轴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 试卷第42页，共46页 21 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 26.2.1y=x的图象性质 A组 巩固过关 颗型01 y=ax的函数图象 1.c 2.B 3.'轴（或直线=0） (0,0) ≠0 下 下 高 4.8 5.【详解】(1)解：列表： 3 0 1 2 3 27 12 3 0 3 2 27 在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数的图象，如图所示. (2)解：列表： 3 -2 0 -3 4 0 -3 3 3 在平面直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连接各点， 得到函数的图象，如图所示 题型02 y=ax 的增减性 6.C 7.D 8.D 9.A 10.A 1/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型03 y=ax" 字母系数a的讨论问题 11.A 12.D 13.a>b 14.a<0 15.4(答案不唯一) 16.【详解】（①解：：抛物线=a经过点L3), ∴.3=a12, a=3: (2)解：由(1)得抛物线的解析式为 =3x2 当x=-2时， y=3×(-2)2=3×4=12 颗型04 y=ax 的规律探究问题 17.C 18.8 题型05 y=ax与一次函数的综合 19.【详解】(1)解： B(1,1 代入二次函数y=r(a>0)得l=ax, 解得a=1, 向左平移2个单位长度所得的图像的函数表达式为：)=(x+2 (2)设直线B的解析式为'=c+b(k≠0) [0=k×2+b 将A(2,0)和B(,1)代入直线AB的解析式得1=k×1+b, 2/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 k=-1 解得b=2, 直线AB的解析式为y=-x+2, y=-x+2 联立直线AB与抛物线y=x2得y=x2, x=14=1 解得x2=-2,2=4, （-2,4) ·交点C坐标为 Sm=SA0c-5A0B-7x2x4-)×2x1=3, 1 2 2 （3)设D(x,r),要求△0AD面积等于△0BC的面积为3， 得22×r2=3 解得：V5 x2=-V3 4=3 代入抛物线y=x2得y2=3, ∴点D的坐标为5，)或5,3) 20.【详解】(1)解：在y=2x-3中，当x=1时，y=2×1-3=-1, 4,-）,即b=-1, 把点A的坐标代入y=ar(a≠0)得1=aP, .a=-1: (2)解：由(1)得二次函数的解析式为=-， .对称轴为y轴，函数图象开口向下， 3/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当t<0 时，二次函数=-r 的函数值随的增大而增大： y=-x2 x=-3「x=1 (3)解：联立y=2x-3,解得y=-9或y=-1, ∴点B的坐标为 （-3,9) 21.【详解】(1解：：抛物线"=-X与直线'=3x+h都经过点) k=-12=-1, 把-代入=3+h, 得-1=3×1+h, ∴.h=-4, y=ax2 (2)解：依题意，设此抛物线的解析式为 由(1)得h=-4,k=-1, h,k) ·抛物线恰好经过点 抛物线恰好经过点4-) -1=ax(-4) 解得a、1 16 1 16 题型06 y=ax与几何的综合问题 22.A 23.(4,1） (L,0)或2.0)或2,0）或2,0 419 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.【详解】(1)解：·二次函数 =ax2(a≠0) 的图象经过点(44) .4=a(-4)}2 1 解得：a=4 小二次正数偷解析式为女， (2)解：将y=1代入y= =2x2=-2 解得： 点M、N的坐标分别为2，别(2，)」 .MN=2-(-2)=4FM=FN=2 :△PMN是等边三角形， ∴.易得点P在y轴上，且PM=4, MN∥x轴， ∠PFM=90°， .PF=V42-22=25 “点F的坐标为 0,1) 点P的坐标为(0,1+2v5)威0,1-2列 25.【详解】解：如图， A B 抛物线 的对称轴为轴，且 轴， y=ax2 y ABIx ..OA=OB :△AOB为直角三角形， 5/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△AOB是等腰直角三角形， △AOB关于y轴对称 ∴A点和B点到V的距离相等， AB=4, .AC=2, .A点的横坐标为-2， :△AOB是等腰直角三角形， .∠0AB=45°， .AC=OC=2. 4点纵坐标为2，即1(-2,2) 将A(-22)代入y=r得，a 2 故答案为：2. B组 能力进阶 26.B 27.D 28. 【详解】解：由函数图像可知，该二次函数的顶点为0,0）， 设该函数解析式为'=ar(a≠0) ,当水面宽为12m时，桥洞顶部离水面的距离为4m. 则点8(64) 将点8(64 代入可得，-4=a×6」 1 解得a= 9 ∴抛物线的表达式为y= 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：A. 29.m<3 3引.【详解】（①解：将x=-2代入=得：y=×(2=1, 4 :4-2) 1 1 将x=4代入y=4得：y=4×4=4, 4 .B(4,4) 设直线4B的函数解析式为'=红+b(k≠0) 1 k= 将点 -2,1)'84,4)代入得： (-2k+b=1, 解得 4k+b=4 b=2 ·直线4B的函数解析式为y 2r+2 (2)解：将x=0代入y=2+2得：y=2, :c0,2) 如图，作点C关于轴的对称点C(0,-2）,还接4C,交x轴于点P, 7 C 由轴对称的性质得：PC'=PC, .PA+PC=PA+PC', 由两点之间线段最短可知，当点A,P,C共线时，PA+PC'的值最小，即PA+PC的值最小，最小值为 7/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4C'=V(-2-0)2+(1+2)2=3」 ∴.AC与x轴的交点P即为所求， 设直线1C'的函数解析式为'=mx+n(m≠0)， -2m+n=1 /m、3 2 将点A(-2,)C(0,-2)代入得：n=-2，解得n=-2, 3 ·直线AC的函数解析式为y= 22 将y=0代入y=-2-2得： 3 2-2=0,解得x=-4 3 3 ∴.此时点P的坐标为 0 综上，此时点P的坐标为 3 PA+PC的最小值为V3 C组 思维拔高 32.26 33.y=2x2+1 34.A 35.C 36.B 37.B 38.D 2025 39.2026 8/9 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接中考 39.A. 40. 42n 20244 41 20254 919