3.3幂函数课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦幂函数，通过买蔬菜付款、正方形面积等五个生活实例导入，衔接前序函数概念与单调性、奇偶性等性质，以“概念工具应用于新函数”为支架，引导学生构建知识体系。 其亮点在于以数学眼光抽象实例共性得定义，通过“三看”判断法（底数、系数、项数）培养严谨思维，结合图象与性质表对比分析五个基本幂函数，用分子有理化证明单调性等体现数学语言表达。学生能深化概念理解与方法迁移，教师可依托系统案例与分层作业提升教学效率。

3.3　幂函数 用函数的概念与性质，研究一类新的函数 人教A版必修第一册　·　第三章　函数的概念与性质 1 这一节在哪里 3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性质（单调性、最值、奇偶性） 3.3 幂函数 3.4 函数的应用（一） 前面学了函数的概念与三个性质，这一节把这套工具用到一类新函数上。 2 学习目标 1．通过五个实例说出幂函数的定义，会用“底数是 x、系数为 1、只有一项”三条判断。 2．在同一坐标系中画出五个基本幂函数的图象，填出性质表。 3．说出四条共同特征，会举反例说明“都过 (0，0)”“不过第二象限”是错的。 4．会用待定系数法由一个点求解析式，会用幂函数的单调性比较大小。 5．会用定义（分子有理化）证明 f(x)= 是增函数。 3 导入　五个实例 问 把下面五件事的函数解析式写出来：①1 元/kg 买 w kg 蔬菜要付 p 元；②边长 a 的正方形面积 S；③棱长 b 的立方体体积 V；④面积 S 的正方形边长 c；⑤t 秒行进 1 km 的平均速度 v。 答　① p＝w　　② S＝a2　　③ V＝b3 ④ c＝，也可以写成 c＝ ⑤ v＝ km/s，也可以写成 v＝t－1 4 它们有什么共同特征 问 观察 p＝w，S＝a2，V＝b3，c＝ ，v＝t－1 这五个解析式。 答　都具有幂的形式； 都以幂的底数为自变量； 幂的指数都是常数，分别是 1，2，3，，－1。 它们都是形如 y＝xα 的函数。 5 幂函数的定义 一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中 x 是自变量，α 是常数。 指数 α 可以取任意实数。教材说明：幂的指数除了整数之外还可以取其他实数，那时幂也有各自的含义，后面学习。 本节只研究 α＝1，2，3，，－1 这五种情形的图象与性质。 6 判断幂函数：三看 底数 系数 项数 　　底数是 x 本身　　　　　　　系数是 1　　　　　　　　只有一项 　　（不能是 2x、x＋1）　　　（不能是 2x5）　　　　（不能是 x6＋6） 三条同时满足才是幂函数，缺一条都不是。 7 辨一辨 问 下列函数中，属于幂函数的是（　）　 A．y＝(2x)2　　B．y＝　　C．y＝　　D．y＝2ˣ 答　选 B。 A 化简为 y＝4x2，系数不是 1； C 的系数是 －1； D 的自变量在指数位置，是下一章要学的指数函数。 B 就是 y＝，底数是 x、系数为 1、只有一项。 8 该怎么研究这五个函数？ 先求定义域，画出图象；再利用图象和解析式，讨论值域、单调性、奇偶性。 这条路子，第四章研究指数函数、对数函数时还要照搬一遍。 9 在同一坐标系中画出五个图象 x y O 1 1 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 画之前先写定义域：y＝ 只有 y 轴右边；y＝x－1 在原点处断开，两支分别在第一、三象限。 10 性质表（一）　定义域与值域 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x｜x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y｜y≠0} 两个要盯的地方：y＝ 的定义域不是 R；y＝x－1 的定义域与值域都要挖掉 0。 11 性质表（二）　奇偶性与单调性 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性： 　y＝x、y＝x3 在 R 上单调递增； 　y＝x2 在 [0，＋∞) 上递增、在 (－∞，0] 上递减； 　y＝ 在 [0，＋∞) 上单调递增； 　y＝x－1 在 (0，＋∞) 上递减、在 (－∞，0) 上递减（两段不能合并）。 12 四条共同特征 教材第 90 页 （1）五个函数的图象都通过点 (1，1)； （2）y＝x，y＝x3，y＝x－1 是奇函数，y＝x2 是偶函数； （3）在区间 (0，＋∞) 上，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ 单调递增，y＝x－1 单调递减； （4）在第一象限内，y＝x－1 的图象向上与 y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近。 第（1）条最有用：1 的任何次幂都是 1，所以所有幂函数的图象都过 (1，1)。 13 辨一辨（一） 问 “幂函数的图象都过 (0，0)”，这句话对吗？ 答　不对。反例：y＝x－1，x＝0 时没有意义，图象不过原点。 都过的是 (1，1)，不是 (0，0)。 14 辨一辨（二） 问 “幂函数的图象都不过第二、四象限”，这句话对吗？ 答　不全对。y＝x2 的图象在第二象限就有一支。 正确的说法是：幂函数的图象都不过第四象限——因为 x＞0 时 x 的任何次幂都为正。 15 辨一辨（三） 问 “图象关于原点对称的幂函数，一定是增函数”，这句话对吗？ 答　不对。反例：y＝x－1 是奇函数，图象关于原点对称， 但它在 (0，＋∞) 上单调递减，在整个定义域上更谈不上单调。 奇偶性说的是对称，单调性说的是升降，两件事。 16 例 教材第 90 页 问 证明幂函数 f(x)＝ 是增函数。 起笔　定义域是 [0，＋∞)。任取 x1，x2∈[0，＋∞)，且 x1＜x2，作差得 　f(x1)－f(x2)＝－。 这个差的符号看得出来吗？看不出来。3.2 学的通分、提公因式都用不上。 17 例（续）　分子有理化 乘一个共轭式，把根号从分子搬到分母去： 定号　因为 x1－x2＜0， +＞0（x1，x2 不同时为 0）， 所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)。 所以幂函数 f(x)＝ 是增函数。 18 作差变形的三招 通分 分式型：把两个分式合成一个，分子里自然出现 x1－x2。 提公因式 整式型：x12－x22＝(x1＋x2)(x1－x2)，符号一眼可判。 分子有理化 带根号型：乘共轭式，把根号从分子搬到分母，分子变成 x1－x2。 目标只有一个：把差化成符号可以判断的乘积或商。 19 练习1 教材第 91 页 问 已知幂函数 y＝f(x) 的图象过点 (2，)，求这个函数的解析式。 解　设 f(x)＝xα（幂函数的系数就是 1，不要设成 kxα）。 由 f(2)＝2α＝ ＝，得 α＝。 所以 f(x)＝ ＝ 。 20 练习2 教材第 91 页 问 比较大小：（1）(－1.5)3 与 (－1.4)3；（2）与 。 解　（1）y＝x3 在 R 上单调递增，－1.5＜－1.4，所以 (－1.5)3＜(－1.4)3。 （2）这两个数是 y＝x－1 在 －1.5 与 －1.4 处的函数值。 　　该函数在 (－∞，0) 上单调递减，两个自变量都在这一段上，所以 ＞ 。 用单调性之前，先确认两个自变量落在同一个单调区间内。 21 比较大小：三条路 指数相同 → 比底数。 　用幂函数 y＝xα 的单调性，如 与 。 底数相同 → 比指数。 　用下一章的指数函数，如 与 。 都不同 → 先化成同指数或同底数。 　如 ＝＝；化不动就借中间量 0 和 1。 22 ★拔高探究（优生班） 问 已知幂函数 f(x)＝(a2－a－1)xa 是偶函数，解不等式 f(x＋1)＞f(2x－1)。 解　第一步：由是幂函数得 a2－a－1＝1，即 a2－a－2＝0，解得 a＝－1 或 a＝2。 第二步：a＝－1 时 f(x)＝x－1 是奇函数，舍去；a＝2 时 f(x)＝x2 是偶函数，符合。 第三步：f(x)＝x2 是偶函数且在 [0，＋∞) 上递增，原式 ⇔ ｜x＋1｜＞｜2x－1｜。 　　两边平方：x2＋2x＋1＞4x2－4x＋1，整理得 x2－2x＜0。 所以解集为 (0，2)。（普通班改做：f(x)＝x3 且 f(a＋2)＜f(2a)，求 a 的范围。） 23 当堂检测（一） 1．下列函数中属于幂函数的是（　　） 　A．y＝(2x)2　　B．y＝　　C．y＝　　D．y＝2ˣ 2．已知幂函数 y＝f(x) 的图象经过点 (4，1/4)，则 f(2)＝（　　） 　A．　　B．2　　C．　　D． 答案　B。三看：底数是 x、系数为 1、只有一项。A 展开后系数是 4，C 的系数是 －1，D 是指数函数。 答案　A。设 f(x)＝xα，由 4α＝ 得 22α＝2－2，α＝－1，所以 f(2)＝ 。 24 当堂检测（二） 3．函数 y＝x－1 的单调区间是＿＿＿＿＿＿＿＿。 4．判断正误： （1）幂函数的图象必过 (0，0) 和 (1，1)； （2）幂函数的图象都不过第二、四象限。 答案　(0，＋∞) 和 (－∞，0)。两段之间不能用并集符号连接。 答案　（1）错误——y＝x－1 的图象不过 (0，0)，都过的是 (1，1)； （2）错误——y＝x2 的图象过第二象限，正确的说法是都不过第四象限。 25 本课小结 1．幂函数：y＝xα。判断三看——底数是 x、系数为 1、只有一项。 2．研究路径：定义域 → 图象 → 值域、单调性、奇偶性。 3．五个基本幂函数的图象都过 (1，1)，都不过第四象限。 4．在 (0，＋∞) 上，只有 y＝x－1 是减函数。 5．作差变形三招：通分、提公因式、分子有理化。 26 易错提醒 1．把 y＝(2x)3、y＝2x5、y＝x6＋6 当成幂函数。 　展开看系数，数一数项数。 2．说“幂函数的图象都过 (0，0)”。 　都过的是 (1，1)。 3．把 y＝x－1 的两段减区间合并。 　要写成 (0，＋∞) 和 (－∞，0)。 4．含参题只解指数、漏了系数条件。 　第一步永远是让系数等于 1，解出候选值再筛选。 27 课时作业 A 组（全体必做）：8 题——幂函数的判断 1 道、待定系数求值 2 道、单调性选择 1 道、脱 f 解不等式 1 道、判断题 1 道（4 小题）、概念填空 1 道、解答题 1 道（求解析式并判断奇偶性）。 B 组★（优生班必做、普通班选做）：3 题——化同指数比较大小、含参幂函数由单调性求参数、偶函数型幂函数不等式。 书写要求：含参题先用“是幂函数”把系数配成 1，解出全部候选值，再用其他条件筛选，两步都要写。 预习：教材第 92 页“文献阅读与数学写作”，探究 y＝x＋ 的图象与性质。下一节 3.4 函数的应用（一）。 28 定义域　→　图象　→　值域、单调性、奇偶性 这条路子，下一章研究指数函数、对数函数时还要走一遍 下一节　3.4　函数的应用（一） 29 $