3.3幂函数第三课时课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦根式函数单调性的证明，以“图象观察到逻辑证明”为导入，通过旧知“单调性证明四步”搭建支架，衔接新知“根式有理化”，形成从定义到应用的完整知识脉络。 其亮点在于以数学思维和数学语言为核心，通过√x证明中有理化转化（分子平方差、分母为正）培养推理能力，易错辨析强调单调区间确认等规范表达，帮助学生提升逻辑推理与严谨性，为教师提供清晰教学流程和重难点指导。

第三章 · 函数的概念与性质 3.3 幂函数 第三课时｜证明根式函数的单调性 人教 A 版 · 必修第一册 · 教材第 90—91 页 本课用定义证明根式函数递增，并完成教材练习1、2。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第90—91页3.3幂函数例题与练习（本地PDF第97—98页）。 [/Sources] 学习任务 图象告诉我们递增，怎样把它证明出来？ 02 会按定义取值、作差并判断差的符号。 能处理两个根式之差的有理化。 能利用幂函数单调性比较大小。 图象告诉我们递增，怎样把它证明出来？ [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第90—91页3.3幂函数例题与练习（本地PDF第97—98页）。 [/Sources] 旧知回顾 证明单调性，仍沿用已经学过的四步 03 取值：在给定区间内任取x₁<x₂。 作差：计算f(x₁)−f(x₂)。 判号并下结论：差小于0，所以函数递增。 证明单调性，仍沿用已经学过的四步 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第90—91页3.3幂函数例题与练习（本地PDF第97—98页）。 [/Sources] 教材例题 例：证明根式幂函数是增函数 04 第一步先写定义域：[0，+∞)。 证明目标：x₁<x₂时，要推出f(x₁)<f(x₂)。 教材第90页例题。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第90—91页3.3幂函数例题与练习（本地PDF第97—98页）。 [/Sources] 取值 任取两点时，定义域条件不能丢 05 x₁、x₂都在[0，+∞)内，因此两个根式都有意义。 同时保留x₁<x₂，后面才能判断分子的符号。 取值步骤及定义域条件。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第90—91页3.3幂函数例题与练习（本地PDF第97—98页）。 [/Sources] 作差 根式之差不能直接判号，先考虑有理化 06 乘以并除以两个根式的和。 目的：利用平方差把根式之差化为x₁−x₂。 作差后设计有理化。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第90—91页3.3幂函数例题与练习（本地PDF第97—98页）。 [/Sources] 有理化 分子用平方差展开，分母保持为正 07 分母是两个非负根式的和。 由于x₁<x₂，二者不可能同时为0，所以分母大于0。 完整分式保持上下结构，根线覆盖下标变量。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第90—91页3.3幂函数例题与练习（本地PDF第97—98页）。 [/Sources] 判号 分子为负、分母为正，差小于0 08 x₁−x₂<0；根式之和>0。 判号并得到函数值大小关系。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第90—91页3.3幂函数例题与练习（本地PDF第97—98页）。 [/Sources] 完成证明 结论必须回扣定义域与任意性 09 对任意0≤x₁<x₂，都有f(x₁)<f(x₂)。 因此函数在[0，+∞)上单调递增。 不能只写“增函数”而省略它的定义域。 结论必须回扣定义域与任意性 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第90—91页3.3幂函数例题与练习（本地PDF第97—98页）。 [/Sources] 教材练习 练习1：图象过一点，先代入幂函数结构 10 设幂函数为f(x)=xᵅ。 教材第91页练习1。指数由同底数幂相等确定。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第90—91页3.3幂函数例题与练习（本地PDF第97—98页）。 [/Sources] 方法形成 比较幂函数值，先认函数，再看单调区间 11 两数能否看成同一个幂函数的函数值？ 两个底数是否落在同一个单调区间？ 按底数大小和单调方向写出结论。 比较幂函数值，先认函数，再看单调区间 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第90—91页3.3幂函数例题与练习（本地PDF第97—98页）。 [/Sources] 教材练习 练习2（1）：三次幂在R上递增 12 −1.5<−1.4，且y=x³在R上单调递增。 函数递增：底数小，函数值也小。 教材第91页练习2第1问。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第90—91页3.3幂函数例题与练习（本地PDF第97—98页）。 [/Sources] 教材练习 练习2（2）：负一次幂在正半轴递减 13 0<1.4<1.5，两个底数都在（0，+∞）内。 y=x的负一次幂在（0，+∞）上单调递减。 教材第91页练习2第2问。屏幕公式使用指数形式，不以斜杠表示分式。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第90—91页3.3幂函数例题与练习（本地PDF第97—98页）。 [/Sources] 易错辨析 易错检查：这三处条件最容易漏 14 有理化的分母必须说明大于0。 使用单调性前必须确认两个底数位于同一单调区间。 比较负一次幂时，不能把“递减”误判为“底数大、函数值大”。 易错检查：这三处条件最容易漏 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第90—91页3.3幂函数例题与练习（本地PDF第97—98页）。 [/Sources] 课堂小结 证明与比较，其实都在使用单调性定义 15 根式之差通过有理化转化为易判号的分式。 定义证明要写清取值范围、大小关系与任意性。 比较大小要同时核对函数、区间和单调方向。 证明与比较，其实都在使用单调性定义 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第90—91页3.3幂函数例题与练习（本地PDF第97—98页）。 [/Sources] 课后作业 课后作业：把证明步骤写完整 16 必做：整理教材第90—91页例题的完整证明。 完成教材第91页练习第3题：讨论x³的单调性与奇偶性。 预习：教材第91页习题3.3第1题。 本页不设置动画。 [Sources] - 人民教育出版社《普通高中教科书 数学 必修 第一册（A版）》第90—91页3.3幂函数例题与练习（本地PDF第97—98页）。 [/Sources] $