第12章 全等三角形 综合复习课件 2026--2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件系统梳理了全等三角形的核心知识，包括命题与证明、全等判定（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）、等腰三角形性质与判定、逆命题和逆定理等内容，通过知识框架图将各知识点逻辑串联，构建完整的知识网络。 其亮点在于采用“基础巩固-综合提升”分层设计，如通过“测池塘距离”实例培养数学眼光，用动点问题训练推理能力，结合角平分线、垂直平分线性质提升模型意识，有效帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情提升复习效率。

第十二章 全等三角形 章综合复习 华东师大版数学八年级上册 全等三角形 命题、定义、定理与证明 逆命题和逆定理 线段垂直平分线 边角边(SAS) 角边角(ASA) 边边边(SSS) 互逆命题和互逆定理 性质定理及其逆定理 全等三角形的判定 等腰三角形 角平分线 斜边直角边(HL) 命题 定理与证明 条件与证明 角角边(AAS) 性质 判定 等腰三角形的性质 等边三角形的性质 等腰三角形的判定 等边三角形的判定 性质定理及其逆定理 等边对等角 三线合一 等角对等边 本章知识结构 注意：判断就是要作出肯定或否定的回答,如“连结A,B两点.”就不是命题. 判断某一件事情的语句，即表示判断的语句叫做命题. 命题的概念 命题、定义、定理与证明 命题的组成 对于“如果……，那么……”形式的命题，通常把“如果”开始的部分称为条件，把“那么”开始的部分称为结论. 知识要点提炼 如果一个命题是正确的，就说它是真命题； 如果一个命题是错误的，就说它是假命题. 命题的真假 命题、定义、定理与证明 一般地，对于一个命题，如果能举出一个例子，使之符合命题条件，但不满足命题结论，就可判断该命题为假命题，这种做法称为举反例. 举反例 知识要点提炼 对一个概念的含义加以描述说明，或者作出明确规定的语句，叫作这个概念的定义. 定义 命题、定义、定理与证明 数学中，有些命题可以从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 定理 根据条件、定义及基本事实、定理等，经过演绎推理，来判断一 个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明. 证明 知识要点提炼 能够完全重合的两个三角形是全等三角形. 概念 全等三角形的判定 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等. 对应角：∠A =∠A′，∠B =∠B′，∠C =∠C′. 对应边：AB =A′B′，BC =B′C′，AC =A′C′. 例如：如果△ABC ≌△ A′B′C′，那么 A B C A′ B′ C′ 知识要点提炼 全等三角形的判定 基本事实-SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.(简写成“边角边”或“SAS”) B C A A' C' B' 知识要点提炼 全等三角形的判定 基本事实-ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.(简写成“角边角”或“ASA”) A B C C' B' A' 知识要点提炼 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. (简写成“角角边”或“AAS”). A B C C' B' A' 全等三角形的判定 判定定理-AAS 知识要点提炼 B C A A' C' B' 全等三角形的判定 三边分别相等的两个三角形全等.(简写成“边边边”或“SSS”) 基本事实-SSS 知识要点提炼 全等三角形的判定 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边直角边”或“HL”. B C A A' C' B' 判定定理-HL 知识要点提炼 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 有关概念 等腰三角形 底角 底角 A C B 腰 腰 底边 顶角 等腰三角形中， 相等的两边都叫做腰， 另一边叫做底边. 两腰对应的角叫做底角， 底边对应的角叫做顶角. 如图，在△ABC中，AB=AC，则△ABC为等腰三角形. 知识要点提炼 等腰三角形 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等.简写成“等边对等角”. 性质2：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线，互相重合.简写成“三线合一”. 等边三角形的概念及性质 概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 性质：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°. 知识要点提炼 等腰三角形 等腰三角形的判定 有两个角相等的三角形是等腰三角形.简写成“等角对等边”. 等边三角形的判定 判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 判定2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 顶角、底角都可以 知识要点提炼 逆命题 逆命题和逆定理 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题. 例如：命题“内错角相等，两直线平行”，它的逆命题是“两直线平行，内错角相等”. 知识要点提炼 逆定理 逆命题和逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理. 例如：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”为互逆定理. 注意：①逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理与互逆定理一定是真命题；②不是所有的定理都有逆定理. 知识要点提炼 逆命题和逆定理 线段垂直平分线 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 几何语言： ∵MN⊥ AB，AC＝BC，点P在MN上， ∴AP＝BP. A B M N C P 点在线段垂直平分线上 距离(线段)相等 知识要点提炼 逆命题和逆定理 线段垂直平分线 性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 几何语言： ∵QA＝QC， ∴点Q在AB的垂直平分线上． 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 知识要点提炼 逆命题和逆定理 角平分线 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言： ∵OC平分∠AOB， PD⊥OA， PE⊥OB. ∴PD=PE. 应用所具备的条件： ①角的平分线；②点在该平分线上；③垂直距离. 知识要点提炼 逆命题和逆定理 角平分线 性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言： ∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD=QE. ∴点Q在∠AOB的平分线上. 作用：判断一个点是否在角平分线上. 知识要点提炼 现有下列命题：①全等三角形的周长相等；②全等三角形的对应角相等；③全等三角形的面积相等；④面积相等的两个三角形全等.其中真命题有(     ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 可通过掌握全等三角形的性质及全等的判定条件来判断此类命题的真假. 方法总结 解：全等三角形的周长相等，所以①正确；全等三角形的对应角相等，所以②正确；全等三角形的面积相等，所以③正确；面积相等的两个三角形不一定全等，所以④错误.故选B. B 重点知识巩固 解：当a=3，b=-2时，a2>b2，则a>b，故原命题是真命题； 当a=2，b=1时，a2>b2，则a>b，故原命题是真命题； 当a=-3，b=2时，a2>b2，则a<b，故原命题是假命题，符合题意； 当a=-2，b=3时，a2>b2，则a<b，故原命题是真命题.故选C. 下列选项中，可以用来说明命题“若a2>b2，则a>b”是假命题的反例是( ) A.a=3，b=-2 B.a=2，b=1 C.a=-3，b=2 D.a=-2，b=3 说明假命题可通过举反例：找出满足命题题设但不满足结论的具体数值. 方法总结 C 重点知识巩固 解决等腰三角形内角问题时，需分已知角是顶角还是底角两种情况进行讨论. 方法总结 等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( ) A.55°，55° B.70°，40°或70°，55° C.70°，40° D.55°，55°或70°，40° 解：分情况讨论： (1)若等腰三角形的顶角为70°时，另外两个内角=(180°-70°)÷2=55°； (2)若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°， 顶角为180°-70°-70°=40°.故选D. D 重点知识巩固 如图，已知AB=AC，点D、E分别在线段AB、AC上，BE与CD相交于点O，添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( ) A.∠B=∠C B.AE=AD C.BD =CE D.BE=CD 解：A.当∠B=∠C时，利用ASA定理判定△ABE≌△ACD； B.当AE=AD时，利用SAS定理判定△ABE≌△ACD； C.当BD =CE时，得到AD =AE，利用SAS定理判定△ABE≌△ACD； D.当BE = CD时，SSA，不能判定△ABE≌△ACD.故选D. D 要解决三角形全等的判定问题，需熟练掌握全等三角形的判定定理. 方法总结 A C D E B O 重点知识巩固 解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=3，∴AC=2AE=6，AD=DC， ∵△ABD的周长为13，∴AB+BD+AD =13， ∴AB+BD+DC=AB+BC=13， ∴△ABC的周长为AB+BC+AC=13+6=19. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线.若AE=3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为_____. 19 A B D E C 利用线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，结合三角形周长定义，通过等量代换将未知周长转化为已知线段相关的量，进而计算结果. 方法总结 重点知识巩固 命题“等角的余角相等”的条件为____，结论为_____；它的逆命题为______，逆命题是_____命题(填“真”或“假”). 解：“等角的余角相等” 条件：两个角相等，结论：它们的余角相等； 逆命题：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等；是真命题. 分析命题时，先明确条件和结论；求逆命题时，将原命题的条件和结论互换位置；判断逆命题真假需验证互换后的条件能否推出结论. 方法总结 重点知识巩固 解：量出DE的长就是AB的长，理由： 在△ABC和△DEC中 CB =CE，∠ACB=∠DCE，CA=CD， ∴△ABC≌△DEC(SAS) ∴AB =DE 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D，使CD=CA.连接BC并延长到点E，使CE=CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离.为什么? 重点知识巩固 方法总结 解决此类题型，先构造全等三角形，使对应边相等，结合对顶角等条件用SAS证全等，再利用全等三角形对应边相等，通过测量可测线段，得到目标距离. 重点知识巩固 如图，校园有两条路OA和OB，在两条路的交叉口附近有两块宣传牌C，D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P到两块宣传牌的距离相等，并且到两条路的距离也相等，请你用尺规作出灯柱的位置点P(请保留作图痕迹). 解：如图，分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的平分线OG，EF与OG相交于点P，则点P即为所求. P 重点知识巩固 方法总结 要解决此类确定满足双重条件位置的问题，可通过以下方法： 若要求到两点距离相等，作线段的垂直平分线； 若要求到两条路距离相等，作角的平分线； 两条线(线段垂直平分线和角平分线)的交点即为同时满足两个条件的位置点. 重点知识巩固 证明：∵BD，CE是△ABC的高，∴∠CEB=∠BDC=90° 在Rt△BCE和Rt△CBD中，BC=CB，CE=BD ∴ Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)，∴∠ABC=∠ACB， ∴AB =AC，∴ △ABC是等腰三角形. 如图所示，BD、CE是△ABC的高，且BD =CE.求证：△ABC是等腰三角形. A B C D E 要证明三角形是等腰三角形，可通过证明三角形全等得到对应角相等，进而推出两边相等. 方法总结 重点知识巩固 解：由题意得：AD=6cm，BE=14cm， AC=BC，∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DAC=90°， AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90° ∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠BCE=∠DAC， 王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC，∠ACB=90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离. 综合能力提升 解：在△ADC和△CEB中， ∠ADC=∠CEB，∠DAC=∠ECB，AC=CB ∴△ADC≌△CEB(AAS) 由题意得：AD=EC=6cm，DC=BE=14cm， ∴DE=DC+CE=20(cm) 答：两堵木墙之间的距离为 20cm. 王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC，∠ACB=90°)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离. 综合能力提升 方法总结 解决此类涉及等腰直角三角板与垂直木墙的距离问题，可遵循以下方法： ①利用垂直的性质得到直角，结合等腰直角三角形的角的关系，推出角相等； ②通过AAS(或ASA)判定定理证明两个三角形全等； ③根据全等三角形的对应边相等，求出各线段长度，进而得到两木墙之间的距离. 综合能力提升 如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC，D为CE的中点，(1)求证：BE=AC；(2)若∠B=35°，求∠BAC的度数. (1)证明：连接AE， ∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点， ∴AD垂直平分CE，∴AC=AE， ∵EF垂直平分AB，∴AE=BE， ∴BE= AC. 综合能力提升 如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC，D为CE的中点，(1)求证：BE=AC；(2)若∠B=35°，求∠BAC的度数. (2)解：∵AE=BE，∠B=35° ∴∠BAE=∠B=35°，∵ AD⊥BC，∴∠ADB=90° ∴∠BAD=90°-35°=55°， ∴∠EAD=55°-35°=20° ∵AC=AE，AD⊥BC，∴∠EAD=∠CAD=20° ∴∠BAC=∠BAE+∠EAD+∠CAD=75°. 综合能力提升 方法总结 利用线段垂直平分线的性质，通过连接辅助线，将线段进行等量代换，从而证明线段相等；结合等腰三角形的性质，分析角之间的关系，进而求出角的度数. 综合能力提升 如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于点F，若∠1=∠2=∠3，AB=AD，求证：(1)∠E=∠C；(2)△ABC≌△ADE. 证明：(1)∵∠2=∠3，∠AFE=∠CFD， 又∵∠E=180°-∠2-∠AFE，∠C=180°-∠3-∠CFD， ∴∠E=∠C； (2)∵∠1= ∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC， ∴∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中，∠C=∠E，∠BAC=∠DAE，AB=AD ∴△ABC≌△ADE(AAS) 综合能力提升 方法总结 要解决此类三角形角相等及全等的证明问题，可遵循以下方法： ①证明角相等：利用“三角形内角和为180°”及“对顶角相等”的性质，结合已知角的等量关系，推导得出角相等. ②证明三角形全等：通过角的等量加和，结合已证的角相等和已知的边相等，利用AAS全等判定定理，证明三角形全等. 综合能力提升 证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC， ∴DE=DC，又∵BD=FD， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)，∴CF=EB. (2)在Rt△ADC和Rt△ADE中，AD=AD，DC=DE， Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)，∴AC=AE. 由(1)得CF=EB， ∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF.求证：(1)CF=EB； (2)AB=AF+2EB. 综合能力提升 方法总结 解决此类涉及角平分线和直角三角形全等的问题，可遵循以下方法： ①利用角平分线的性质，得到相等的线段；结合己知的相等线段，利用HL判定定理证明直角三角形全等； ②根据全等三角形的对应边相等，推出线段相等，再通过线段的和差关系完成证明. 综合能力提升 如图(1)，AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BP=3cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t(s). (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； 综合能力提升 解：(1)△ACP与△BPQ全等，线段PC和线段PQ垂直，理由如下：当t=1时，AP=BQ=1cm，BP=AC=3cm， 又AC⊥AB，BD⊥AB，即∠A=∠B=90°， 在△ACP和△BPQ中，AP=BQ，∠A=∠B，AC=BP， ∴△ACP≌△BPQ(SAS)，∴∠ACP=∠BPQ， ∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°， 所以∠CPQ=90°，即线段PC和线段PQ垂直. 综合能力提升 如图(1)，AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BP=3cm.点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为t(s). (2)将图(1)中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，如图(2)，其他条件不变，设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应 的x、t的值；若不存在，请说明理由. 综合能力提升 综合能力提升 方法总结 解决此类动点与三角形全等问题，需先分析动点运动的线段长度关系，再根据全等判定定理分类讨论； 另需要注意：未明确给定全等三角形的对应点时，全等三角形需分类讨论. 综合能力提升 $