第12章 全等三角形（知识清单）数学华东师大版2024八年级上册

第12章 全等三角形 12.1 命题、定义、定理与证明 命题：数学中的命题是能判断真假的陈述句。一般形式为“如果...那么...”。 定义：对某个概念进行明确说明，用以区分其他概念。 定理：经过逻辑推理证明为真的命题。 证明：通过一系列逻辑推理步骤确认某一命题的真实性。 12.2 三角形全等的判定 全等三角形的判定条件：两个三角形全等表示它们可以完全重合。 边角边（SAS）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 角边角（ASA）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。 斜边直角边（HL）：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。 12.3 等腰三角形 等腰三角形的性质： 两腰相等。 底角相等。顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两条边相等，则这个三角形是等腰三角形。如果一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形。 12.4 逆命题和逆定理 互逆命题和互逆定理：原命题与其逆命题的关系应明确。 线段垂直平分线：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等。 一、命题部分易错点： 1 学生可能难以区分命题与非命题，例如，他们可能会错误地认为描述性语言或疑问句是命题。 2 在理解真命题与假命题时，学生可能会混淆条件与结论，导致判断错误。 二、定义、定理与证明部分易错点： 1 学生可能对定理和定义的理解不够深入，导致在证明过程中无法准确应用。 2 在证明过程中，学生可能会忽略某些已知条件或中间步骤，导致证明不完整或错误。 三、全等三角形的判定条件易错点： 1 学生可能会混淆不同的判定条件，例如将边角边与角边角混淆。 2 在应用判定条件时，学生可能会忽略某些细节，如对应边或对应角必须完全相等。 四、边角边、角边角、边边边、斜边直角边判定易错点： 1 在使用边角边判定时，学生可能会错误地认为只要两边及夹角相等，两个三角形就一定全等，而忽略了这两边必须是对应边。 2 在使用角边角判定时，学生可能会忽略角必须是两边的夹角这一条件。 3 边边边判定相对简单，但学生可能会在应用时忽略所有三边必须对应相等。 4 斜边直角边判定专用于直角三角形，学生可能会在非直角三角形中错误地应用此判定。 五、等腰三角形的性质易错点： 1 学生可能会混淆等腰三角形的底角和顶角，导致在应用性质时出错。 2 学生可能会忽略等腰三角形的对称性，导致在解决问题时无法准确利用这一性质。 六、等腰三角形的判定易错点： 1 在使用等腰三角形的判定定理时，学生可能会忽略条件中的“在同一个三角形中”这一前提。 2 学生可能会混淆等腰三角形的判定与性质，导致在证明过程中无法准确应用。 七、互逆命题和互逆定理易错点： 1 学生可能会难以理解互逆命题的概念，即原命题的条件与结论互换后形成的命题。 2 在判断逆命题的真假时，学生可能会忽略对原命题的深入理解和分析。 八、线段垂直平分线、角平分线易错点： 1 学生可能会混淆线段垂直平分线和角平分线的性质和应用场景。 2 在应用这些性质时，学生可能会忽略某些细节，如垂直平分线必须平分线段且垂直于该线段等。 题型01 真、假、逆命题 1.下列命题是假命题的是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B． C．经过同一平面内三点中的任意两点一定能画三条直线 D．所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数 2.下列命题是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．如果是线段的中点，那么 C．若，则 D．如果，那么点是的中点 3.把“对顶角相等”，改写成“如果……那么……”的形式 4.“如果，互为倒数，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 5.已知命题“等底等高的两个三角形的面积相等”． (1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． (2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． 题型02全等三角形的性质 1.如图，，，，则度数为（   ）    A． B． C． D． 2.如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．24 B．23 C．22 D．26 3.如图，，若，，则等于 ． 4.如图，其中点A，E，B，D在一条直线上，若，，则的长为 ． 5.如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 题型03 全等三角形的判定——边角边 1.如图，在方格纸上的图形中，以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2.要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案： 方案Ⅰ ①如图1，选定点O； ②连接，并延长到点C，使，连接，并延长到点D，使； ③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ ①如图2，选定点O； ②连接，并分别延长到点F，E，使； ③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（    ） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 3.如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为 ．    4.如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ． 5.景德镇龙珠阁自唐以来，几度兴毁，成为反映景德镇千年历史的代表性建筑，琳琳想利用五一假期测量其底部宽度，A，B两点分别为底部的两端．因为A，B两点间的实际距离天法直接测量，琳琳设计出了如下方案：在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接，并延长到点C，连接，并延长到点D，使，，连接DC，测得（假设A，B，O，C，D均在同一平面上），请根据琳琳的方案，求A，B间的实际距离． 题型04 全等三角形的判定——边角边 1.如图， 在四边形中，，， 连接． 若， 则四边形面积为（   ） A．18 B．24 C．36 D．48 2.如图，在中，平分交于点，，过点作交于点，延长至点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3.如图，在中，，，D是上一点，连接，过点A作，且，连接交于点F，若，则的长度为 ． 4.如图，在中，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ． 5.如图，在中，，分别是边，边上的高，与相交于点，且，连接． (1)试说明：； (2)试求的度数； (3)若点是的中点，则，试求的值． 题型05 全等三角形的判定——角边角与角角边 1.如图，点C 在的边上，用尺规作图： ①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交于点D， 交 于点E； ②以点C 为圆心，以 的长为半径画弧，交于点F； ③以点F 为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点P； ④作射线；   下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2.如图，五边形中，，，，M为边的中点，，，则五边形的面积为（   ）． A．30 B．28 C．24 D．20 3.如图，点C，E分别为的边，上的点，，，则的度数为 °． 4.如图，在中，，点为线段上一点，连接，点关于的对称点为点，连接与线段交于点，当中有两个角相等时， ． 5.阅读下列材料，完成相应的任务 全等四边形 根据全等图形的定义可知：四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一组边相等”或“一组角相等”称为一个条件，智慧小组的同学类比“探索三角形全等的条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，在四边形和四边形中，连接对角线，这样两个四边形全等的问题就转化为“”与“”的问题．若先给定的条件，只要再增加两个条件使“”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等． 按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形和四边形先给出如下条件：，，，小亮在此基础上又给出“，”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形四边形” 任务： (1)请根据小明和小亮给出的条件，请根据全等图形的定义说明四边形四边形的理由． (2)在材料小明所给条件的基础上，小颖又给出两个条件“，”．满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形四边形． 题型06 全等三角形的判定——斜边直角边 1.如图，，，添加下列条件，仍不能判断的是（   ） A． B． C． D． 2.下列选项中，可以判定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3.如图，于点于点，且．若，则的大小为 ． 4.如图，在中，，，垂足为点，若，，则和的面积之比为 ． 5.如图，在中，，点在上，点在的延长线上，连接，且，．求证：． 题型07 等腰与等边三角形的性质与判定 1.如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，在等边中，和分别是和边上的高，且相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3.如图，在四边形中，，，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为 ． 4.如图，在中，，以为边向外作等腰直角，连接，若，则 ． 5.已知：为等边三角形，点D、E分别为、边上一点，、相交于点F，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接并延长，与相交于点G，点M为延长线上一点，，点N为延长线上一点，，，求证：； (3)在（2）的条件下（可使用备用图），若的面积为2，，直接写出点A到的距离与点N到的距离之和． 题型08 角平分线与线段垂直平分线结合 1.如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点D，于点E，，交的延长线于点F．若，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点，过点作，，垂足交的延长线于点，交于点，若，，则的周长为（    ）． A．32 B．34 C．22 D．16 3.在中，的角平分线与边的垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是 ． 4.如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为 ． 5.如图，ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分别为F、G． (1)求证：BG＝CF； (2)若AB＝18，AC＝6，求AF的长度． (3)直接写出∠ADB、∠ADC、∠ADG之间的数量关系． 题型09 全等模型（一线三等角，手拉手，倍长中线等） 1.如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 2.如图，和均为等腰直角三角形，且，点A、D、E在同一条直线上，平分，连接．以下结论：①；②；③；④．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图，边长为6的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在右侧作等边，连接，则的周长最小值为 ． 4.如图，和都是等边三角形，连接、交于点P，、与、分别交于M、N，则下列说法中：①；②；③当A、C、E三点共线时，；④点C在的角平分线上．正确的有 ． 5.我们知道，如果一个三角形的两边长分别为，，其中，那么第三边长的范围为．小明提出问题：第三边上的中线长度与，有关系吗？经过思考、交流，找到解决思路：延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和需求的结果转化到同一个三角形中．如图1，延长至E，使得，连接，可得． (1)如图1，在中，是边上的中线，若，求的范围． (2)如图2，在中，是边上的中线，平分，交于点D．若，说明； (3)如图2，在（2）的条件下，若，直接用等式表示，之间满足的等量关系． 题型10 全等与等腰三角形动点求t 1.如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．或 2.如图，在中，，点从点出发，沿折线以每秒4个单位长度的速度向终点运动．点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．两点同时出发，点停止时，点也随之停止。设点运动的时间为秒．当时，的值为（    ） A．3.2 B．10 C．3.2或6 D．3.2或10 3.如图，于点，，，射线于点，一动点从点出发以2个单位秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，若点经过秒，与全等，则的值为 秒． 4.如图，在中，，，，直线经过点C且与边相交，动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的运动速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒，则当 时，与全等． 5.如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题． (1)_________；_________；（用含t的代数式表示） (2)如图①，点P与点Q运动的过程中，能否成为等边三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理． (3)如图②，点D是的中点，连接、，点P、点Q在运动过程的某一时刻与全等，求此时的长． 题型11 新定义问题 1.新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2.定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形中，则它的优美比为（    ） A． B． C． D． 3.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，它一边长为4，则等腰的腰为 ． 4.定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形．若等腰是倍长三角形，且一边长为6，则的底边长为 ． 5.【阅读理解】定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是____________； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是____________； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，延长至F，使，连接，，且，写出、、的数量关系并证明． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 全等三角形 12.1 命题、定义、定理与证明 命题：数学中的命题是能判断真假的陈述句。一般形式为“如果...那么...”。 定义：对某个概念进行明确说明，用以区分其他概念。 定理：经过逻辑推理证明为真的命题。 证明：通过一系列逻辑推理步骤确认某一命题的真实性。 12.2 三角形全等的判定 全等三角形的判定条件：两个三角形全等表示它们可以完全重合。 边角边（SAS）：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。 角边角（ASA）：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。 边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。 斜边直角边（HL）：在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。 12.3 等腰三角形 等腰三角形的性质： 两腰相等。 底角相等。顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两条边相等，则这个三角形是等腰三角形。如果一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形。 12.4 逆命题和逆定理 互逆命题和互逆定理：原命题与其逆命题的关系应明确。 线段垂直平分线：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 角平分线：角平分线上的点到角两边的距离相等。 一、命题部分易错点： 1 学生可能难以区分命题与非命题，例如，他们可能会错误地认为描述性语言或疑问句是命题。 2 在理解真命题与假命题时，学生可能会混淆条件与结论，导致判断错误。 二、定义、定理与证明部分易错点： 1 学生可能对定理和定义的理解不够深入，导致在证明过程中无法准确应用。 2 在证明过程中，学生可能会忽略某些已知条件或中间步骤，导致证明不完整或错误。 三、全等三角形的判定条件易错点： 1 学生可能会混淆不同的判定条件，例如将边角边与角边角混淆。 2 在应用判定条件时，学生可能会忽略某些细节，如对应边或对应角必须完全相等。 四、边角边、角边角、边边边、斜边直角边判定易错点： 1 在使用边角边判定时，学生可能会错误地认为只要两边及夹角相等，两个三角形就一定全等，而忽略了这两边必须是对应边。 2 在使用角边角判定时，学生可能会忽略角必须是两边的夹角这一条件。 3 边边边判定相对简单，但学生可能会在应用时忽略所有三边必须对应相等。 4 斜边直角边判定专用于直角三角形，学生可能会在非直角三角形中错误地应用此判定。 五、等腰三角形的性质易错点： 1 学生可能会混淆等腰三角形的底角和顶角，导致在应用性质时出错。 2 学生可能会忽略等腰三角形的对称性，导致在解决问题时无法准确利用这一性质。 六、等腰三角形的判定易错点： 1 在使用等腰三角形的判定定理时，学生可能会忽略条件中的“在同一个三角形中”这一前提。 2 学生可能会混淆等腰三角形的判定与性质，导致在证明过程中无法准确应用。 七、互逆命题和互逆定理易错点： 1 学生可能会难以理解互逆命题的概念，即原命题的条件与结论互换后形成的命题。 2 在判断逆命题的真假时，学生可能会忽略对原命题的深入理解和分析。 八、线段垂直平分线、角平分线易错点： 1 学生可能会混淆线段垂直平分线和角平分线的性质和应用场景。 2 在应用这些性质时，学生可能会忽略某些细节，如垂直平分线必须平分线段且垂直于该线段等。 题型01 真、假、逆命题 1.下列命题是假命题的是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B． C．经过同一平面内三点中的任意两点一定能画三条直线 D．所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理之真假命题，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．根据平行线的性质可判断A，根据有理数的加法可判断B，利用举反例的方法可判断C，根据实数与数轴的关系可判断D，进而可得答案． 【详解】A．同位角相等，两直线平行，是平行线的判定方法之一，正确，是真命题． B．，显然成立，正确，是真命题． C．若三点共线，则经过任意两点只能画一条直线，而非三条，因此命题不成立，是假命题． D．所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数，正确，是真命题． 故选C． 2.下列命题是真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．如果是线段的中点，那么 C．若，则 D．如果，那么点是的中点 【答案】B 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据对顶角的概念、线段中点的概念、平方根的概念逐一判断． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，例如，两直线平行时的同位角相等，但并非对顶角，故A为假命题； B、若C是线段的中点，则，因此，符合中点定义，故B为真命题； C、由可得或，但命题仅给出，未包含负数解，故C为假命题； D、仅说明C到A、B距离相等，但C未必在线段上（如的垂直平分线上任意一点均满足），因此C不一定是的中点，故D为假命题． 故选：B． 3.把“对顶角相等”，改写成“如果……那么……”的形式 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了把一个命题写成“如果⋯那么⋯”的形式，命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面即可． 【详解】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯那么⋯”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 4.“如果，互为倒数，那么”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【分析】本题考查的是命题的逆命题，真假命题的判定，先写出命题的逆命题，再判断即可. 【详解】解：命题“如果，互为倒数，那么”的逆命题是 “如果，那么，互为倒数”， 逆命题是真命题； 故答案为：真 5.已知命题“等底等高的两个三角形的面积相等”． (1)此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． (2)写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假．若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例． 【答案】(1)真命题，证明见解析 (2)逆命题为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是等底等高的三角形，此命题是假命题；举例见解析 【分析】本题主要考查命题真假的判断和逆命题的知识，解题的关键是熟知课本中有关的定义和性质定理； （1）判断命题，需要分析由题设是否能推出结论，若为真，然后证明即可； （2）先写出逆命题，再按照由题设是否能推出结论进行判断，在举出反例即可． 【详解】（1）解：真命题，证明如下： 设这两个三角形分别为，， 的底为a，高为h，的底为，高为， ∴， ∵，， ∴， 故命题为真命题； （2）解：逆命题为：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是等底等高的三角形， 此命题是假命题； 举例：若的底为2，高为6，的底为3，高为4，此时，，面积相等，但不是等底等高的另两个三角形， 故逆命题为假命题． 题型02全等三角形的性质 1.如图，，，，则度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质，先由三角形内角和定理求出的度数，再由全等三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2.如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．24 B．23 C．22 D．26 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故选：A． 3.如图，，若，，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．直接根据全等三角形的性质作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 4.如图，其中点A，E，B，D在一条直线上，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据得到，从而得到，结合，即可求得答案． 【详解】解：，，， ， ，即， ， ． 故答案为：2． 5.如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)96 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：：， ． 又， ． 又， ． ； （2）解：． 理由：， ， ， ， ， ． ． ． 题型03 全等三角形的判定——边角边 1.如图，在方格纸上的图形中，以下说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．证出，根据全等三角形的性质可得，则可判断选项A正确；先根据平行线的性质可得，再根据，则可得，由此即可判断选项B错误；根据可得，由此即可判断选项C错误；根据，即可判断选项D错误． 【详解】解：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴，则选项A正确； 由图可知，， ∴， 在中，， ∴， ∴，则选项B错误； 由图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，则选项C错误； ∵，， ∴，则选项D错误； 故选：A． 2.要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了如下测量方案： 方案Ⅰ ①如图1，选定点O； ②连接，并延长到点C，使，连接，并延长到点D，使； ③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ ①如图2，选定点O； ②连接，并分别延长到点F，E，使； ③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（    ） A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：方案Ⅰ：在与中， ， ∴， ∴； 方案Ⅱ：在与中， ， ∴， ∴， ∴方案Ⅰ、Ⅱ都可行. 故选：D． 3.如图，在中，，M、N、K分别是，，上的点，且，．若，则的度数为 ．    【答案】/100度 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理的运用，利用条件判定是解题的关键．由条件可证明，再结合外角的性质可求得，再利用三角形内角和定理即可求得． 【详解】解：在和中， ， ， ． ， ， ． 故答案为：． 4.如图，表示两根长度相同的木条，若O是的中点，经测量，则容器的内径为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握证明全等三角形的方法有是解题的关键．本题中根据证明，即可求解． 【详解】解：由题意知：， ∵是、的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 5.景德镇龙珠阁自唐以来，几度兴毁，成为反映景德镇千年历史的代表性建筑，琳琳想利用五一假期测量其底部宽度，A，B两点分别为底部的两端．因为A，B两点间的实际距离天法直接测量，琳琳设计出了如下方案：在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接，并延长到点C，连接，并延长到点D，使，，连接DC，测得（假设A，B，O，C，D均在同一平面上），请根据琳琳的方案，求A，B间的实际距离． 【答案】38m 【分析】此题考查了全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．根据题意可得，，，，即可证明，则即可． 【详解】在和中， ， ∴， ∴， 即测出的长即为雕塑底座两端A、B间的距离． ∴A，B间的实际距离为． 题型04 全等三角形的判定——边角边 1.如图， 在四边形中，，， 连接． 若， 则四边形面积为（   ） A．18 B．24 C．36 D．48 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．过A作，交的延长线于E，证明，则，得到的面积的面积，则到四边形的面积的面积，即可求出答案． 【详解】解：过A作，交的延长线于E，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 在与中， ∴， ∴，的面积的面积， ∴四边形的面积的面积， 故选A． 2.如图，在中，平分交于点，，过点作交于点，延长至点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，平行线的性质． 根据题意证明得出，根据邻补角互补得出,根据三角形内角和定理得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3.如图，在中，，，D是上一点，连接，过点A作，且，连接交于点F，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 如图：过E作于G，则，先证明，可得、，再证明可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过E作于G，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4.如图，在中，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的证明与性质，三角形中线的性质．延长交于点，作与点，利用角平分线的定义可证，可推出，，再根据三角形面积可求得，从而得到，最后利用三角形中线的性质可知，即可求得答案． 【详解】解：延长交于点，作与点，如图所示， ，是的角平分线， ，， 在和中， ， ， ，， ，，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5.如图，在中，，分别是边，边上的高，与相交于点，且，连接． (1)试说明：； (2)试求的度数； (3)若点是的中点，则，试求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由题意可知，根据即可证明； （2）在线段上取点，使得，连接，证明，可知是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数； （2）过点作于点，证明，则，求出即可． 【详解】（1）证明：∵，分别是边，边上的高， ∴； 又∵， ∴，． ∴； （2）解：如图，在线段上取点，使得，连接， 在和中， ∴（） ∴，． ． 是等腰直角三角形． ． ； （3）解：如图，过点作于点， 点是的中点 在和中， ， （）． ． ． 由（2）得，． 又， ． ． ． ． 题型05 全等三角形的判定——角边角与角角边 1.如图，点C 在的边上，用尺规作图： ①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交于点D， 交 于点E； ②以点C 为圆心，以 的长为半径画弧，交于点F； ③以点F 为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点P； ④作射线；   下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由作图过程推出即可求解. 【详解】解：由作图过程可知：， ∴ ，； 由①可知：， ∵， ∴； 不能推出； 故选：C. 2.如图，五边形中，，，，M为边的中点，，，则五边形的面积为（   ）． A．30 B．28 C．24 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和，全等三角形的判定和性质，添辅助线将多边形的问题转化为三角形的问题是解题的关键．延长到F，使，连接、、，易证，，，五边形的面积转化成了三角形的面积，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，延长到F，使，连接、、， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， ∵， ∴，   在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴五边形的面积 = ． 故选：A． 3.如图，点C，E分别为的边，上的点，，，则的度数为 °． 【答案】 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 连接，由，，，根据“”证明，则，由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4.如图，在中，，点为线段上一点，连接，点关于的对称点为点，连接与线段交于点，当中有两个角相等时， ． 【答案】15或30 【分析】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的性质与判定、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据轴对称的性质得到，，推出，得到，，再根据题意分三种情况讨论，利用全等三角形的性质和三角形内角和定理分别求出的度数即可． 【详解】解：∵点关于的对称点为点， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ①若，则， ∴， ∴； ②若，则， ∴， ∴， ∴； ③若，则， ∴， ∴， ∴（不符合题意，舍去）； ∴综上所述，或． 故答案为：15或30． 5.阅读下列材料，完成相应的任务 全等四边形 根据全等图形的定义可知：四条边分别相等、四个角也分别相等的两个四边形全等．在“探索三角形全等的条件”时，我们把两个三角形中“一组边相等”或“一组角相等”称为一个条件，智慧小组的同学类比“探索三角形全等的条件”的方法探索“四边形全等的条件”，进行了如下思考：如图，在四边形和四边形中，连接对角线，这样两个四边形全等的问题就转化为“”与“”的问题．若先给定的条件，只要再增加两个条件使“”即可推出两个四边形中“四条边分别相等、四个角也分别相等”，从而说明两个四边形全等． 按照智慧小组的思路，小明对图中的四边形和四边形先给出如下条件：，，，小亮在此基础上又给出“，”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形四边形” 任务： (1)请根据小明和小亮给出的条件，请根据全等图形的定义说明四边形四边形的理由． (2)在材料小明所给条件的基础上，小颖又给出两个条件“，”．满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形四边形． 【答案】(1)见解析 (2)不能 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，全等四边形的判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用证明得到，则可利用证明得到，据此可证明四边形和四边形的四条边对应相等，四个角对应相等，则可证明结论； （2）同理可证明得到，再导角证明，但是不可根据证明，据此可得答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形和四边形的四条边对应相等，四个角对应相等， ∴四边形四边形； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 而由，，，不可以根据证明， ∴满足这五个条件不能得到四边形四边形． 题型06 全等三角形的判定——斜边直角边 1.如图，，，添加下列条件，仍不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是添加条件判定三角形全等，本题先把转化为证明全等三角形的直接条件，再逐一分析每个选项结合全等三角形的判定方法可得结论；熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，∴， A、，，，是，不能判断三角形全等，此选项符合题意； B、∵，，，利用可得三角形全等，不符合题意； C、∵ ∴，即 ∵，，，利用可得三角形全等，不符合题意； D、∵， ∴， ∴，，，利用可得三角形全等，不符合题意； 故选：A． 2.下列选项中，可以判定的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，直角三角形全等还有． 【详解】解：如下图：和， A．三个角对应相等，不能判定，故该选项不符合题意； B．，，，只满足，不符合全等三角形的判定定理，故该选项不符合题意； C．不是对应角，不能判定，故该选项不符合题意； D．，，，满足，符合全等三角形的判定定理，故该选项符合题意； 故选：D． 3.如图，于点于点，且．若，则的大小为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：25． 4.如图，在中，，，垂足为点，若，，则和的面积之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中线与面积的关系，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．运用等腰三角形的性质，且通过证明，，因为，再类比中线与面积的关系，推出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴和的面积之比为 故答案为： 5.如图，在中，，点在上，点在的延长线上，连接，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键；求出，根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，即可得证． 【详解】解：， ， 在和中 ， ， ． 题型07 等腰与等边三角形的性质与判定 1.如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质和等边三角形的判定与性质．由旋转的性质及，可得是等边三角形，从而，则由．计算即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点A按顺时针旋转一定角度得到， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 2.如图，在等边中，和分别是和边上的高，且相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解题的关键是是正确解答本题的关键．根据等边三角形的性质以及三角形的高得到，然后根据四边形的内角和是解出的度数，根据对顶角相等即可得出的度数． 【详解】解：∵为等边三角形，分别是边高， ， ∵在四边形中，， ， ∵对顶角相等， ． 故选：B． 3.如图，在四边形中，，，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理．根据等边对等角可得：，再由三角形内角和定理求得，求得，然后分三种况讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当为等腰三角形时， ①当时，， ②当时，， ③当时，， 故答案为：或或． 4.如图，在中，，以为边向外作等腰直角，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 如图所示，过点B作交延长线于E，连接，证明得到，则，再利用三角形面积公计算式可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作交延长线于E，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 5.已知：为等边三角形，点D、E分别为、边上一点，、相交于点F，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接并延长，与相交于点G，点M为延长线上一点，，点N为延长线上一点，，，求证：； (3)在（2）的条件下（可使用备用图），若的面积为2，，直接写出点A到的距离与点N到的距离之和． 【答案】(1) (2)见详解 (3)4 【分析】（1）由等边三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，根据角和关系得出，等量代换可得出，再根据三角形外角的定义和性质得出． （2）延长到，使，先证明，由全等三角形的性质得出，再证明，由全等三角形的性质得出，通过三角形外角的定义和性质以及三角形内角和定理得出，根据等角对等边得出，即可得出． （3）过点N作交于点H，过点A作交于点，过点C作交于点，设，和，根据等边三角形得，即，由得，即有，则有，进一步证得，则，由（2），有，即可求得，结合，解得即可． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：延长到，使，连接，如图， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 由（1）知， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （3）解：过点N作交于点H，过点A作交于点，过点C作交于点，如图， 设，和， ∵为等边三角形， ∴，即， 由， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则， 由（2）， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点A到的距离与点N到的距离之和4． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角性质等知识点，解题的关键是熟悉倍长中线和半角求解的常见做法． 题型08 角平分线与线段垂直平分线结合 1.如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点D，于点E，，交的延长线于点F．若，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由是的垂直平分线，得,由是的平分线，，，得出,借助证出，由证出，从而有，即可得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，，    是的垂直平分线， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 2.如图，的角平分线与线段的垂直平分线交于点，过点作，，垂足交的延长线于点，交于点，若，，则的周长为（    ）． A．32 B．34 C．22 D．16 【答案】A 【分析】连接，根据是的垂直平分线，可得，根据是的平分线，，，可得，然后证明，可得．证明，可得，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，连接， 是的垂直平分线， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， 的周长， 故选：A． 【点睛】本题考查线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟练使用各性质定理． 3.在中，的角平分线与边的垂直平分线相交于点F，连接，若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，根据角平分线得到，根据垂直平分线得到，从而得到，结合得到，即可得到答案； 【详解】解：∵是的角平分线， ∴，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4.如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，于点，，交的延长线于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．连接、，由是的垂直平分线，得，由是的平分线，，，得出，证出，可得，证明，可得，从而有，即可得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接、， 是的垂直平分线， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， , 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5.如图，ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D，DF⊥CA，DG⊥AB，垂足分别为F、G． (1)求证：BG＝CF； (2)若AB＝18，AC＝6，求AF的长度． (3)直接写出∠ADB、∠ADC、∠ADG之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)AF=6 (3) 【分析】（1）连接BD、CD，然后结合垂直平分线定理得到BD=CD，角平分线定理得到DG=DF，进而得证DBGDCF，最后得到BG=CF； （2）结合全等三角形的性质得到BG=CF，然后证明DGADFA得到AG=AF，进而利用已知条件求出AF的长； （3）先根据全等三角形的性质求出，，再根据等量代换求解即可． 【详解】（1）证明：连接BD、CD， ∵ABC的外角平分线AD与边BC的垂直平分线交于点D，DF⊥CA，DG⊥AB， ∴BD=CD，DG=DF，∠DGB=∠DFC=90°， ∴RtDBGRtDCF（HL）， ∴BG=CF． （2）解：∵AD平分∠BAF， ∴∠DAG=∠DAF， ∵DF⊥CA，DG⊥AB， ∴∠DGA=∠DFA=90°，DG=DF， ∴DGADFA（AAS）， ∴AG=AF， ∵BG=ABAG，CF=AF+AC，CF=BG， ∴ABAF=AF+AC， ∵AC=6，AB=18， ∴18AF=AF+6， ∴AF=6． （3）解：∵DBGDCF， ∴， ∵DGADFA， ∴， ∵， ∴ = = =． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质定理、角平分线性质定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键是连接BD、CD构造全等三角形． 题型09 全等模型（一线三等角，手拉手，倍长中线等） 1.如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过证明，得到可判断A正确，通过证明，得到，可判断B错误；证明，得到，故判定结论C正确；利用可判断D正确． 【详解】解：由于和是等边三角形， 可知，，， ∴，， ∴， ∴，， 可判断A正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，可判断B错误； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故结论C正确； ∵可判断D正确． 故选： B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的定义和性质，平角的定义等知识点．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 2.如图，和均为等腰直角三角形，且，点A、D、E在同一条直线上，平分，连接．以下结论：①；②；③；④．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】对于①，利用全等三角形的判定，可证，即可判断结果；对于②，利用等腰三角形的三线合一性质，即可判断结果；对于③，利用等腰三角形的三线合一性质和直角三角形的性质，可得，进一步推理即可判断结果；对于④，先证明，然后利用同底等高的两个三角形的面积相等，可知，进一步推理可知判断结果． 【详解】和均为等腰直角三角形， ，，， ， ，， 所以①正确， 为等腰直角三角形，平分， ， 所以②正确， ，， ， ， ， ， 所以③正确， 点A、D、E在同一条直线上，和均为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以④正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰三角形的三线合一性质，证明是解答本题的关键． 3.如图，边长为6的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在右侧作等边，连接，则的周长最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E的运动轨迹，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．通过分析点E的运动轨迹，点E在射线上运动，作点A关于直线的对称点M，连接交于点，此时的值最小，求出最小值即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动， 作点A关于直线的对称点M，连接交于点，连接， ∴， ∵为定值， ∴当最小时，的周长最小， ∵两点之间线段最短， ∴当点E在点处时，的周长最小，且最小值为的长， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴周长的最小值是． 故答案为：． 4.如图，和都是等边三角形，连接、交于点P，、与、分别交于M、N，则下列说法中：①；②；③当A、C、E三点共线时，；④点C在的角平分线上．正确的有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、三角形外角的定义及性质，证明即可判断①；由三角形外角的定义及性质即可判断②；证明即可判断③；根据全等三角形的性质结合三角形面积公式得出，再由角平分线的判定定理即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，，故①正确； ∴，故②正确； 当A、C、E三点共线时，， ∵，， ∴， ∴，故③正确； 如图：作于，于， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点C在的角平分线上，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④； 故答案为：①②③④． 5.我们知道，如果一个三角形的两边长分别为，，其中，那么第三边长的范围为．小明提出问题：第三边上的中线长度与，有关系吗？经过思考、交流，找到解决思路：延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和需求的结果转化到同一个三角形中．如图1，延长至E，使得，连接，可得． (1)如图1，在中，是边上的中线，若，求的范围． (2)如图2，在中，是边上的中线，平分，交于点D．若，说明； (3)如图2，在（2）的条件下，若，直接用等式表示，之间满足的等量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）延长至E，使得，连接，证明，可得，再结合三角形三边关系解答即可； （2）延长至F，使得，连接，证明，可得，再由平分，以及三角形外角的性质可得，然后根据，可得，从而得到，继而得到，即可解答； （3）由（2）得：， ，根据角平分线的定义可得，从而得到，进而得到，再由，可得，从而得到，即可解答． 【详解】（1）解：如图1，延长至E，使得，连接， ∴． ∵是边上的中线， ∴． 在和中， ∵ ∴ ． ∴． 在中，∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：延长至F，使得，连接． ∴． ∵ 是边上的中线， ∴． 在和中， ∵ ， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）解：如（2）图， 由（2）得：， ， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 整理得：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，理解倍长中线法证明三角形全等是解题的关键． 题型10 全等与等腰三角形动点求t 1.如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，设点Q的运动速度是，有两种情况：①；②，列出方程，然后求出方程的解即可． 【详解】解：设点Q的运动速度是， ∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为， 又∵， ∴， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①， ∴， 解得：； ②， 则：， 解得：； ∴当与全等时，点Q的运动速度为或． 故选D． 2.如图，在中，，点从点出发，沿折线以每秒4个单位长度的速度向终点运动．点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度运动．两点同时出发，点停止时，点也随之停止。设点运动的时间为秒．当时，的值为（    ） A．3.2 B．10 C．3.2或6 D．3.2或10 【答案】D 【分析】先可求出各节点的时间，由得出是等边三角形，利用等边三角形的性质，可得出．分三种情况：当时，当时，当时，分别进行求解． 【详解】解：根据题意可得（秒），（秒），（秒），（秒），（秒）. 在中，， ∴是等边三角形， ∴． 当时， ∵，， ∴， ∴， 即 解得：． 当时，点，在边上，不符合题意； 当时， ∵， ∴点为边的中点， 即， 解得：． 综上所述，当时，的值为或． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、等边三角形的性质以及解直角三角形，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3.如图，于点，，，射线于点，一动点从点出发以2个单位秒沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，若点经过秒，与全等，则的值为 秒． 【答案】2，6，8 【分析】本题考查三角形全等的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．此题要分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分成两种情况，进行计算即可． 【详解】解：①当在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒； ②当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒； ③当在上，时，， ， 点的运动时间为（秒， 故答案为：2，6，8． 4.如图，在中，，，，直线经过点C且与边相交，动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的运动速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F，设运动时间为t秒，则当 时，与全等． 【答案】2或或12 【分析】分点在上，点在上；点与点重合；与重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．本题考查的是全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 【详解】解：①如图1，点在上，点在上时， 由题意得，，， ，， ，， ∵，， ， ， ， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点与点重合时， 由题意得，，， ，， ，， 当， 则， ， 解得：； ③如图3，当点与重合时， 由题意得，， ， ，， ， ， 当， 则， 即， 解得：； 当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 故答案为：2或或12． 5.如图，已知是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题． (1)_________；_________；（用含t的代数式表示） (2)如图①，点P与点Q运动的过程中，能否成为等边三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理． (3)如图②，点D是的中点，连接、，点P、点Q在运动过程的某一时刻与全等，求此时的长． 【答案】(1)； (2)能， (3)cm 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，几何动点问题，解题的关键是： （1）根据路程=速度×时间即可求解； （2）由等边三角形的性质可得方程，即可求解； （3）分两种情况讨论，由直角三角形的性质列出方程，可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故答案为：，； （2）解∶能， 理由如下：∵是等边三角形． ∴， ∴当时，是等边三角形． 即 解得 因此当时，是等边三角形； （3）解：设点P、点Q运动t秒后，与全等． 由题意可得，， ∵是等边三角形，点D是的中点 ∴，， ①当时，， 即， 解得， ∴； ②当，时，， 即， 这两个方程组无解且不符合题意，故不满足， 综上，当时，． 题型11 新定义问题 1.新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为“格线三角形”．如图，，相邻两条平行线间的距离为m，等腰为“格线三角形”，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线间的距离，全等三角形的判定与性质，过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，证明，得出，，再根据求解即可 【详解】解：过点B作直线于点，延长交直线c于点F，过点C作直线于点，则，如图， ∵，相邻两条平行线间的距离为m， ∴直线c， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴的面积 故选：A 2.定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形中，则它的优美比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可以写出∠B和∠C，再根据三角形内角和定理可以得解． 【详解】解：由已知可得：∠B=∠C=k∠A=（36k）°， 由三角形内角和定理可得：2×36k+36=180， ∴k=2， 故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的应用，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理及方程思想的应用是解题关键 ． 3.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，它一边长为4，则等腰的腰为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，根据“倍长三角形”的定义得到另两边长，然后根据三角形的三边关系解题即可． 【详解】解：一边长为4，三角形的另两边为,；,；,；,； ∵三角形的三边关系得到：,；,； 故答案为：或． 4.定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形．若等腰是倍长三角形，且一边长为6，则的底边长为 ． 【答案】3或6 【分析】由倍长三角形的定义，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：∵等腰是倍长三角形， ∴腰长＝底边长的2倍或底边长＝腰长的2倍， 如果腰长是6，底边长是3或， ∵， ∴此时不能构成三角形， ∴底边长是3，腰长是6； 如果底边长是6，腰长是12或3， ∵， ∴此时不能构成三角形， ∴底边长是6，腰长是， ∴的底边长是3或6． 故答案为：3或6． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握倍长三角形的定义，并分两种情况讨论． 5.【阅读理解】定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是____________； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是____________； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，延长至F，使，连接，，且，写出、、的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)或 (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理： （1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，再证明，则，最后由线段和差结合等量代换即可得到结论． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：， 证明：延长交于点， 是的“边垂角”， ∴， ， ， ， ∵ ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ， ． 2 / 64 学科网（北京）股份有限公司 $$