第12章 全等三角形【章末复习】（课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了全等三角形的核心知识，从几何逻辑基础（命题与证明）到全等判定定理（SAS、ASA等），再到等腰三角形性质判定及对称模型（垂直平分线、角平分线），通过知识框架图构建完整知识网络，体现各节次逻辑递进关系。 其亮点在于聚焦高频易错点与解题思路，如强调SSA不能判定全等、等腰三角形三线合一仅限底边等，培养学生推理意识。中考题分层设计，从基础选择到综合证明题，适配不同水平学生，规范几何语言表达，助力学生巩固知识，教师精准把握复习重点。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月31日 章末复习 第12章 全等三角形 第12章 全等三角形 全章知识点总结（八年级下册） 整体框架：本章从几何逻辑入门（命题与证明）→ 全等三角形五大判定定理 → 特殊三角形（等腰）性质与判定 → 几何双向定理（互逆命题）→ 几何两大对称模型（垂直平分线、角平分线），是初中几何证明的核心基石。 12.1 命题、定理与证明（几何逻辑基础） 12.1.1 命题 1. 命题定义：能够判断真假的陈述句。 ✅ 是命题：陈述句（可判断对错） ❌ 不是命题：疑问句、感叹句、作图指令、描述性语句 2. 命题结构：由题设（条件） + 结论两部分组成，可改写为“如果……那么……”形式。 3. 命题分类： - 真命题：正确的命题 - 假命题：错误的命题（只需举1个反例即可推翻） 12.1.2 定理与证明 1. 公理：无需证明、公认正确的真命题（原始依据）。 2. 定理：经过严谨推理证实的真命题，可作为推理依据。 3. 核心关系：定理一定是真命题，真命题不一定是定理。 4. 几何证明要求：步步有据，依据仅限：已知、定义、公理、定理，禁止主观猜测、跳步书写。 12.2 全等三角形的判定（五大核心定理） 全等定义：能够完全重合的两个三角形，对应边相等、对应角相等，周长、面积均相等。 易错前提：形状相同≠全等，大小相同≠全等，必须形状、大小完全一致。 12.2.1 全等三角形的判定条件 1. 单一条件（一边/一角）、两个条件（两边、两角、一边一角）均无法判定全等。 2. 三角对应相等（AAA）：只能相似，不能判定全等。 3. 判定全等至少需要三组有效对应条件。 12.2.2 边角边（SAS） 1. 内容：两组对应边相等，且两边的夹角对应相等，两三角形全等。 2. 超级易错点：必须是夹角！SSA（边边角）不能判定全等。 3. 书写顺序：边—角—边，对应顶点顺序一致。 12.2.3 角边角（ASA） 1. 内容：两组对应角相等，且两角的夹边对应相等，两三角形全等。 2. 区分：ASA（两角夹一边），AAS（两角及一角对边），结构不可混淆。 12.2.4 边边边（SSS） 1. 内容：三组对应边分别相等，两三角形全等。 2. 特点：无需角的条件，仅通过边长即可判定。 3. 延伸：对应三角形稳定性（三边确定，三角形形状大小唯一确定）。 12.2.5 斜边直角边（HL） 1. 专属适用：仅用于直角三角形。 2. 内容：斜边和任意一条直角边对应相等，两直角三角形全等。 3. 补充：直角三角形也可使用SSS、SAS、ASA、AAS判定，HL为最简方法。 12.3 等腰三角形（性质与判定） 12.3.1 等腰三角形的性质 1. 等边对等角：等腰三角形两腰相等，对应两底角相等。 2. 三线合一（核心考点）：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 ⚠️ 仅限底边相关三线，腰上的中线、高、角平分线不具备该性质。 3. 等腰三角形是轴对称图形。 4. 角度计算必分类讨论：已知角可能是顶角或底角，杜绝漏解。 12.3.2 等腰三角形的判定 1. 等角对等边：三角形中两个角相等，则两角对应对边相等，三角形为等腰三角形。 2. 两种判定方法：① 证明两边相等；② 证明两角相等。 3. 逻辑区分： - 性质：边相等 → 角相等（由因推果） - 判定：角相等 → 边相等（判定形状） 12.4 几何互逆定理与对称模型 12.4.1 互逆命题和互逆定理 1. 互逆命题：两个命题题设、结论互相互换。所有命题都有逆命题。 2. 互逆定理：定理的逆命题为真且可证明，二者互为逆定理。 3. 核心规律：原命题真，逆命题不一定真；所有定理不一定有逆定理。 4. 常见互逆定理：等边对等角↔等角对等边、平行线性质↔平行线判定、垂直平分线性质↔判定、角平分线性质↔判定。 12.4.2 线段垂直平分线 1. 定义：垂直且平分一条线段的直线（唯一一条）。 2. 性质：垂直平分线上的点 → 到线段两端点距离相等。 3. 判定：到线段两端距离相等的点 → 在线段垂直平分线上。 4. 作用：快速转化线段长度，简化三角形周长计算。 12.4.3 角平分线 1. 定义：从角顶点出发，将角平分的射线（唯一一条）。 2. 性质：角平分线上的点 → 到角两边的垂线段距离相等。 3. 判定：角内部，到角两边距离相等的点 → 在角平分线上。 ⚠️ 易错：距离特指垂线段长度，非任意线段；必须强调“角的内部”。 全章高频易错汇总 1. 全等判定严禁混用：杜绝SSA、AAA判定全等； 2. HL定理仅限直角三角形，普通三角形不可使用； 3. 等腰三角形三线合一仅限底边，角度计算必须分类讨论； 4. 性质与判定逻辑不可颠倒：边等推角等是性质，角等推边等是判定； 5. 命题必有逆命题，定理未必有逆定理； 6. 垂直平分线是直线，角平分线是射线，概念不可混淆； 7. 角平分线定理的距离是垂线段，不是到顶点的距离。 全章解题思路总结 1. 证线段相等：优先用全等、垂直平分线性质、角平分线性质、等角对等边； 2. 证角相等：优先用全等、等边对等角、平行线性质； 3. 几何证明：先找隐藏条件（公共边、公共角、对顶角），再选合适定理，步步规范书写。 知识结构 全等三角形 命题与定理 三角形全等的判定 边角边(SAS) 角边角(ASA) 边边边(SSS) 斜边直角边(HL) 角角边(AAS) 知识结构 全等三角形 等腰三角形 等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合 等边三角形的各角都等于60° 有两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 逆命题与逆定理 线段垂直平分线上的点到两端的距离相等 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 角平分线上的点到角两边的距离相等 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 知识要点 全等三角形的性质： 如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等，对应角相等. 几何语言 ∵△ABC≌△DEF， ∴AB=DE，BC=EF，AC=DF， ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F. A B C D E F 全等三角形的判定： SAS ASA AAS SSS HL 等腰三角形的性质： 1.等腰三角形的两个底角相等. 简写成“等边对等角”. B C D A 几何语言 ∵AB=AC(已知)， ∴∠B=∠C(等边对等角). 【注意】“等边对等角”的前提是在同一个三角形中. 2.等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合. 简写成“等腰三角形的三线合一”. 几何语言 （1）∵AB=AC，BD=CD(已知)， ∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC(三线合一). （2）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD (已知)， ∴BD=CD，AD⊥BC(三线合一). （3）∵AB=AC，AD⊥BC(已知)， ∴∠BAD=∠CAD，BD=CD(三线合一). B C D A 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°. 几何语言 ∵在△ABC中，AB=AC=BC， ∴∠A=∠B=∠C=60°. 等腰三角形的判定： 1.有两个角相等的三角形是等腰三角形. 简写成“等角对等边”. 几何语言 在△ABC中， ∵∠B=∠C(已知)， ∴AB=AC(等角对等边). 即△ABC为等腰三角形. 等边对等角 等角对等边 2.三个角都相等的三角形是等边三角形. 几何语言 ∵∠A=∠B=∠C， ∴△ABC是等边三角形. 3.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 几何语言 ∵AB=AC，∠A=60°(或∠B=60°或∠C=60°)， ∴△ABC是等边三角形. 互逆命题和互逆定理： 互逆命题与互逆定理 互逆命题 第一个命题的条件是第二个命题的结论； 第一个命题的结论是第二个命题的条件. 概念 互逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理. 概念 线段垂直平分线： A B M N C P 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 几何语言 ∵MN⊥AB，AC=BC， ∴PA=PB. 判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 几何语言 ∵PA=PB， ∴点P在AB的垂直平分线上． 线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. 角平分线： 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等. 几何语言 ∵OC平分∠AOB， PD⊥OA， PE⊥OB. ∴PD=PE. 判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言 ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. ∴点P在∠AOB的平分线上. 返回 1．下列句子中，是定义的是(　　) A．在正数前面加上符号“－”的数是负数 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 A 中考考法 14 返回 2．下列语句中属于定理的是(　　) A．在直线AB上任取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是同位角 C．对顶角相等 D．直线AB和CD垂直吗 C 中考考法 15 返回 3．对于命题“若a2>b2，则a>b”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是(　　) A．a＝2，b＝1 B．a＝2，b＝－1 C．a＝－1，b＝0 D．a＝－1，b＝－2 C 中考考法 16 返回 4．如图，点A，D分别在线段CE，BF上，连结AB，CD，EF.现有以下三个论断：①AB∥CD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F.如果以其中两个论断为条件，另一个论断为结论构造命题，能够构成________个真命题． 3 中考考法 17 返回 5. 如图，AC与BD交于点O，在△AOB与△COD中，∠A＝∠C，请添加一个条件：____________________，使得△AOB≌△COD. OA＝OC(答案不唯一) 中考考法 18 返回 6．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点O，过点O作OF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点G，下列结论：①∠AOB＝135°；②BA＝BF；③△AOG≌△FOD；④BD＋AG＝AB.其中正确的结论有_______________．(填序号) ①②③④ 中考考法 19 7. 如图①，AD与BC交于点E，连结AB和CD，AB和CD的延长线交于点F，满足∠ABC＝∠ADC＝α， AE＝CF. (1)当α＝90°时，判断BE与BF的数量关系，并证明； 中考考法 20 中考考法 7. 如图①，AD与BC交于点E，连结AB和CD，AB和CD的延长线交于点F，满足∠ABC＝∠ADC＝α， AE＝CF. (2)如图②，当90°＜α＜180°时，求证：BE＝BF. 中考考法 22 返回 中考考法 返回 8. 如图所示，点C在线段AB上，△DAC和△EBC均是等边三角形．AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，连结MN.有如下结论：①△ACE≌△DCB，②CM＝CN，③AC＝DN，④MN∥AB，其中，正确的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．4 A 中考考法 24 返回 9. 如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M、点N为射线OA、射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN＝________． 80° 中考考法 25 10. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是线段BC上的任意一点，E是BC延长线上一点，CF平分∠ACE，∠ADF＝60°.求证：AD＝DF. 【证明】如图，过点D作DG∥AC交AB于点G. ∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°. ∵DG∥AC，∴∠BGD＝∠BAC＝60°， ∠BDG＝∠ACB＝60°.∴∠B＝∠BGD＝∠BDG＝60°. ∴△BGD为等边三角形，∴BG＝BD， ∴AB－BG＝BC－BD，即AG＝CD， 中考考法 26 返回 中考考法 11. 已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点． (1)如图①，E，F分别为AB，AC上的点，且BE＝AF，试判断△DEF的形状，并说明理由； 中考考法 28 【解】△DEF为等腰直角三角形．理由： 连结AD.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点， ∴∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，AD⊥BC. ∴∠B＝∠DAF＝∠BAD，∠ADB＝90°.∴BD＝AD. 又∵BE＝AF，∴△BDE≌△ADF. ∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF. ∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠ADB＝90°.∴△DEF为等腰直角三角形． 中考考法 (2)如图②，若E，F分别为AB的延长线、CA的延长线上的点，且仍有BE＝AF，请判断△DEF是否仍是(1)中的形状，并说明理由． 中考考法 30 【解】△DEF仍是等腰直角三角形．理由：连结AD. ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点， ∴∠EAF＝90°，∠ABC＝45°，∠BAD＝45°，AD⊥BC. ∴∠DBE＝135°，∠DAF＝∠BAD＋∠EAF＝135°，∠BAD＝∠ABC，∠ADB＝90°.∴∠DBE＝∠DAF，BD＝AD. 又∵BE＝AF，∴△DBE≌△DAF.∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF. ∴∠EDF＝∠BDE＋∠BDF＝∠ADF＋∠BDF＝∠ADB＝90°.∴△DEF是等腰直角三角形． 返回 中考考法 返回 12．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　) A．CD平分∠ACB B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．AB垂直平分CD D 中考考法 32 返回 13．如图，在△ABC中，∠A＝100°，点D是BC上的一点，BD，CD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F，则∠EDF＝____________． 100° 中考考法 33 14. 如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB＝DC，连结AD. (1)求证：∠CAD＝∠ACD； 【证明】∵l是AB的垂直平分线，点D在l上， ∴DA＝DB.又∵DB＝DC，∴DA＝DC，∴∠CAD＝∠ACD. 中考考法 34 返回 14. 如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB＝DC，连结AD. (2)连结BE，若BD⊥CD，求证：BE⊥AC. 【证明】∵BD⊥CD，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＋∠CBD＝90°，∴∠CAD＋∠ACD＋∠BAD＋∠ABD＝90°.∵DA＝DB，∴∠ABD＝∠BAD.又∵∠CAD＝∠ACD， ∴∠CAD＋∠BAD＝45°，即∠EAB＝45°. ∵l是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠EAB＝45°，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC. 中考考法 35 D 中考考法 36 返回 中考考法 返回 16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点C作CG⊥AB于点G，交AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F.下列结论中一定正确的是(　　) ①∠CED＝∠CDE；②S△AECS△AEG＝ACAG； ③∠ADF＝∠FDB；④CE＝DF. A．①②③④ 　B．①② C．①②③ D．①②④ D 中考考法 38 17. 如图，小颖同学想画∠AOB的平分线，可忘了带量角器和圆规，只有一个带刻度的直角三角尺，于是她做了如下操作：在OA，OB边上量取OC＝OD＝2 cm，分别过点C，D作CF⊥OA，DE⊥OB，CF与DE交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的平分线．请判断小颖的做法是否可行，并说明理由． 中考考法 39 中考考法 返回 中考考法 返回 18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，且AE＝AD，则∠EDC的度数是(　　) A．7.5° B．10° C．12.5° D．15° D 【点拨】设∠EDC＝x.因为AB＝AC，所以可设∠B＝∠C＝y，则∠AED＝∠EDC＋∠C＝x＋y.又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝x＋y，所以∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝2x＋y.又因为∠ADC＝∠B＋∠BAD，所以2x＋y＝y＋30°，解得x＝15°，所以∠EDC的度数是15°. 中考考法 42 返回 19. 如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，延长BA到点D，使AD＝AO，连结DO，若BD＝BC，∠ABC＝54°，则∠BCA的度数为________． 42° 【点拨】∵△ABC三个内角的平分线交于点O，∴∠ABO＝∠CBO，∠BAO＝∠CAO，∠BCO＝∠ACO.∵AD＝AO，∴∠D＝∠AOD，∴∠BAO＝2∠D.设∠D＝α，则∠BAO＝2α，∠BAC＝4α.易得△DBO≌△CBO，∴∠BCO＝∠D＝α，∴∠BCA＝2α，∴54°＋4α＋2α＝180°，∴α＝21°，∴∠BCA＝42°. 中考考法 43 20. 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B＝____________． 70°或20° 中考考法 44 返回 中考考法 21. 如图，AB＝5 cm，AC＝BD＝4 cm，∠CAB＝∠DBA＝60°.点E沿线段AB由点A向点B运动，点F沿线段BD由点B向点D运动，E，F两点同时出发，它们的运动时间记为t s．已知点E的运动速度是1 cm/s，如果顶点是A，C，E的三角形与顶点是B，E，F的三角形全等，那么点F的运动速度是__________________． 中考考法 46 返回 中考考法 22. 已知△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，△ADE为等腰直角三角形，AD＝AE，点D在直线BC上，连结CE. (1)若点D在线段BC上，如图①，求证：CE＝BC－CD. 中考考法 48 中考考法 (2)若D在CB的延长线上，如图②，其他条件不变，线段CE，BC，CD有怎样的关系？说明理由． 【解】当点D在CB的延长线上时，CE＝CD－BC，理由如下： ∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AB＝AC，AD＝AE， ∴∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠BCA＝45°， ∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE， 即∠BAD＝∠CAE， 中考考法 50 中考考法 (3)若D在CB的反向延长线上，如图③，其他条件不变，线段CE，BC，CD的关系是__________________(直接写出结论)． CE＝BC＋CD 【点拨】同(2)的方法得△DAB≌△EAC，∴BD＝CE，∴CE＝BC＋CD. 中考考法 52 (4)若CE＝10，CD＝4，则BC的长为________(请直接写出答案，不需要证明)． 14或6 【点拨】易知△DAB≌△EAC，∴BD＝CE.∵CE＝10，∴BD＝10.当点D在线段BC上时，由(1)知CE＝BC－CD，∴BC＝CE＋CD＝10＋4＝14，当点D在CB的延长线上时，由(2)知CE＝CD－BC，∴BC＝CD－CE＝－6，不成立，舍去；当点D在CB的反向延长线上时，由(3)知，CE＝BC＋CD，∴BC＝CE－CD＝10－4＝6. 返回 中考考法 53 【解】BE＝BF，证明如下： ∵∠ABC＝∠ADC＝α＝90°， ∴∠A＋∠AEB＝90°，∠C＋∠CED＝90°，∠CBF＝90°. ∵∠AEB＝∠CED，∴∠A＝∠C. 在△ABE和△CBF中， ∴△ABE≌△CBF(AAS)，∴BE＝BF. 【证明】如图，在CB上截取CG＝AB，连结FG， ∵∠ABC＝∠ADC＝α，∴∠AFC＋∠C＝∠AFC＋∠A， ∴∠C＝∠A.在△ABE和△CGF中， ∴△ABE≌△CGF(SAS)，∴BE＝GF，∠ABE＝∠CGF， ∴∠GBF＝∠BGF，∴BF＝GF，∴BE＝BF. ∵∠ADF＋∠FDC＝∠B＋∠GAD，∠ADF＝∠B＝60°，∴∠GAD＝∠FDC. ∵CF平分∠ACE，∠ACB＝60°， ∴∠ACF＝∠ACE＝×(180°－60°)＝60°. ∴∠DCF＝∠BCA＋∠ACF＝120°. ∵∠BGD＝60°，∴∠AGD＝120°. ∴∠AGD＝∠DCF.∴△AGD≌△DCF(ASA)． ∴AD＝DF. 15.如图，OP平分∠AOB，PF⊥OA于点F，点D在OB上，DH⊥OP于点H，若OD＝4，OP＝8，PF＝3.5，则DH的长为(　　) A．4.5 B．5 C．7 D. 【点拨】如图，作PN⊥OB于N.∵OP平分∠AOB，PF⊥OA，PN⊥OB，∴PF＝PN＝3.5.∵S△ODP＝OP·DH＝OD·PN，∴×8DH＝×4×3.5，解得DH＝. 【解】小颖的做法可行，理由如下： ∵CF⊥OA，DE⊥OB，∴∠OCF＝∠ODE＝90°. 在△COF和△DOE中， ∴△COF≌△DOE(ASA)，∴∠OFC＝∠OED，OE＝OF. 又∵OC＝OD，∴OE－OC＝OF－OD，即CE＝DF. 在△PCE和△PDF中， ∴△PCE≌△PDF(AAS)．∴CP＝DP. 又∵CF⊥OA，DE⊥OB，∴OP是∠AOB的平分线． 【点拨】如图①，当AB的垂直平分线与线段AC相交时，则可得∠ADE＝50°，∠AED＝90°，∴∠A＝90°－50°＝40°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝＝70°； 如图②，当AB的垂直平分线与线段CA的延长线相交时，则可得∠ADE＝50°，∠AED＝90°， ∴∠DAE＝90°－50°＝40°，∴∠BAC＝140°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝＝20°.综上，∠B的度数为70°或20°. cm/s或1 cm/s 【点拨】设点F的运动速度是x cm/s. ∵∠CAB＝∠DBA＝60°，∴顶点是A，C，E的三角形与顶点是B，E，F的三角形全等时，有两种情况：①AE＝BE，AC＝BF，∴1×t＝5－1×t，解得t＝.∴4＝x，解得x＝；②AE＝BF，AC＝BE，∴1×t＝tx，解得x＝1.综上，点F的运动速度为 cm/s或1 cm/s. 【证明】∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AB＝AC，AD＝AE， ∴∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠BCA＝45°， ∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△DAB和△EAC中， ∴△DAB≌△EAC(SAS)，∴BD＝CE.∴CE＝CB－CD. 在△DAB和△EAC中， ∴△DAB≌△EAC(SAS)，∴BD＝CE.∴CE＝CD－BC. $