25.2.2　公式法 第1课时　一元二次方程根的判别式 教案 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该教案聚焦一元二次方程根的判别式核心知识点，通过解四个不同根情况的方程导入，引导学生观察根的差异，关联配方法过程，建立“方程根与什么有关”的问题支架，梳理知识脉络。 以问题驱动探究，通过例1不解方程判根、例2确定字母系数范围，培养抽象能力与推理意识，课堂训练结合三角形形状判断渗透模型意识，助力学生提升逻辑思维与应用能力，帮助教师高效突破重难点，落实核心素养。

25.2.2　公式法 第1课时　一元二次方程根的判别式 教学目标 1.理解一元二次方程根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理. 2.通过用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），体会用分类讨论思想分析方程是否有解. 重点难点 重点：理解根的判别式. 难点：用根的判别式判断一元二次方程根的情况. 教学过程 情景导入 解下列一元二次方程： （1）x2＋4x＋2＝0；（2）3x2－6x＋1＝0； （3）4x2－16x＋17＝0；（4）3x2＋4x＋7＝0. 由学生观察讨论得到：用配方法解不同的一元二次方程的过程中，相同之处是配方的过程（程序化的操作），不同之处是方程的根的情况及其方程的根.既然过程是相同的，为什么会出现根的不同？方程的根与什么有关系？有怎样的关系？如何进一步探究？ 探究点一　不解方程判别一元二次方程的根的情况 【例1】不解方程判别下列一元二次方程根的情况： （1）x2＋1＝2x；　（2）5（x2＋1）－7x＝0； （3）2x2＋3x－1＝0. 【解析】首先将方程整理成一般形式，然后确定a，b，c的值，代入b2－4ac中求出Δ，由“Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0”确定方程解的三种情况. 【解】（1）原方程可变形为x2－2x＋1＝0. ∵a＝1，b＝－2，c＝1， ∴Δ＝b2－4ac＝（－2）2－4×1×1＝4－4＝0， ∴此方程有两个相等的实数根. （2）原方程可变形为5x2－7x＋5＝0. ∵a＝5，b＝－7，c＝5， ∴Δ＝b2－4ac＝（－7）2－4×5×5＝－51＜0， ∴此方程没有实数根. （3）∵a＝2，b＝3，c＝－1， ∴Δ＝b2－4ac＝32－4×2×（－1）＝17＞0， ∴此方程有两个不相等的实数根. 【规律总结】（1）若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的左边是一个完全平方式，则该方程有两个相等的实数根；（2）若方程中a与c异号，或b≠0且c＝0，则该方程有两个不相等的实数根；（3）当方程中a与c同号时，必须先计算Δ，再通过Δ的符号来判别根的情况. 探究点二　由根的情况确定字母系数的取值范围 【例2】若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A.k＞－1 B.k＜1且k≠0 C.k≥－1且k≠0 D.k＞－1且k≠0 【解析】由于一元二次方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即Δ＝b2－4ac＝（－2）2－4k·（－1）＝4＋4k＞0，解得k＞－1.又∵一元二次方程的二次项系数不能为零，即k≠0，∴k的取值范围是k＞－1且k≠0. 【答案】D 【规律总结】一元二次方程有两个不相等的实数根⇔b2－4ac＞0.根的判别式是针对一元二次方程而言的，因此要特别注意：当二次项系数中含有待定系数时，要注意二次项系数不为零的条件. 1.x2－5x＋6＝0的根的情况是（　　） A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法判断 2.关于x的方程（a＋c）x2＋2bx－a＋c＝0有两个相等的实数根，则正数a，b，c能否作为一个三角形的三边长？如果可以，该三角形是什么形状的三角形？ 第1课时　一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式. 一般地，式子b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ＝b2－4ac. 2.根的判别式的应用. （1）不解方程，判定根的情况； （2）由根的情况确定字母系数的取值范围. 本节课学习了一元二次方程的根的判别式，会判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况：化成一般形式→求Δ→判断Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0→得出根的情况. 教学反思 　　通过本节课的学习，学生知道了一元二次方程根的判别式.通过例题讲解和课堂中的练习，学生感受到了根据根的判别式在不解方程的情况下就可以判断根的情况给解题带来的便捷，并反过来根据根的情况求未知系数的取值范围.因此，学生要熟练掌握一元二次方程根的判别式的知识，提高应用根的判别式的能力.在使用根的判别式时，要先考虑系数的符号. 　　答案 课堂训练 1.C 2.解：∵关于x的方程（a＋c）x2＋2bx－a＋c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即（2b）2－4（a＋c）（－a＋c）＝0， 整理，得b2＋a2－c2＝0， 解得a2＋b2＝c2， ∴正数a，b，c能作为一个三角形的三边长，且这个三角形是直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $