25.2.2 公式法 教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该教案聚焦公式法解一元二次方程核心知识点，通过复习配方法步骤与一元二次方程一般式转化，巩固旧知，为推导求根公式及判别式搭建学习支架，衔接配方法与公式法知识脉络。 该资料以“推导—归纳—应用”为主线，通过完整推导求根公式培养推理意识，结合雕像高度问题渗透模型意识，特色作业让学生推导公式并创编含参数方程提升抽象能力。梯度例题与分层练习助教师高效教学，帮学生夯实运算与逻辑推导能力。

第二十五章 一元二次方程 25.2.2 公式法   一、教材分析 《公式法解一元二次方程》是一元二次方程单元核心课时，承接配方法，是配方法一般化推导的成果，既是对配方变形知识的巩固升华，也是后续二次函数、一元二次不等式、二次方程综合应用题的必备基础.判别式 Δ= b2－4ac是中考高频考点，可快速预判方程根的情况，求根公式是解一元二次方程通用解法，完善一元二次方程解法体系，在初中代数运算体系中承上启下，搭建代数式变形与方程综合应用的桥梁. 本课遵循“旧知回顾——一般推导——分类归纳——定义命名——例题实操——巩固练习”的编排逻辑：先用配方法探究一般形式ax 2+bx+c=0 (a≠ 0)求解过程；通过对b2－4ac分三种取值讨论，得到根的三种情况，引出判别式概念；归纳推导出求根公式，定义公式法；设置四道梯度例题，示范化一般式、定a，b，c、算判别式、代公式求解完整步骤，包含两不等实根、两相等实根、无实根三类题型；结合实际应用题体现公式实用价值；最后配套课堂练习夯实解题步骤，形成完整探究应用闭环.   二、教学目标 1. 理解求根公式推导过程，熟记判别式与求根公式，能用公式法解方程，借助判别式判断方程根的情况. 2. 完整推导一元二次方程求根公式，精准判定a、b、c符号，弄懂判别式不同取值对应根情况的内在原理. 3. 经历公式推导、分类归纳、练习应用的完整流程，体会转化与分类思想，提升代数运算与逻辑推导能力. 4. 在公式推导中养成严谨计算习惯，体会特殊到一般的数学思想，树立克服繁琐运算的探究信心.   三、教学重难点 重点：理解求根公式推导过程，熟记判别式与求根公式，能用公式法解方程，借助判别式判断方程根的情况. 难点：完整推导一元二次方程求根公式，精准判定a、b、c符号，弄懂判别式不同取值对应根情况的内在原理.   四、教学过程 · 复习回顾 问题1：请写出配方法完整的解题步骤. 答：移项 → 二次项系数化为1 → 配方(两边加一次项系数一半的平方)→ 开平方→ 求解. 问题2：将下列一元二次方程写成一般形式. (1) 3x(x－3)=2(x－1)(x+1) (2)(x+2)2=2x+12 解：(1)原方程可化为：x2－9x+2=0. (2)原方程可化为：x2+2x－8=0. 小提示：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式：ax2 + bx + c = 0(a≠0). 师生活动：教师提问回顾配方法步骤、一元二次方程一般式转化；学生口述配方法流程，独立展开整理两个方程，上台书写化简结果，师生共同核对正误，纠正去括号、移项易错点. 设计意图：巩固旧知，夯实配方解题基础与方程变形运算能力，为本节课推导求根公式、运用公式法解方程做好铺垫，快速衔接新课内容. · 探究新知 活动一：探究根的判别式 问题3：能否用配方法得出 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的解？ 师生活动：教师引导学生对一元二次方程一般式配方推导，逐层设问启发学生分类讨论b2－4ac取值；学生跟随演算推导，自主归纳判别式定义与根的三种对应情况，独立完成随堂练习题，师生讲评易错注意点. 分析：我们可以根据用配方法解一元二次方程的经验来解决这个问题. 移项，得：ax 2+ bx=-c 二次项系数化为1，得： 配方，得： 即 ① 追问：能用直接开平方解吗? 问题4：如何解 ①？ 思路：需要对的值进行分类讨论，因为a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 因此只需要对b2－4ac 的值讨论. （1）当b2－4ac>0时 ，由①得， . 方程有两个不相等的实数根 x1＝，x2＝ . （2）当b2－4ac=0时 ，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝ . （3）当b2－4ac<0时 ，由①可知， . 而 x 取任何实数都不能使 ，因此方程无实数根. 可以发现，式子 b2－4ac 可以判别一元二次方程的根的情况，因此它叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ= b2－4ac. 总结：由上可知，对于方程ax2 + bx + c = 0(a≠0) 当Δ＞ 0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ= 0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程无实数根. 练一练：关于x的方程2x2－mx+m－3=0的根的情况是( ). A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 分析：由条件可得b2－4ac=(－m)2－4×2×(m－3)=m2－8m+24=(m－4)2+8>0. ∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根.故选：B. 答：B 注意：(1)一元二次方程有两个实数根，包含两不等、两相等实数根两种情况，对应判别式Δ≥ 0，注意不要遗漏等号； (2)判别式仅适用于一元二次方程，若无法确定方程次数，需要分情况讨论. 设计意图：依托旧知推导判别式，体会分类讨论思想，理解判别式判定根的原理，掌握判别式用法，明晰易错细节，为公式法解方程筑牢理论根基. 活动二：探究求根公式与公式法 问题5：结合以上推导可以发现，只有b2－4ac≥0时方程才有解，那么一元二次方程一般式的解可以归纳成什么形式呢? 师生活动：教师设问引导学生归纳求根公式，梳理公式法解题注意事项；学生齐读识记公式，梳理解题步骤，跟随教师示范完成实际应用题求解，辨析根的实际取舍，交流确定a、b、c符号的易错要点. 答：思路梳理：当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为 x＝ 注：可直接代入系数求方程的解 归纳总结：这个式子叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式. 重点提示：求根公式适用于一切a≠0且b2－4ac≥0的一元二次方程，能快速直接求出方程的实数根. 求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0的结果. 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 注意：①必须先将方程化成一般形式，再确定a，b，c的值，确定a，b，c的值时要注意它们的符号； ②判定b2 － 4ac ≥ 0后，才可以用求根公式求解． 问题6：回到本章引言中的问题，雕像下部高度x(单位：m)满足方程 x2 + 5x － 25 = 0. 用公式法解这个方程. 解：a＝1，b＝ 5，c＝－ 25. 用公式法解这个方程，得 即 x1＝，x2＝ 如果结果保留小数点后两位，那么 x1≈3.09，x1≈－8.09 关于这两个根，只有x1≈3.09符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身长约为3.09m. 设计意图：承接判别式推导成果，提炼通用求根公式，掌握公式法解题流程，结合实际问题体会方程应用价值，规范解题格式，落实符号运算易错提醒. · 应用新知 【教材例题】 师生活动：教师分步示范四类典型例题，强调确定a、b、c符号的易错点；学生跟随演算，对比判别式不同取值对应解题结果，集体梳理“化、定、算、求”四步解题流程，相互订正运算失误. 例1 用公式法解下列方程： (1) x2－4x－7=0； (2) 2x2－2 x＋1＝0； (3) 5x2－3x=x+1； (4) x2+17=8x . 解：(1)因为a=1，b=－4，c=－7， 所以 Δ=b2－4ac=(－4)2－4×1×(－7)=44>0 方程有两个不相等的实数根 x=， 即 x1＝，x2＝. 注意：确定a，b，c的值时，要注意它们的符号. (2)因为a=2，b=－，c=1， 所以 Δ=b2－4ac=()2－4×2×1=0 方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝. (3)方程化为 5x2－4x－1=0，此时 a=5，b=－4，c=－1， 所以 Δ=b2－4ac=(－4)2－4×5×(－1)=36>0 方程有两个不相等的实数根 x=， 即 x1＝1，x2＝ . (4)方程化为 x2－8x+17=0， 此时 a=1，b=－8，c=17， 所以 Δ=b2－4ac=(－8)2－4×1×17=－4<0 方程无实数根. 总结：公式法解一元二次方程的一般步骤： (1)化：先把方程化为一般形式； (2)定：确定a，b，c的值； (3)算：计算b2－4ac的值； (4)求：当b2－4ac≥0时，把a，b及b2－4ac的值代入一元二次方程的求根公式：x＝ ，求得方程的根；当b2－4ac<0时，方程没有实数根. 设计意图：借助分层例题熟练公式法完整步骤，覆盖根的三种情况，规范书写格式，强化判别式前置判断意识，提升代数式运算严谨性，夯实解题实操能力. 【经典例题】 师生活动：教师出示两道综合例题，引导学生根据相反数定义列方程、利用判别式完成证明；学生独立列式演算，两名学生板演解题过程，师生共同订正步骤，交流含参数方程代入求值的解题思路与易错点. 例2 当为何值时，代数式的值与代数式的值互为相反数？ 解：根据题意，得， 整理，得． ， ， 解得，． 例3已知关于的方程 求证：该方程总有两个不相等的实数根 若该方程有一个根为，求的值． 解：证明：， 方程总有两个不相等的实数根． 把代入原方程，得， 即， ，，， ， 解得，． 设计意图：拓展公式法应用场景，训练列方程建模、判别式证明、含参数方程求解能力，整合新旧知识，提升学生分析综合题型、规范完整解题的能力. · 课堂练习 【教材练习】 用公式法解下列方程： (1) x2+x－6=0； (2) x2－x－=0； (3) 3x2－6x+4=0； (4) 2x2－3x=0； (5) x2+4x+8=4x+11； (6) x(2x－4)=5－8x. 解：(1)∵a=1，b=1，c=－6 ∴Δ=b2－4ac=12－4×1×(－6)=25>0 方程有两个不相等的实数根 即 x1=2，x2=－3 (2)∵a=1，b=－ ，c=－ ∴Δ=b2－4ac=－4×1×(－ )=4>0 方程有两个不相等的实数根 即 x1=，x2= (3)∵a=3，b=－6，c=4 ∴Δ=b2－4ac=(－6)2－4×3×4=－12<0 方程无实数根. (4)∵a=2，b=－3 ，c=0 ∴Δ=b2－4ac=－4×2×0=9>0 方程有两个不相等的实数根 即 x1=0，x2= . (5)移项，合并得 x2-3=0 此时 a=1，b=0 ，c=-3 ∴Δ=b2－4ac=-4×1×(-3)=12>0 方程有两个不相等的实数根 即 x1=，x2= . (6)方程化为 2x2+4x－5=0 此时 a=2，b=4 ，c=－5 ∴Δ=b2－4ac=－4×2×(－5)=56>0 方程有两个不相等的实数根 即 x1=，x2= . 师生活动：教师布置六道梯度练习题，学生独立用公式法完整求解，选取学生板演作答；全班对照订正答案，梳理去括号、整理一般式、判别式运算中的常见错误，灵活对比简便解法，夯实解题规范. 设计意图：分层巩固公式法解题四步骤，覆盖判别式三种结果题型，强化整理方程、识别a，b，c的运算能力，查漏补缺，提升运算准确率与解题熟练度. 【限时训练】 1.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，当为正整数时，的值为(    ) A. B. C. 或 D. 【答案】C  【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理，得：， 则， 又为正整数， 或， 故选：． 2.若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  3.若一元二次方程的两个实数根中较小的一个根是，则的值为     A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：的两个实数根中较小的一个根是， ， 解得：， 故选：． 4.若，，是的三边的长，且关于的方程有两个相等的实数根，则是(     ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A  5.已知关于的一元二次方程． 求方程的根； 当为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 【答案】(1)解：根据一元二次方程的定义，得m≠1. 因为a＝m－1，b＝－2m，c＝m＋1， 所以b2－4ac＝(－2m)2－4(m－1)(m＋1)＝4， 所以x＝，所以x1＝，x2＝1. (2)由(1)知，x1＝＝1＋. 因为方程的两个根都为正整数，所以是正整数， 所以m－1＝1或m－1＝2，解得m＝2或m＝3， 所以当m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．  师生活动：教师布置五道综合练习题，学生独立限时完成作答，指名学生汇报思路与答案；师生逐题核对讲评，梳理含参数判别式、根与代数式变形、几何综合类题型解题套路，集中纠正易错疏漏. 设计意图：全面复盘判别式、求根公式核心知识，融合代数式变形、几何、参数讨论综合考点，查漏补缺，提升学生灵活运用公式法分析解决复杂题型的综合解题能力. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.什么是根的判别式？ 3.根的判别式与根的关系是什么？ 4.什么是求根公式？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：溯源求根公式，辨析判别式内涵 任务：1.完整默写用配方法推导求根公式全过程，标注每一步变形依据与易错点； 2.创编 2 道含参数一元二次方程，探究参数取何值时方程有两个不等实根、两个相等实根、无实根，写下简短探究小结. 要求：1.推导步骤严谨规范，符号运算准确无误； 2.格式完整，创编题目典型有代表性； 3.不少于三句话，梳理配方法与公式法的内在联系，独立完成探究，杜绝照搬答案. 学科网（北京）股份有限公司 $