2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）（导学案）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦二次函数、一元二次方程与不等式的联系及解法，通过类比初中一次函数与方程、不等式的思想方法，引导学生从二次函数图像探究不等式解集，搭建前后知识的学习支架。 以数形结合思想为主线，用表格梳理三者对应关系、解题步骤及特殊解法，题型覆盖不含参、含参、换元转化等，培养学生数学眼光（几何直观）、数学思维（推理与运算能力），提升问题解决与严谨表达能力。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）（导学案） 1、理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的联系，掌握一元二次不等式的解法，能求解简单含参一元二次不等式。 2、经历从函数图象探究不等式解集的过程，体会数形结合、等价转化的数学思想，提升观察归纳与代数运算能力。 3、感受数学知识间的内在关联，体会数形结合解决问题的优势，增强学好数学的信心，养成严谨规范的解题习惯。 重点：理解二次函数、一元二次方程与不等式内在联系，掌握利用二次函数图像求解一元二次不等式基本方法。 难点：厘清三者之间的转化关系，准确根据抛物线开口与根的情况确定解集，理解数形结合的思想运用。 阅读教材，完成以下问题： 【1】一元二次不等式的定义 定义 我们把只含有一个________，并且未知数的最高次数是________的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ，，，，其中，a，b，c均为常数 【2】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表，其中 判别式 函数图像 ________ ________ ________ 方程的根 ________ ________ ________ 不等式解集 ________ ________ ________ 不等式解集 ________ ________ ________ 补充：若，先两边乘，不等号反向，再按上表求解。 【3】一元二次不等式通用解题步骤 ①________：移项整理，保证一侧为 0，二次项系数化为正数； ②________：计算，判断根的个数； ③________：时解方程得到零点； ④________：开口向上，大于取两边，小于取中间；直接根据图象判断。 ⑤________：特殊不等式快速处理 ⑥________：解集端点包含根； ⑦________：，根据二次项系数符号及移项后常数项的符号判断解集； ⑧________：，因式分解. 【4】一元二次不等式的特殊解法 (1)用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式 通过配方总是可以变为_____________________或___________________________的形式，再由k的______，可得原不等式的解集. (2)用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果，则不等式的解集是____________，不等式的解集是_________________. 例：不等式的解集是____________，的解集是____________. 探究一、二次函数与二次不等式 思考1：在初中，我们从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法。类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ 【例1】求不等式的解集。 【例2】求不等式的解集。 【例3】求不等式的解集。 【知识点拨】 一元二次不等式的二次项系数是负数()时，通常先把二次项系数化成正数，再求解。 【题型1：不含参一元二次不等式的解法】 1、解下列不等式： （1); （2); （3); （4). 【题型2：含参数的一元二次不等式的解法】 1、解关于的不等式 【知识点拨】 解含参数的一元二次不等式的一般步骤： 注：求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算。 2、 ，求关于的不等式的解集。 【题型3：利用换元法转化为一元二次不等式求解】 1、解下列不等式： （1） ； （2） ； （3） ． 【知识点拨】 本题通过换元，令分别等于 、 、 ，将所求解的不等式转化为关于的一元二次不等式进行求解。要注意这里 、 、 均为非负数，故均有，求出的取值范围，进而可确定原不等式的解集． 【题型4：三个“二次”之间的关系】 1、已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. 2、(多选）若的解集是，则下列正确的是(　). 且 不等式的解集是 3、不等式的解集为，则（ ）. . . . 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 4．已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（    ） A．3或－1 B．3 C．－1 D．－3或1 5．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 7．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 8．若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A． B． C．1或-1 D．4 二、多选题 9．若命题“”是假命题，则m的值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．4 10．已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 11．已知不相等的实数，满足，则下面说法正确的是（   ） A．存在实数使得，是方程的两根 B．若，则的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 三、填空题 12．关于的不等式的正整数解有________个。 13．已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 14．若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 四、解答题 15．（1）求不等式的解集； （2）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 16．已知函数，. (1)当时，求不等式的解集； (2)当，时，有，求的最小值，并求取最小值时a，b的值. 17．设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围． 18．(1)已知都是实数，比较与的大小． (2)求解不等式组 19．设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． (1)若为真命题，求实数 的取值范围； (2)若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）（导学案）（解析版） 1、理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的联系，掌握一元二次不等式的解法，能求解简单含参一元二次不等式。 2、经历从函数图象探究不等式解集的过程，体会数形结合、等价转化的数学思想，提升观察归纳与代数运算能力。 3、感受数学知识间的内在关联，体会数形结合解决问题的优势，增强学好数学的信心，养成严谨规范的解题习惯。 重点：理解二次函数、一元二次方程与不等式内在联系，掌握利用二次函数图像求解一元二次不等式基本方法。 难点：厘清三者之间的转化关系，准确根据抛物线开口与根的情况确定解集，理解数形结合的思想运用。 阅读教材，完成以下问题： 【1】一元二次不等式的定义 定义 我们把只含有一个________，并且未知数的最高次数是________的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ，，，，其中，a，b，c均为常数 【答案】 未知数 2 【2】二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表，其中 判别式 函数图像 ________ ________ ________ 方程的根 ________ ________ ________ 不等式解集 ________ ________ ________ 不等式解集 ________ ________ ________ 补充：若，先两边乘，不等号反向，再按上表求解. 【答案】 两根 二重根 无实根 全体实数 【3】一元二次不等式通用解题步骤 ①________：移项整理，保证一侧为 0，二次项系数化为正数； ②________：计算，判断根的个数； ③________：时解方程得到零点； ④________：开口向上，大于取两边，小于取中间；直接根据图象判断。 ⑤________：特殊不等式快速处理 ⑥________：解集端点包含根； ⑦________：，根据二次项系数符号及移项后常数项的符号判断解集； ⑧________：，因式分解. 【答案】 ①标准化 ②算判别式 ③求方程根 ④图象写解集 ⑤拓展补充 ⑥含等号 ⑦缺一次项 ⑧缺常数项 【4】一元二次不等式的特殊解法 (1)用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式 通过配方总是可以变为_____________________或___________________________的形式，再由k的______，可得原不等式的解集. 【答案】 正负 (2)用因式分解法解一元二次不等式 一般地，如果，则不等式的解集是____________，不等式的解集是_________________. 例：不等式的解集是____________，的解集是____________. 【答案】 探究一、二次函数与二次不等式 思考1：在初中，我们从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法。类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ 【答案】一元二次函数与x轴交点的横坐标⇔一元二次方程的解⇔一元二次不等式的解 【例1】求不等式的解集。 【分析】求根，根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集 解：对于方程， ∵， ∴它有两个实数根。解得 画出二次函数的图象， 结合图象得不等式的解集为 或. 【例2】求不等式的解集。 解：对于方程， ∵，∴它有两个实数根。解得 画出二次函数的图象， 结合图象得不等式的解集为 . 【例3】求不等式的解集。 解：不等式可化为 ∵，∴方程无实数根。 画出二次函数的图象， 结合图象得不等式的解集为. 因此，原不等式的解集为. 【知识点拨】 一元二次不等式的二次项系数是负数()时，通常先把二次项系数化成正数，再求解。 【题型1：不含参一元二次不等式的解法】 1、解下列不等式： （1); （2); （3); （4). 解：(1)方程＝0 的解为. 根据 的图象 可得原不等式的或. (2)不等式两边同乘以－1，得≤0. 方程的解为 ＝－3，＝1. 根据的图象， 可得原不等式的解集为. (3)方程，有两个相同的解＝＝1. 根据 的图象， 可得原不等式的解集为. (4)因为∆＜0，所以方程，无实数解。 根据的图象， 可得原不等式的解集为. 【题型2：含参数的一元二次不等式的解法】 1、解关于的不等式 解：①若时，则原不等式可化为，即. ②若，原不等式可化为. 当时，原不等式可化为 ∵，∴或 当时，原不等式可化为 若，即则 若，即则 若，即则 综上所述，当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 【知识点拨】 解含参数的一元二次不等式的一般步骤： 注：求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算。 2、 ，求关于的不等式的解集。 解： ∵ 当时，有 ∴不等式的解集为. 当时，有 ∴不等式的解集为. 当时，有 ∴不等式的解集为. 【题型3：利用换元法转化为一元二次不等式求解】 1、解下列不等式： （1） ； （2） ； （3） ． 解： （1）：原不等式可化为，令 ， 则不等式可化为,解得 ， 又,,即, ． 故原不等式的解集为 }。 （2）：原不等式可化为，令 ，则不等式可化为,解得 ,又， ,即, ． 故原不等式的解集为 ． （3）：原不等式可化为，令 ，则不等式可化为 ,解得或 （舍去）， ,或 ．故原不等式的解集为或 。 【知识点拨】 本题通过换元，令分别等于 、 、 ，将所求解的不等式转化为关于的一元二次不等式进行求解。要注意这里 、 、 均为非负数，故均有，求出的取值范围，进而可确定原不等式的解集． 【题型4：三个“二次”之间的关系】 1、已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. 解： ∵关于的不等式的解集为， ∴，且是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴不等式化为， 即，解得 因此不等式的解集为 2、(多选）若的解集是，则下列正确的是(　). 且 不等式的解集是 【答案】 3、不等式的解集为，则（ ）. . . . 【答案】 一、单选题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式可解得，即， ∵任何集合和空集的交集都是空集，∴. 2．已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集定义计算. 【详解】由已知， 所以. 3．若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（ ） A． B． C． D．的两根为 【答案】D 【详解】因为一元二次不等式的解集是或， 所以且的两根为， 所以，即， 所以，即， 故ABC错误，D正确。 4．已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（    ） A．3或－1 B．3 C．－1 D．－3或1 【答案】B 【详解】由题设分式有意义，得. 将题设等式两边同乘，得. 由韦达定理得，，所以， 即，解得或. 又因为方程有两个不相等的实数根，所以. 当时条件成立；当时，不符合题意，因此. 5．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求解一元二次不等式得到对应解集，通过判断两个解集的集合包含关系，结合充分必要条件的定义得出结论。 【详解】不等式解集为， 所以，“”是“”的必要不充分条件。 6．二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点位置以及特殊点的函数值，逐一判断各选项的正误。 【详解】由二次函数的图象可知： 图象开口向下，故； 图象与轴交于负半轴，故. 所以，故选项A错误； 图象的对称轴在轴右侧，即. 因为，所以，从而. 所以，故选项B错误； 由上述分析知，所以. 又因为， 所以，所以C正确； 当时，. 由图象可知，当时，. 因为对称轴在轴右侧，抛物线在对称轴左侧单调递增， 所以当时，函数值小于时的函数值， 即，所以，所以D错误。 7．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】利用绝对值的意义，分和两种情况，再利用一元二次不等式的解法，即可求解。 当时，原不等式等价于，解得，所以， 当时，原不等式等价于，解得，所以， 综上，原不等式的解为. 8．若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（ ） A． B． C．1或-1 D．4 【答案】B 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系，结合题意，列出方程，即可求解。 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，且，解得， 因为，所以，解得或（舍去）。 所以实数的值为. 二、多选题 9．若命题“”是假命题，则m的值可以是（    ） A．0 B． C．2 D．4 【答案】AB 【详解】由题意可知：命题“”是真命题， 则，解得， 结合选项可知AB正确，CD错误。 10．已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确。 11．已知不相等的实数，满足，则下面说法正确的是（   ） A．存在实数使得，是方程的两根 B．若，则的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】结合韦达定理、基本不等式、二次函数值域求解，先利用题干等式转化为韦达定理形式，再分别分析各选项。 【详解】选项A：若、是方程的两根， 由韦达定理得，，代入题干， 左边，右边，等式成立；又， 则，即或时存在这样的，A正确； 选项B：若，由基本不等式， 代入得，令， 则，解得即，当且仅当时等号成立， 但，故，即范围为，B正确； 选项C：令，则，则、是方程的两根， 判别式，解得或， 即的范围是，并非仅，C错误； 选项D：， 由：当时，，故； 当时，，故，综上范围为，D正确。 三、填空题 12．关于的不等式的正整数解有________个。 【答案】2 【详解】由题，，正整数解只有1和2. 13．已知不等式的解集为，则不等式的解集为________ 【答案】 【分析】先根据不等式的解集与一元二次方程根的关系，求得的值，再结合一元二次不等式的解法，即可求解。 【详解】由不等式的解集为，即是方程的两个实数根， 所以，可得， 则不等式，即为，即， 化简得，解得或， 即不等式的解集为. 14．若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布直接求解． 【详解】方程在上有两个不相等的实数根， ，解得． 四、解答题 15．（1）求不等式的解集； （2）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】(1) ；(2) 【分析】（1）将不等式左边配方，转化为 ，即得答案； （2）利用一元二次不等式的解以及韦达定理，可得到 且 ，代入到中，利用一元二次不等式的解法可得答案。 【详解】（1）原不等式可化为：， 故该不等式的解集为； （2）不等式的解集为 ， 这说明抛物线开口向下， 同时，和是方程的两个实数根， 利用韦达定理得：，所以 且 ， 代入要求解的不等式中，得：， 因为，所以，解得：或， 故不等式的解集为 。 16．已知函数，. (1)当时，求不等式的解集； (2)当，时，有，求的最小值，并求取最小值时a，b的值. 【答案】(1) (2)最小值为，此时， 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可得答案； （2）由可得，再利用基本不等式“1”的妙用可得答案。 【详解】（1）当时，不等式可化为， 即：，解得：， 即原不等式的解集为. （2）由可知，即：. 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为，此时. 17．设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由知，解得，   当时，， 故或，   ∴. （2）∵“”是“”的充分不必要条件，∴B是A的真子集，                          ∴当时，，解得，显然成立；   当时，，且及中等号不能同时取得， 解得，                              综上，m的取值范围是． 18．(1)已知都是实数，比较与的大小． (2)求解不等式组 【答案】(1)当时， ;当或时， . (2) 【详解】（1）由 ，当且仅当时，等号成立， 所以当时， . 所以当或时， . （2）由 得 所以 或 ； 由 ，移项通分得 即 ，所以，解得， 由， 所以不等式组的解是. 19．设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． (1)若为真命题，求实数 的取值范围； (2)若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）若为真命题，则对恒成立， 又， 故当时，， ，即． （2）若为假命题，由（1）知， 若为假命题，则，为真命题， 即对恒成立， ，都为假命题时，． 至少有一个是真命题时，或． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $