2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）导学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

普通高中教科书人教A版高一数学 必修一 2.3 一元二次不等式的解法（第1课时） 课时目标： 1. 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 2. 能够借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，体会数学的整体性. 新知一 一元二次不等式 活动1：熊猫饲养员计划在靠墙位置为熊猫圈建一个矩形活动区域，现有栅栏12m，要求活动区域面积大于10m²，则这个与墙平行的栅栏长度范围为多少？ 问题1：假设与墙平行的栅栏长度为，根据题意列出相应的数学关系式. 问题2：观察该关系式的特点，你能归纳出一元二次不等式的定义吗？ 我们把只含有 未知数,并且未知数的最高次数是 的不等式,称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是 或 ,其中 ， ， 均为常数,.所有使一元二次不等式成立的解组成的集合成为一元二次不等式的解集（用集合的描述法表示）. 练习1：不等式是一元二次不等式吗？为什么？ 练习2：不等式 是一元二次不等式吗？为什么？ 练习3：当 满足什么条件时，不等式 是一元二次不等式？ 新知二 二次函数的零点 一般地，对于二次函数 ,我们把使一元二次方程的实数 叫做二次函数 的 . 函数的零点为： . 问题3：二次函数 的零点就是该函数图象与 轴的交点吗？ 注意：（1）零点不是点，是数；（2）零点是函数专属概念. 新知三 三个“二次”的关系 活动2：从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式（初中）. 问题4：求出方程的解，借助函数零点画出函数的图象，根据图象写出的解集. 由特殊到一般，总结一次函数与一元一次方程、一元一次不等式间的关系. 一次函数 一元一次方程 一元一次不等式 问题5：类比上述方法和结论，你能猜测二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系吗？以与相应一元二次方程、不等式为例进行探究. ①方程的解为： . ②根据的零点和解析式，画出函数图象. ③根据函数图象，写出不等式的解集. 问题6：如果把换成，思考： ①方程的根有几种情况？由什么决定？ . ②函数的图象与轴有几个交点？ . ③函数图象的开口方向是 . 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 , 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 的解集 练习4：是否存在实数 使得一元二次不等式 的解集为 ？ 新知四 解一元二次不等式 问题7：求不等式的解集. 变式1：求不等式的解集. 变式2：求不等式的解集. 解题感悟 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： （1）化标准：通过对不等式变形,使不等式右侧为0,二次项系数为正. （2）判别式：对不等式左侧进行因式分解,若不易分解,则计算相应方程的判别式. （3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. （4）画图象：根据一元二次方程根的情况画出相应的二次函数的图象. （5）写解集：根据图象写出不等式的解集.键能力 探究点一 分式不等式的解法 变式3：求不等式的解集. 变式4：求不等式2的解集. 作业一 A层：强化训练 1.解下列不等式： （1） ； （2） ； （3） ; （4） . 2.不等式 的解集是( ) A. B. C. 或 D. 或 3. 不等式 的解集是( ) A. B. C. D. 4. 求不等式 的解集. 作业二 B层：拓展延伸 5.已知一元二次不等式 的解集为 ，则 的值是 . 6. 解关于 的不等式. 第 一 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $