2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）（教学设计）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦二次函数、一元二次方程与不等式的内在联系，通过回顾一次函数与方程、不等式的关系搭建学习支架，结合杂志销售、矩形围栏等实际情境抽象出一元二次不等式模型，引导学生建立知识脉络。 以“三个二次”关系为核心，通过探究活动让学生从函数图象观察零点与解集的关联，培养数学眼光中的几何直观和抽象能力，题型涵盖含参讨论、换元转化等，提升数学思维的推理与运算能力，帮助学生掌握解题方法，也为教师提供清晰教学路径，提高课堂效率。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时） 课题 二次函数与一元二次方程、不等式 单元 第二章 一元二次函数、方程和不等式 学科 高中数学 （人教版） 年级 高一 学习目标 1、理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的联系，掌握一元二次不等式的解法，能求解简单含参一元二次不等式。 2、经历从函数图象探究不等式解集的过程，体会数形结合、等价转化的数学思想，提升观察归纳与代数运算能力。 3、感受数学知识间的内在关联，体会数形结合解决问题的优势，增强学好数学的信心，养成严谨规范的解题习惯。 教材 分析 本节课是人教A版必修第一册第二章《一元二次函数、方程和不等式》第2.3节第一课时。前面学生学习了相等关系与不等关系、等式性质与不等式性质以及基本不等式，本节课从二次函数图象出发，建立二次函数、一元二次方程与一元二次不等式"三个二次"之间的联系，得到一元二次不等式求解方法，并归纳判别式Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况下解集的对应关系。一元二次不等式是求解集合问题、研究函数定义域与值域的基本工具，"函数观点统领方程与不等式"的思想贯穿高中数学，对培养学生数形结合思想、分类讨论思想和数学运算素养具有重要作用。本节内容起着承上启下作用，既是对初中二次函数、一元二次方程知识的深化，又为后续学习函数性质及应用奠定基础。 学情 分析 学生在初中已学习二次函数的图象与性质、一元二次方程的解法，并且经历过"从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式"的思维过程，具备一定的数形结合经验。但学生在本节课可能存在以下困难：一是对"函数值大于0对应图象在轴上方的部分"这一转化理解不到位，不能自觉地由图象写出解集，不明白"大于取两边、小于取中间"的原理；二是当二次项系数为负数时，忘记先化为正数再求解；三是对Δ=0、Δ<0情形下解集为、或缺乏准确认识，容易混淆；四是解含参数的一元二次不等式时，分类讨论意识薄弱，容易忽略二次项系数为0的情形，也不会主动比较两根的大小。 教学 重点 理解二次函数、一元二次方程与不等式内在联系，掌握利用二次函数图像求解一元二次不等式基本方法。 教学 难点 厘清三者之间的转化关系，准确根据抛物线开口与根的情况确定解集，理解数形结合的思想运用。 教学 准备 多媒体课件（PPT） 教学过程 教学 环节 教师活动 学生活动 新课 引入 【温故知新 情境引入】 教师PPT呈现（回顾旧知）： 我们知道，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间有着密切的联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。 追问：它们之间有什么关系？我们怎样从函数观点进一步解决方程、不等式的问题？ 情境1：某杂志以每册元的价格发行时，发行量为万册。经过调查，若单册价格每提高元，发行量就减少册。要使杂志社的销售收入大于万元，每册杂志的价格应定在怎样的范围内？ 分析：设每册杂志价格提高元，则发行量减少万册， 杂志社的销售收人为万元. 根据题意，得 ， 化简，得 . 情境2：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度为24，围成的矩形区域的面积要大于则这个矩形的边长为多少米？ 解：设这个矩形的一条边长为，则另一条边为 .由题意，得： 其中 整理得：① 求得不等式①的解集，就得到了问题的答案. 问题：像这样的不等式，我们称之为什么不等式？它与二次函数、一元二次方程有什么关系？如何求解？ 教师揭示课题：这就是本节课要研究的课题——二次函数与一元二次方程、不等式。我们将类比"一次函数观点看一元一次方程、不等式"的经验，从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法。 设计意图：从一次函数、一元一次方程、一元一次不等式的已有经验出发，通过实际情境抽象出一元二次不等式模型，让学生感受研究"三个二次"关系的必要性，自然引出课题。 1、回顾一次函数与一元一次方程、不等式的联系； 2、审题设元，列出销售收入不等式； 3、观察所得不等式的结构特征； 4、明确本节课的学习目标，进入探究状态。 新知 探究 · 探究一：二次函数与二次不等式 【活动一：一元二次不等式的定义】 ⭐一元二次不等式的定义： 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。 ⭐一般形式： （或<0，≥0，≤0），其中，, , 均为常数。 【活动二：从二次函数的观点看一元二次不等式】 思考1：在初中，我们从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法。类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ 探究：观察二次函数的图象与轴的位置关系。 (1) 方程 的根是什么？图象与x轴交点的横坐标是什么？ 解：，即 ，解得。 图象与轴交于点(2, 0)，(10, 0)，交点的横坐标即为方程的根。 (2) 当取何值时，？当取何值时，？ 观察：当或时，图象位于轴上方，；当2时，图象位于轴下方，。 问题2：由""能否推出"或"？由""能否推出"2"？ 答：能。即，对应图象在轴上方的部分，此时或； 即，对应图象在轴下方的部分，此时2。 ⭐零点的概念： 对于二次函数 ，我们把使 的实数叫做二次函数的零点。 注：零点是一个实数，不是一个点。 ⭐"三个二次"的关系： 二次函数图象与x轴交点的横坐标 ⇔ 一元二次方程的解（零点） ⇔ 一元二次不等式解集的端点。 于是：不等式的解集为； 不等式的解集为 。 设计意图：通过具体二次函数图象的观察，引导学生经历"函数值符号→图象上下位置→自变量范围"的转化过程，理解零点概念，建立"三个二次"的联系，初步形成"求根—画图—求解"的解题程序。 【活动三：解一元二次不等式的步骤】 ⭐解一元二次不等式的一般步骤（三步骤）： ①求根——求出一元二次方程的根（优先考虑因式分解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算）； ②画图——根据抛物线开口方向及零点，画出二次函数图象（简图）； ③求解——根据图象确定一元二次不等式的解集（大于取两边，小于取中间）。 ⭐口诀记忆：先化标准（二次项系数化正），再看判别式，求根画图象，大于取两边，小于取中间； 含等号（≥、≤）时，解集端点包含根（用≤、≥连接）； 缺一次项（形如）时，根据二次项系数及移项后常数项的符号直接判断解集； 缺常数项（形如）时，用因式分解法快速求解。 【活动四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系】 一般地，对于二次函数，设判别式，对应关系如下表： 补充：若二次项系数，通常先在不等式 设计意图：由具体例子归纳上升到一般情形，通过Δ的三种分类完整构建"三个二次"的对应关系表，使学生知其然更知其所以然；将解题程序提炼为"求根—画图—求解"三步骤和口诀，便于学生规范操作、准确记忆。 1、理解一元二次不等式的定义，完成即时辨析； 2、画（观察）的图象，找出与轴交点； 3、结合图象回答y>0、y<0时x的范围； 4、理解零点概念（是数不是点）； 5、初步归纳"三个二次"的关系。 6、结合图象归纳Δ三种情况的解集对应关系； 7、在笔记本上整理"三个二次"关系表。 课堂练习 · 典例精讲 【例1】求不等式的解集。 【分析】求根，根据二次函数图象与轴的相关位置确定一元二次不等式的解集 解：对于方程， ∵， ∴它有两个实数根。解得 画出二次函数的图象， 结合图象得不等式的解集为 或. 【例2】求不等式的解集。 解：对于方程， ∵，∴它有两个实数根。解得 画出二次函数的图象， 结合图象得不等式的解集为 . 【例3】求不等式的解集。 解：不等式可化为 ∵，∴方程无实数根。 画出二次函数的图象， 结合图象得不等式的解集为. 因此，原不等式的解集为. 教师补充以下注意事项： ⭐在一元二次不等式的二次项系数是负数()时，通常先把二次项系数化成正数，再求解。 课堂练习 【题型1：不含参一元二次不等式的解法】 1、解下列不等式： （1); （2); （3); （4). 解：(1)方程＝0 的解为. 根据 的图象 可得原不等式的或. (2)不等式两边同乘以－1，得≤0. 方程的解为 ＝－3，＝1. 根据的图象， 可得原不等式的解集为. (3)方程，有两个相同的解＝＝1. 根据 的图象， 可得原不等式的解集为. (4)因为∆＜0，所以方程，无实数解。 根据的图象， 可得原不等式的解集为. 【题型2：含参数的一元二次不等式的解法】 1、解关于的不等式 解：①若时，则原不等式可化为，即. ②若，原不等式可化为. 当时，原不等式可化为 ∵，∴或 当时，原不等式可化为 若，即则 若，即则 若，即则 综上所述，当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为 教师补充以下注意事项： ⭐解含参数的一元二次不等式的一般步骤： 注：求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算。 2、 ，求关于的不等式的解集。 解： ∵ 当时，有 ∴不等式的解集为. 当时，有 ∴不等式的解集为. 当时，有 ∴不等式的解集为. 【题型3：利用换元法转化为一元二次不等式求解】 1、解下列不等式： （1） ； （2） ； （3） ． 解： （1）：原不等式可化为，令 ， 则不等式可化为,解得 ， 又,,即, ． 故原不等式的解集为 }。 （2）：原不等式可化为，令 ，则不等式可化为,解得 ,又， ,即, ． 故原不等式的解集为 ． （3）：原不等式可化为，令 ，则不等式可化为 ,解得或 （舍去）， ,或 ．故原不等式的解集为或 。 教师补充以下注意事项： ⭐本题通过换元，令分别等于、，将所求解的不等式转化为关于的一元二次不等式进行求解。要注意这里、、均为非负数，故均有，求出的取值范围，进而可确定原不等式的解集． 【题型4：三个“二次”之间的关系】 1、已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集. 解： ∵关于的不等式的解集为， ∴，且是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴不等式化为， 即，解得 因此不等式的解集为 2、(多选）若的解集是，则下列正确的是(　). 且 不等式的解集是 【答案】 3、不等式的解集为，则（ ）. . . . 【答案】 1、例1：规范书写"求根—画图—求解"过程； 2、例2：注意； 3、例3：先化二次项系数为正； 4、整理三个例题的解题步骤与格式。 5、独立完成题型1，规范三步骤书写； 6、题型2注意分类讨论：先看二次项系数，再比较两根大小； 7、题型3注意换元后新变量的取值范围（t≥0）； 8、题型4体会"解集⇔根"的转化及韦达定理的逆用。 。 课堂 小结 教师引导学生回顾，构建本节知识框架： 一、一元二次不等式的定义 ·只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式 ·一般形式：（或<0，≥0，≤0）， 二、零点与"三个二次"的关系 ·零点：使 的实数（是数，不是点） ·二次函数图象与轴交点的横坐标⇔一元二次方程的解 ⇔一元二次不等式解集的端点 三、Δ三种情况下的解集对应关系（） ·Δ>0：两不等实根， ">0"取两边或， "<0"取中间 ·Δ=0：二重根，">0"解集，"<0"解集 ·Δ<0：无实根， ">0"解集，"<0"解集 四、解一元二次不等式的三步骤 ·求根→画图→求解（大于取两边，小于取中间） 五、含参一元二次不等式 ·分类讨论：二次项系数是否为0、开口方向、两根大小 ·优先因式分解求根，不能分解时用判别式和求根公式 六、换元法与"三个二次"关系的逆向应用 ·令（均有）转化为一元二次不等式 ·由解集反推方程的根，用韦达定理确定系数关系 教师强调："三个二次"的关系是本节课的核心，函数观点是统领。解不等式的每一步都要"心中有图"，数形结合是避免错误的法宝。含参问题的分类讨论原则是"不重不漏"，按系数、判别式依次进行。 1、跟随教师引导，自主口头梳理本节课知识点； 2、独立绘制简易思维导图，梳理"三个二次"知识体系； 3、主动举手分享本节课易错点； 4、完成自我评价：能否独立解各类一元二次不等式。 作业 布置 1、P57 练习 第1、2题； 2、P58 复习参考题2 第1、2题； 3、拓展：已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集。 记录作业要求，课后独立完成； 拓展题选做，注意韦达定理与不等号方向的处理。 板书 设计 第二章 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时） 一、一元二次不等式：， 二、"三个二次"的关系 ·零点：的实数根（是数不是点） ·图象交点横坐标⇔方程的解⇔解集端点 ·Δ>0：>0取两边，<0取中间 ·Δ=0：； ·Δ<0：； 三、解法三步骤 ·求根→画图→求解 ·系数化正，含等号端点可取 四、含参问题 ·一化（系数）、二比（根大小）、三写（解集） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $