2.3 二次函数与一元二次方程不等式（第1课时）（教学设计）数学人教A版2019必修第一册

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时） 教学设计 教学内容 本节内容为“二次函数与一元二次方程、一元二次不等式（第1课时）”，教材通过二次函数的图像与性质，建立一元二次方程的根、二次函数的零点与一元二次不等式解集之间的联系，帮助学生从“数形结合”角度理解三者统一性，并掌握利用图像法解一元二次不等式的一般方法。 内容解析 本节是函数思想在代数问题中的典型应用，通过图像直观展示函数值正负与不等式解集的关系，突出“函数视角”在解决问题中的优越性。内容涉及： 1. 二次函数的零点与方程根的关系； 2. 二次函数图像与x轴位置关系对不等式解集的影响； 3. 借助图像求解一元二次不等式的一般步骤。 教学目标 1. 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。 2. 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题． 3. 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。 知识与技能：理解二次函数、方程、不等式三者之间的联系，掌握利用图像求一元二次不等式解集的方法。 过程与方法：经历从实际问题抽象出一元二次不等式的过程，体会“数形结合” “函数建模”思想。 情感态度价值观：感受数学知识的内在统一性，提升主动探究问题的意识。 目标解析 达成上述目标的标志是： 1. 能说出二次函数零点、方程根、不等式解集三者之间的对应关系； 2. 能独立画出二次函数草图，并根据图像写出不等式解集； 3. 能将实际问题（如面积、利润、运动轨迹）抽象为一元二次不等式并解决。 三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。 高一学生已具备一次函数与一元一次不等式的学习经验，但对“二次”三者关系的系统认知尚未建立。部分学生存在：图像与代数结论脱节（不会“看图说话”）；解不等式时忽视二次项系数符号、判别式等情况。 基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集。教学难点：理解一元二次方程根的情况与二次函数图像位置关系的联系，灵活运用数形结合思想。 导入1：快递柜的“容量焦虑” “小区快递柜长2米，宽x米，周长不超过8米。物业规定：柜内面积必须大于1.5平方米才能投入使用。问：宽度x应满足什么条件？” 【设计意图】快递柜是学生熟悉的生活场景，问题自然生成不等式2x(2+x)>1.5，引发思考“如何解这类二次不等式”。 导入2：短视频的“黄金时长” “某平台数据显示，视频时长为x秒时，完播率y=−x²+12x−20。若完播率需超过16%，则视频时长应控制在什么范围？” 【设计意图】短视频是学生日常接触的内容，问题直接关联−x²+12x−20>16，二次项系数为负，自然引出“先化正再画图”的需求。 【教学建议】教师可展示快递柜照片或短视频数据截图，增强代入感，板书学生列出的不等式，追问：“初中解一元一次不等式靠‘数轴’，二次不等式能否靠‘图像’？” （一）温故知新 问题链： 1. 一次函数y=2x−4的零点是什么？与方程2x−4=0的根有何关系？ 1. 当y>0时，对应不等式解集在图像上如何体现？ 【设计意图】迁移一次函数经验，类比提出问题：“二次函数是否也有类似规律？” 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题.类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ 要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 同学们，我国历史上有很多杰出的数学家，比如祖冲之、秦九韶等，我们古代的数学重点在于“算”，可以说算学是异常的发达，经常令西方数学家瞠目结舌．既然要算，那么对于“二次方程”必然有所涉猎！比如我们所熟悉的《九章算术》，但是《九章算术》的一贯作风是给个问题，配个答案，剩下的自己去想，至于如何解方程，这就需要大家来解决了．实际上，对于求解一元二次方程的方法有很多，比如我们所熟悉的求根公式、配方法，而比较好用的还是十字相乘法． 在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决有关问题．对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？先来看一个问题． 问题 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？ 设这个矩形的一条边长为，则另一条边长为．由题意，得，其中．整理得，． ① 求得不等式①的解集，就得到了问题的答案． 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式（quadric inequality in one unknown）．一元二次不等式的一般形式是 或， 其中，，均为常数，． 思考 在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？ 下面，我们先考察一元二次不等式与二次函数之间的关系． 如图2.3-1，在平面直角坐标系中画出二次函数的图象，图象与轴有两个交点．我们知道，这两个交点的横坐标就是方程的两个实数根，，因此二次函数与轴的两个交点是和． 一般地，对于二次函数， 我们把使的实数叫做二次函数 的零点．于是二次函数 的两个零点是，． 从图2.3-1可以看出，二次函数的两个零点，将轴分成三段．相应地，当或时，函数图象位于轴上方，此时，即；当时，函数图象位于轴下方，此时，即．所以，一元二次不等式的解集是． 因为，因此当围成的矩形的一条边长满足时，围成的矩形区域的面积大于． 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式和的解集． 我们知道，对于一元二次方程，设，它的根按照，，可分为三种情况．相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式和 的解集（表2.3-1） 表2.3-1 二次函数与一元二次方程、不等式的对应关系 的图象 的根 有两个不相等的实数根 ，（ ） 有两个相等的实数根 没有实数根 的解集 ，或 的解集 探究点1：二次函数的零点与方程根 任务：画y=x²−2x−3图像，标出与x轴交点，回答： ①交点横坐标与方程x²−2x−3=0的根有何关系？ ②零点是否就是“函数值为0时的x值”？ 【设计意图】学生通过画图、观察，自主发现“零点即方程根”，教师板书定义。 【教学建议】用GeoGebra动态演示“拖动抛物线改变根的位置”，强化直观。 探究点2：函数图像与不等式解集 任务：观察y=x²−2x−3图像，完成表格： 图像区域（x轴上下） 对应不等式 解集 图像在x轴上方 x²−2x−3>0 ? 图像在x轴下方 x²−2x−3<0 ? 【设计意图】学生通过“看图说话”，归纳出“上正下负”规律，教师总结“三步法”：求根→画图→写解集。 【教学建议】对“二次项系数为负”的不等式（如−x²+4x−3>0），追问：“图像开口向下，解集还一样吗？”引导学生先转化为标准形式。 探究点3：含参问题的分类讨论 例题：解关于x的不等式x²−(a+1)x+a<0（a∈R）。 任务分步： 1. 求根（因式分解得(x−1)(x−a)<0）； 1. 讨论1与a的大小关系（a>1、a=1、a<1）； 1. 画三种情况下的草图，写解集。 【设计意图】渗透“分类讨论”思想，突破含参难点。 【教学建议】用“动态几何”展示a变化时根的位置变化，帮助学生理解“临界点”。 探究点4：实际问题的建模与求解 任务：解决导入1的快递柜问题（2x²+4x−1.5>0）。 步骤： 1. 学生独立列出不等式； 1. 小组合作画图求解； 1. 验证解的合理性（x>0）。 【设计意图】完整经历“实际问题→数学模型→图像求解→回归解释”的过程。 【教学建议】展示学生不同解法（配方法、公式法、图像法），对比优劣，突出图像法直观性。 典例分析 例1 求不等式的解集． 分析：因为方程的根是函数的零点，所以先求出的根，再根据函数图象得到的解集． 解：对于方程，因为，所以它有两个实数根．解得，． 画出二次函数的图象（图2.3-2），结合图象得不等式的解集为 ，或． 【变式】解下列不等式． (1)； (2)． 【详解】（1）方程的两个根为，， 函数的图像是开口向上的抛物线，与轴有两个交点，， 因此，原不等式的解集为或； （2）原不等式可化为， 方程的两个根为，， 函数的图像是开口向上的抛物线，与轴有两个交点，， 所以原不等式的解集为. 例2 求不等式的解集． 解：对于方程，因为，所以它有相等的实数根，解得． 画出二次函数的图象（图2.3-3），结合图象得不等式的解集为 ． 【变式2】已知关于的不等式，. (1)当时，求不等式的解集； (2)若“不等式的解集为”为假命题，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入，解一元二次不等式作答. （2）求出命题“不等式的解集为”为真命题的a的范围，再求其补集作答. 【详解】（1）当时，不等式化为：，解得或， 所以所求不等式的解集为. （2）当不等式的解集为时，即恒成立， 因此，解得， 所以“不等式的解集为”为假命题时，的取值范围是. 例3 求不等式的解集． 解：不等式可化为．因为，所以方程无实数根．画出二次函数的图象（图2.3-4）． 结合图象得不等式的解集为． 因此，原不等式的解集为． 【变式3】已知关于的不等式． (1)若此不等式的解集是，求的值； (2)讨论此不等式的解集． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意知，，2是的两根，从而可求出； （2）通过讨论对应方程两根的大小，得出不等式的解集． 【详解】（1）由题意知，，是的两根， 所以，解得或． （2）就是，即． 方程的两根是，． ①当，即时，此不等式的解集是． ②当，即时，此不等式是，解集是． ③当，即时，此不等式的解集是． 对于二次项系数是负数（即）的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再求解． 现在，你能解决第2.1节的“问题2”了吗？ 利用框图可以清晰地表示求解一元二次不等式的过程．这里，我们以求解可化为 形式的不等式为例，用框图表示其求解过程（图2.3-5）． 1.若关于的方程有实数根，则下列的值中，不符合要求的是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、方程与不等式 【分析】分方程是否是一元二次方程两种情况讨论即可求解. 【详解】当方程为一元二次方程时，方程有解， 则且， 解得：且， 当方程为一元一次方程时， 方程有解，则， 综上：当时，方程有实数根． 所以四个数中,不符合要求的值是2． 故选：A． 2.是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、判断命题的充分不必要条件 【分析】先解不等式，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】设命题，命题； 所以，但推不出，故是的必要不充分条件． 故选：B. 3.不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】由题意可知-1、2是关于x的二次方程的两根，利用韦达定理可求得a、b的值，进而可求得不等式的解集． 【详解】由题意可知：-1、2是关于x的二次方程的两根，由韦达定理可得，解得，不等式即为，解得或． 因此，不等式的解集为或．故选：A． 4.若不等式的解集为R，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】利用不等式的解集是R,转化为二次函数的函数值大于0恒成立,利用判别式即可求实数m的取值范围． 【详解】由题意知不等式的解集为R 即的函数值在R上大于0恒成立 由二次函数开口向上可知,满足判别式在R恒成立即可 即,即 解得 故选：D 【点睛】本题考查不等式恒成立条件的应用,将不等式转化为函数问题,考查转化思想以及计算能力,属于基础题. 5.（多选题）下列不等式是一元二次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】一元二次不等式的概念及辨析 【分析】根据一元二次不等式的定义判断即可. 【详解】对于A：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故A正确； 对于B：，符合一元二次不等式的定义，是一元二次不等式，故B正确； 对于C：，当时，不含二次项，故不是一元二次不等式，故C错误； 对于D：，当时不是一元二次不等式，故D错误. 故选：AB 6.设a为实数，若关于x的不等式在区间上有实数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】参变分离，再根据对勾函数的性质，结合能成立问题求最值即可. 【详解】由题意，因为，故在区间上有实数解，则，又在上单调递减，在上单调递增，且，，故.故在区间上有实数解则. 故选：A 7.求解不等式的解集 . 【答案】 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】直接求解不含参数的一元二次不等式即可. 【详解】因为，所以，故，所以不等式的解集为， 故答案为：. 8.（多选题）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】ABD 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由题意可知不等式对应的二次函数的图像的开口方向，−2和4是方程的两根，再结合韦达定理可得b＝−2a，c＝−8a，代入选项B和D，解不等式即可；当x＝1时，有，从而判断选项C． 【详解】由题意可知，A选项正确； 是方程的两根， 则，C选项错误； 不等式即为，解得，B选项正确； 不等式即为，即，解得或，D选项正确． 故选：ABD． 9.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是（    ） A．20≤x≤30 B．20≤x≤45 C．15≤x≤30 D．15≤x≤45 【答案】B 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】根据已知条件，先求出该厂每天获得的利润的函数解析式，再结合每天获利不少于1300元，列出不等式求解即可． 【详解】设该厂每天获得的利润为y元， 则y＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500(0＜x＜80)． 由题意，知－2x2＋130x－500≥1300，即x2－65x＋900≤0，解得：20≤x≤45， 所以日销量x的取值范围是20≤x≤45． 故选：B． 10.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：m）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次不等式在几何中的应用 【分析】根据三角形相似列出方程，将矩形的另一边用表示，再根据矩形的面积不小于300m2列出不等式，即可求出结果. 【详解】设矩形的另一边长为m，则由三角形相似知，， 所以，因为，所以， 即，解得. 故选:C 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，关键是建立数学模型，解一元二次不等式，属于基础题. 1.（2011·辽宁沈阳·一模）已知函数，若，则的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数的图象分析与判断 【分析】判断出的符号后可得正确的选项. 【详解】因为，故即， 而，故， BC中图象开口向下，不符合，而A中图象过原点，与矛盾， 故选：D. 2.（2019·安徽·三模）已知：，：，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据充分不必要条件求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先求出对应的集合，再根据集合关系与充分条件、必要条件的联系，即可知集合之间的关系，列不等式，即可求出． 【详解】记，或，由是的充分不必要条件，知是的真子集，所以． 故选B． 【点睛】本题主要考查集合关系和充分条件、必要条件的联系的应用． 一般地，设， 若，则是的充分条件；若，则是的必要条件； 若，则是的充分不必要条件；若，则是的必要不充分条件； 若，则是的充要条件；若，则是的既不充分又不必要条件． 3.（多选题）（21-22高一上·山东泰安·期中）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项逐一求解. 【详解】由于不等式的解集为， 所以和是的两个实数根， 所以，故， ，故AB正确， 对于C,不等式为，故，故C错误， 对于D, 不等式可变形为， 解得，故D正确， 故选：ABD 4.（21-22高一上·江苏连云港·阶段练习）若方程的两个根是1和3，则函数（    ） A．在上单调递减 B．不等式的解集是 C．在上单调递增 D．最小值是 【答案】ABD 【知识点】二次函数的图象分析与判断、求二次函数的解析式 【分析】根据二次函数的图象与一元二次方程的根的关系得出二次函数的性质、解析式，判断各选项． 【详解】方程的两个根是1和3，则函数图象的对称方程是，是开口向上的抛物线，A正确；C错误； 函数的两个零点是1和3，因此B正确； 又，，，即，为最小值，D正确． 故选：ABD． 1．知识清单： (1)一元二次不等式的概念及解法． (2)含参的一元二次不等式的解法． 2．方法归纳：数形结合法、分类讨论法． 3．常见误区：解含参数的一元二次不等式时找不到分类讨论的标准． 【设计意图】通过课堂小结，帮助学生梳理本节课的主要内容，巩固所学知识。引导学生总结本节课的重点和难点，加深对集合概念的理解。 【教学建议】教师通过提问和讲解，引导学生回顾本节课的主要内容。引导学生总结本节课的重点和难点，帮助学生形成知识体系。 (1)整理本节课的题型； (2)课本P53的练习1~2题； (3)课本P55的习题2.3的1~4题. 附教材P53练习及参考答案 练习（第53页） 1. 求下列不等式的解集： （1）；（2）；（3）； （4）； （5）；（6）. 【解析】【小问1详解】解：，解得或， 所以不等式的解集是或； 【小问2详解】由，得，即，解得， 所以原不等式的解集为：； 【小问3详解】不等式的相应方程的两个根为，，则不等式的解集为； 【小问4详解】不等式，即为，所以原不等式无解； 【小问5详解】不等式即为， 则，解得或， 所以原不等式的解集为或； 【小问6详解】其相应方程的判别式为， 所以不等式的解集为R； 2. 当自变量x在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0? (1); (2); (3); (4). 【解析】1）二次函数令 由一元二次方程的求根公式可知所以 结合二次函数的图像与性质可知,开口向上,与轴有两个交点,所以 当时,函数值等于0; 当或时,函数值大于0; 当时,函数值小于0. （2）二次函数令解一元二次方程可知所以 结合二次函数的图像与性质可知: 当时,函数值等于0; 当或时,函数值大于0; 当时,函数值小于0. （3）二次函数则 结合二次函数的图像与性质可知: 当函数值等于0时为; 当时,函数值大于0; 当函数值小于0时为; （4）二次函数则 结合二次函数的图像与性质可知,开口向下,与轴有一个交点,所以: 当时函数值等于0; 当时,函数值大于0; 当函数值小于0时为; 【教学建议】实践作业可拍照上传班级群，评选“最佳生活数学问题”。 ( 2. 3 二次函数与一元二次方程、不等式 1 . 三个二次关系 例1 例2 例3 2 . 解一元二次不等式 ) 【设计意图】通过板书，清晰呈现本节课的主要知识点，帮助学生理解和记忆。引导学生通过板书内容，梳理本节课的重点和难点，加深对集合间基本关系的理解。 【教学建议】教师在讲解过程中，逐步板书本节课的重点内容，帮助学生形成知识体系。引导学生通过板书内容，回顾本节课的主要知识点，巩固所学内容。 • 学生在含参分类讨论中是否能独立画出“树状图”？ • 情境问题是否有效驱动了二次不等式的建模？ • 技术工具（动态几何/在线检测）是否提升了课堂效率？ 学科网（北京）股份有限公司 $$