2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第2课时）（导学案）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦二次函数、一元二次方程与不等式的联系及解法，通过阅读教材完成分式不等式、绝对值不等式、恒成立条件等问题导入，衔接函数与方程旧知，搭建新知学习支架。 以实际应用案例（如摩托车生产创收、刹车距离计算）与分层题型（实际应用、分式不等式、恒成立问题）为特色，融入数形结合思想，助力学生用数学眼光抽象问题、数学思维推理求解、数学语言表达应用，提升解题规范与应用意识。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）（导学案） 1、理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的联系，掌握一元二次不等式的解法，能求解简单含参一元二次不等式。 2、经历从函数图象探究不等式解集的过程，体会数形结合、等价转化的数学思想，提升观察归纳与代数运算能力。 3、感受数学知识间的内在关联，体会数形结合解决问题的优势，增强学好数学的信心，养成严谨规范的解题习惯。 重点：熟练求解含参数的一元二次不等式、分式不等式，掌握恒成立问题基本解法，巩固二次函数、方程、不等式的关联应用。 难点：分类讨论参数范围，准确辨析恒成立条件，结合图像转化问题，避免漏情况、忽略二次项系数是否为 0。 阅读教材，完成以下问题： 【1】分式二次不等式 _______ _______且 【2】简单的绝对值不等式 的解集为_____________，的解集为______． 【3】写出下列一元二次不等式恒成立满足的条件。 （1），恒成立的充要条件是________且________． （2），恒成立的充要条件是________且________． （3），恒成立的充要条件是________且________． （4），恒成立的充要条件是________且________． 【例4】一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量(单位：辆)与创造的价值(单位：元)之间有如下的关系：若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应生产多少辆摩托车？ 【例5】某种汽车在水泥路面上的刹车距离(单位：)和汽车刹车前的车速(单位：)之间有如下关系：.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到)？ 【知识点拨】 利用不等式解决实际问题的一般步骤： (1)选取合适的字母表示题目中的未知数； (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． 【题型1：一元二次不等式的实际应用】 1、国家原计划以元/吨的价格收购某种农产品吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入纳税元(称作税率为个百分点，即)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低个百分点，收购量能增加个百分点．试确定的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的. 2、用一根长为的绳子能围成一个面积大于的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？ 3、某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件()与货价元/件之间的关系为，生产件所需成本为元。 问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? 4、为了增加收入，某书店购进一批最新文具盒，若按每个文具盒15元的价格销售，每天能卖出30个；若售价每提高1元，日销量将减少2个，为了使这批文具盒每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，应怎样制定这批文具盒的销售价格？ 【题型2：分式不等式】 1、求不等式的解集 且 【知识点拨】 解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为整式不等式（组）求解.当不等式含有等号时，分母不为零。 2、解下列不等式： （1） ； （2） 【知识点拨】 分式不等式求法： （1） [注：] （2） [注：] 若出现的形式，则需要先通分，再根据分式不等式的步骤进行求解，注意分母不能为零。 3、解下列不等式： (1) (2) 【题型3：不等式恒成立问题】 1、已知，若，恒成立，求实数的取值范围。 【知识点拨】 二次函数恒成立问题规律方法： 1.不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： 当时，，；当时， 2.不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： 当时，；当时， 3. 恒成立 ； 恒成立 。 2、当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______. 3、若不等式的解集为，求实数的取值范围。 4、(1)若对不等式恒成立，求实数的取值范围。 (2)若在上恒成立，求的取值范围。 一、单选题 1．下列不等式中是一元二次不等式的是（    ） A．a2x2＋2≥0 B． <3 C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0 2．使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 4．若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 5．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（   ） A． B．， C．的解集为 D．的解集为 10．已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 11．命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．不等式的解集为______． 13．关于不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围是______. 14． 如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周阴影部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为_____________________. 四、解答题 15．求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．求关于x的不等式的解集，其中m是常数． 17．已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 18．函数 (1)当恒成立时，求实数的取值范围； (2)当时方程有两个实数根，且，求实数的取值范围 (3)若恒成立，求实数的取值范围 19．已知函数. (1)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集。 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时）（导学案）（解析版） 1、理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的联系，掌握一元二次不等式的解法，能求解简单含参一元二次不等式。 2、经历从函数图象探究不等式解集的过程，体会数形结合、等价转化的数学思想，提升观察归纳与代数运算能力。 3、感受数学知识间的内在关联，体会数形结合解决问题的优势，增强学好数学的信心，养成严谨规范的解题习惯。 重点：熟练求解含参数的一元二次不等式、分式不等式，掌握恒成立问题基本解法，巩固二次函数、方程、不等式的关联应用。 难点：分类讨论参数范围，准确辨析恒成立条件，结合图像转化问题，避免漏情况、忽略二次项系数是否为 0。 阅读教材，完成以下问题： 【1】分式二次不等式 _______ _______且 【答案】 【2】简单的绝对值不等式 的解集为_____________，的解集为______． 【答案】 【3】写出下列一元二次不等式恒成立满足的条件。 （1），恒成立的充要条件是________且________． （2），恒成立的充要条件是________且________． （3），恒成立的充要条件是________且________． （4），恒成立的充要条件是________且________． 【答案】 （1） （2） （3） （4） 【例4】一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量(单位：辆)与创造的价值(单位：元)之间有如下的关系：若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应生产多少辆摩托车？ 解： 设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产辆摩托车， 根据题意，得： 即：对于方程， ，方程有两个实数根 画出二次函数的图象， 结合图象得不等式 的解集为 从而不等式的解集为. 因为只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在5159辆时，这家工厂能获得60000元以上的收益.。 【例5】某种汽车在水泥路面上的刹车距离(单位：)和汽车刹车前的车速(单位：)之间有如下关系：.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少(精确到)？ 解： 根据题意，得：移项整理，得： 对于方程，， 方程有两个实数根，. 画出二次函数的图象，结合图象得不等式的解集为或，从而不等式的解集为或. 因为车速所以.而所以这辆汽车刹车前的车速至少为 【知识点拨】 利用不等式解决实际问题的一般步骤： (1)选取合适的字母表示题目中的未知数； (2)由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； (3)求解所列出的不等式(组)； (4)结合题目的实际意义确定答案． 【题型1：一元二次不等式的实际应用】 1、国家原计划以元/吨的价格收购某种农产品吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入纳税元(称作税率为个百分点，即)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低个百分点，收购量能增加个百分点．试确定的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的. 解： 设税率调低后“税收总收入”为元。则： ． 依题意，得， 即， 整理，得，解得. 根据的实际意义，知的范围为. 2、用一根长为的绳子能围成一个面积大于的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？ 解： 设矩形一边的长为，则另一边的长为，其中 由题意，得 即 解得， 所以，当矩形一边的长在至的范围内取值时，能围成一个面积大于的矩形 3、某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件()与货价元/件之间的关系为，生产件所需成本为元。 问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? 解：由题意，得， 化简，得 ， 解得 . 答：该厂日产量在20件至45件时，日获利不少于1300元。 4、为了增加收入，某书店购进一批最新文具盒，若按每个文具盒15元的价格销售，每天能卖出30个；若售价每提高1元，日销量将减少2个，为了使这批文具盒每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，应怎样制定这批文具盒的销售价格？ 解： 设这批文具盒的售价为元，则 由题意得， 即即 故 又∵ ∴. 即这批台灯的售价应在1520元之间。 【题型2：分式不等式】 1、求不等式的解集 且 解：原不等式可化为 , 解得 , 故原不等式的解集为 . 【知识点拨】 解分式不等式时，一定要等价变形为一边为零的形式，再化归为整式不等式（组）求解.当不等式含有等号时，分母不为零。 2、解下列不等式： （1） ； （2） 解：（1）原不等式可化为 , 即 解得 即 . 故原不等式的解集为 . （2）原不等式可化为 , 即 , , 则 . 故原不等式的解集为 。 【知识点拨】 分式不等式求法： （1） [注：] （2） [注：] 若出现的形式，则需要先通分，再根据分式不等式的步骤进行求解，注意分母不能为零。 3、解下列不等式： (1) (2) 解： (1)∵，∴ ∴原不等式的解集为 (2) ∵ , ∴, ∴,且, 当时，不等式的解集为； 当即时，不等式的解集为或； 当即时，不等式的解集为； 【题型3：不等式恒成立问题】 1、已知，若，恒成立，求实数的取值范围。 (或)(或) (或) 解：（1）当对称轴，即时，，解得 ,矛盾。 （2）当，即时，， 解得 ，此时; （3）当，即时，，解得，此时. 综上，的取值范围为 。 【知识点拨】 二次函数恒成立问题规律方法： 1.不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： 当时，，；当时， 2.不等式的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： 当时，；当时， 3. 恒成立 ； 恒成立 。 2、当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______. 【答案】： 解析：因为，所以，即. 因为不等式恒成立，所以恒成立。 因为,所以， 当且仅当时,等号成立。 所以，即实数的取值范围是. 3、若不等式的解集为，求实数的取值范围。 解： ①当，即时，不等式为3＞0恒成立，故符合题意； ②当，即时， 不等式的解集为. 解得. 综上，实数的取值范围是 4、(1)若对不等式恒成立，求实数的取值范围。 (2)若在上恒成立，求的取值范围。 解： (1)：原不等式可化为 ∴ ∴ ∴实数的取值范围为. (2)原不等式可化为恒成立， ∴ ∴实数的取值范围为. 一、单选题 1．下列不等式中是一元二次不等式的是（    ） A．a2x2＋2≥0 B． <3 C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的概念依次判断即可 【详解】选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式； 选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合。 故选：C. 2．使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法求出解集，结合充分条件，必要条件的概念求解即可。 【详解】不等式，即的解集为. 结合充分不必要条件的概念及各项描述，不等式成立的一个充分不必要条件为. 3．不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：由，得， 所以，即， 即，所以， 所以不等式的解集是. 方法二： ，得或， 解得或， 所以不等式的解集是. 4．若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】不等式 可化为， 当 时，不等式为 ，不满足对任意的 恒成立； 当 时， 的图象开口向下，不满足题意， 所以 ，且 ，所以 ， 所以 ，且 ； 所以 ，当且仅当 ， 即 时等号成立，所以 的最小值为 . 5．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的解集结合韦达定理可得、、，则可将不等式化为，解出即可得。 【详解】由不等式的解集为可知， 且，，所以，， 所以不等式可化为， 又，则，解得． 6．已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得和是关于的方程的两个实数根， 所以，解得， 所以， 由得， 当时，， 所以，则的取值范围是，故A正确。 7．若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将命题转化为有解问题，分情况讨论的值，时，不等式为一次不等式有解；时为一元二次不等式，根据二次函数的性质确定不等式有解。 【详解】，的否定为真命题， 即命题“”为真命题， 当时，不等式化为，即，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上实数的取值范围是或， 即 8．若，使得成立，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知原题意等价于，使得成立，令，利用基本不等式结合存在性问题分析求解。 【详解】因为，即， 又因为，则，可得， 原题意等价于，使得成立， 令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以实数的范围是. 故选：B. 二、多选题 9．如图，二次函数的对称轴为，且与轴交于点，则（   ） A． B．， C．的解集为 D．的解集为 【答案】BD 【分析】根据二次函数图象的开口方向可判断A选项；利用二次函数的最值可判断B选项；利用二次函数的对称轴方程得出，结合一次不等式的解法可判断C选项；根据二次函数过点得出，利用二次不等式的解法可判断D选项。 【详解】对于A选项，由题意可知，函数的图象开口向下，则，A错； 对于B选项，因为二次函数的对称轴为，则该函数在处取得最大值， 即，，B对； 对于C选项，因为二次函数的对称轴方程为，即，可得， 由得，即，解得， 故的解集为，C错； 对于D选项，因为二次函数与轴交于点， 则，可得， 不等式即为，即，解得， 故不等式的解集为，D对。 故选：BD. 10．已知关于的方程，则下列结论中错误的是（   ） A．当时，方程的两个实数根之和为 B．方程有两个正根的充要条件是 C．方程无实数根的一个充分不必要条件是 D．方程有一个正根一个负根的充要条件是 【答案】ABD 【分析】利用二次方程根的分布求出实数的取值范围，逐项判断即可。 【详解】对于A选项，当时，方程为，， 即方程无实数解，A错； 对于B选项，若方程有两个正根，则，解得， 即方程有两个正根的充要条件是，B错； 对于C选项，若方程无实数根，则，解得， 故方程无实数根的一个充分不必要条件是，C对； 对于D选项，若方程有一个正根一个负根，设这两根分别为、，则，解得， 故方程有一个正根一个负根的充要条件是，D错。 故选：ABD. 11．命题“”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先将恒成立问题转化为最值问题求出的范围，然后利用充分不必要条件的概念选择答案。 【详解】， 则对都成立， 又，所以， 观察选项可得命题“”是真命题的一个充分不必要条件是BCD. 故选：BCD. 三、填空题 12．不等式的解集为______． 【答案】 【分析】分和两种情况求解一元二次不等式的解集，最后求并集即得到结果。 【详解】当时，不等式变为，即， 解得，又，所以此时不等式的解集为； 当时，不等式变为，即， 解得，又，所以此时不等式的解集为； 所以不等式的解集为. 13．关于不等式组的整数解的集合为，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】结合已知条件，对参数进行分类讨论，并结合不等式组的整数解的集合即可求解。 【详解】由或， 由可知， 当时，， 因为不等式组整数解的集合为，所以； 当时，的解为， 则此时不等式组的整数解的集合为 ，不满足题意； 当时，的解为， 则此时不等式组的整数解的集合为空集，不满足题意， 综上所述，实数k的取值范围为. 故答案为：. 14．如图所示，为迎接国庆节，某花卉基地计划在三块完全相同的矩形花卉四周阴影部分铺设宽度相同的观赏通道已知三块花卉的面积均为平方米．若矩形花卉的长比宽至少多米，则花卉宽的取值范围为_____________________. 【答案】 【分析】设草坪的宽为米，则长为米，由长比宽至少多米，则，即可求得花卉宽的取值范围。 【详解】设矩形花卉的宽为米， 因为三块花卉的面积均为平方米，则长为米， 又矩形花卉的长比宽至少多米，所以， 即，即， 解得， 所以花卉宽的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】根据一元二次不等式运算求解。 【详解】（1）由题意可得，解得或， 所以不等式的解集为. （2）由题意可得，解得， 所以不等式的解集为. （3）由题意可得，解得或， 所以不等式的解集为或. （4）由题意可得，令，解得或， 所以不等式的解集为. 16．求关于x的不等式的解集，其中m是常数． 【答案】答案见详解 【分析】由题意可得，分类讨论最高项系数和两根大小，结合一元二次不等式运算求解。 【详解】因为， 1.当时，则，所以不等式的解集为； 2.当时，令，解得或， （1）当时，可知，所以不等式的解集为； （2）当时，可知，则有： ①当，即时，所以不等式的解集为； ②当，即时，所以不等式的解集为； ③当，即时，所以不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17．已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式。 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， 。 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 18．函数 (1)当恒成立时，求实数的取值范围； (2)当时方程有两个实数根，且，求实数的取值范围 (3)若恒成立，求实数的取值范围 【答案】(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）讨论，根据一元二次不等式恒成立及判别式列不等式求参数范围； （2）由一元二次不等式根的个数得或，再应用韦达定理及已知条件求参数范围； （3）根据不等式恒成立，将主元看作并结合一元一次不等式性质列不等式组求参数范围。 【详解】（1）当时，恒成立； 当时，恒成立，则，解得； 当时，显然不恒成立。 综上，的取值范围是. （2）由有两个实数根，所以，且，解得或，所以， 因为，即，则，解得或， 综上，或. （3）若恒成立， 对恒成立， 则，即为. 19．已知函数. (1)若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (2)求关于的不等式的解集。 【答案】(1)； (2) 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为 【分析】（1）参数分离得，再利用基本不等式求出的最小值即得。 （2）将不等式变形为，再按的取值情况分类讨论求出不等式的解集。 【详解】（1）由，得，而，则恒成立， 当时，，当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围为. （2）不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式为， 当时，解得；当时，无解；当时，解得， 当时，不等式为，解得或， 所以当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $