2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式（第2课时） 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦二次函数与一元二次方程、不等式第2课时，核心内容为一元二次不等式的实际应用。通过预习导学的知识回顾复习一元二次不等式定义、求解步骤等旧知，新知初探引入实际应用四步法，搭建从理论到实践的学习支架。 以文创利润、拱形隧道等实际问题为载体，采用“设—列—解—验”四步法，结合小组讨论与典例方法提炼，引导学生用数学眼光抽象模型、用数学思维推理求解、用数学语言表达关系，提升数学运算与逻辑推理素养，适合自主学习与课堂探究。

人教a版（2019）高中数学必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3.2二次函数与一元二次方程、不等式（第2课时） 精品导学案 💫数学人教A版（2019）必修一💫 课 题 二次函数与一元二次方程、不等式 课 时 第2课时 班 级 ________________ 姓 名 ________________ 🎯 【课标要求】 1. 能从实际问题（经济利润、几何面积、运动物理等）中抽象出一元二次不等式模型，体会数学建模思想。 1. 掌握利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤：设元 → 列不等式 → 求解 → 结合实际意义取舍。 1. 能根据实际问题对变量的约束（正数、整数、范围等）对解集进行合理筛选，提升数学运算与逻辑推理素养。 ⭐ 【重点难点】 学习重点 学习难点 从实际问题中建立一元二次不等式模型；掌握”设—列—解—验”四步解题法。 正确理解实际问题中的数量关系；结合实际意义对解集进行合理取舍与解释。 📖 【预习导学】 请认真阅读教材，完成以下预习内容： ◆ 一、知识回顾（温故） 1. 一元二次不等式的定义：只含有 ____ 个未知数，且未知数的最高次数为 ____ 的不等式，一般形式为 或 ，其中要求常数 ____ 。 1. 二次函数的零点：使方程 成立的实数 ，就是二次函数 的 ______。 1. 设一元二次方程 （）的判别式 ： （1）当 时，方程有 ______ 的实数根 （），此时 的解集为 ______， 的解集为 ______； （2）当 时，方程有 ______ 的实数根 ，此时 的解集为 ______， 的解集为 ______； （3）当 时，方程 ______ 实数根，此时 的解集为 ______， 的解集为 ______。 1. 求解二次项系数 ____ 的一元二次不等式时，通常先把二次项系数化为 ____，再按照”求根 → 画图 → 写解集”的流程求解。 ◆ 二、新知初探 1. 利用一元二次不等式解决实际问题的通用步骤： （1）设 ______，根据题意列出对应的一元二次不等式； （2）将不等式整理为二次项系数 ______ 的标准形式； （3）计算判别式 ，求解对应一元二次方程的 ______； （4）结合二次函数图象写出不等式的 ______； （5）根据实际问题的约束条件（如变量取正数、整数等）筛选出最终结果。 1. 实际问题中解出不等式解集后，一定要结合 ______ 对变量进行范围取舍，比如产量、车速这类物理量必须取 ____ 数，人数、产量这类量通常还要取 ____ 数。 💡 温馨提示：解应用题的关键是”读懂题意，找对关系”。可以先把文字语言翻译成数学符号，再判断是方程问题还是不等式问题，最后别忘了把数学答案翻译回实际意义哦！ ◆ 三、预习疑惑 在预习过程中，你还有哪些不理解的地方？请写下来，课堂上我们一起探讨： 🔍 【合作探究】 【问题1】　文创产品的利润问题 某校园文创店销售一种定制书签，每枚成本为 元。根据市场调查：若定价为每枚 元，每天可售出 枚；若每涨价 元，每天的销量就会减少 枚。设每枚书签的定价为 元（，且 为整数）。 讨论： 请用含 的式子表示：每枚书签的利润为 _____ 元，每天的销量为 _____ 枚。 💬 小组讨论记录： ________________________________________________ ________________________________________________ 【问题2】　拱形隧道的通行问题 某景区拟修建一个横截面为抛物线形的观光隧道，设计要求：隧道的最大高度为 ，底部宽度为 。施工队在横截面内建立平面直角坐标系，使抛物线顶点在 ，底部两端点分别在 和 处。 讨论： （1）求该抛物线对应的函数解析式。 （2）现有一辆观光电瓶车，车宽 、车高 。若车辆从隧道中间行驶，能否安全通过？请通过列不等式并求解来说明理由。 💬 小组讨论记录： ________________________________________________ ________________________________________________ 💡 【典例精析】 例1 （面积问题） 用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为 。设垂直于墙的一边长为 。 若要使花圃的面积大于 ，求 的取值范围； 【解析】 由题意，平行于墙的一边长为 ，且 ，即 。 依题意得：，整理得：， 因式分解：，解得：。 结合实际意义 ，取交集得 。 答： 的取值范围为： 💡 方法提炼：解面积类应用题，第一步先写出各边长度表达式和变量的实际范围，再列不等式求解，最后用实际意义对解集进行筛选。 例2 （利润问题） 某电子产品专卖店销售一款耳机，每个成本为 元。市场调查发现，若按每个 元销售，平均每天可卖出 个；若售价每提高 元，平均每天就少卖 个。设每个耳机的售价为 元（）。 （1）求每天的销售利润 与售价 之间的函数关系式； （2）若该店计划每天销售这款耳机的利润不低于 元，求售价 的取值范围。 【解析】 （1）每个耳机利润为 元； 售价提高了 元，销量减少 个， 因此每天销量为 个。 所以 （，且 ，即 ）。 （2）由题意：， 移项整理：， 因式分解：， 解得：。 答：售价 的取值范围为。 💡 方法提炼：利润类问题抓住”总利润 = 单利润 × 销量”这个核心关系，列不等式时要特别小心不等号方向！ ✏️ 【当堂达标】 （建议用时：8分钟　　满分：16分） 1. （8分）某电子厂每月生产 台平板电脑的利润为 （元）。若要使月利润不低于 元，则每月至少需要生产多少台？（　　） A. 台　　　B. 台　　　C. 台　　　D. 台 2. （8分）小明用一根长为 的绳子围出一个矩形花圃，设矩形的一边长为 。若要求花圃的面积大于 ，则 的取值范围是（　　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 📝 【课堂小结 & 课后作业】 知识框架 课后作业 一元二次不等式的实际应用类型： ① 利润最值型 ② 面积围建型 ③ 物理运动型 ④ 通行通过型四步法： 设元 → 列不等式→求解 →实际取舍 1. 不等式 的解集为 ____。 2. 不等式 的解集为 ____。 3. 用 长的篱笆围一个矩形菜园，设一边长为 ，若面积不小于 ，求 的取值范围。 🌟 【学习反思】 今日收获： 存在困惑： 学科网（北京）股份有限公司 $人教a版（2019）高中数学必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3.2二次函数与一元二次方程、不等式（第2课时） 精品导学案（解析版） 💫数学人教A版（2019）必修一💫 课 题 二次函数与一元二次方程、不等式 课 时 第2课时 班 级 ________________ 姓 名 ________________ 🎯 【课标要求】 1. 能从实际问题（经济利润、几何面积、运动物理等）中抽象出一元二次不等式模型，体会数学建模思想。 1. 掌握利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤：设元 → 列不等式 → 求解 → 结合实际意义取舍。 1. 能根据实际问题对变量的约束（正数、整数、范围等）对解集进行合理筛选，提升数学运算与逻辑推理素养。 ⭐ 【重点难点】 学习重点 学习难点 从实际问题中建立一元二次不等式模型；掌握”设—列—解—验”四步解题法。 正确理解实际问题中的数量关系；结合实际意义对解集进行合理取舍与解释。 📖 【预习导学】 请认真阅读教材，完成以下预习内容： ◆ 一、知识回顾（温故） 1. 一元二次不等式的定义：只含有 ____ 个未知数，且未知数的最高次数为 ____ 的不等式，一般形式为 或 ，其中要求常数 ____ 。 1. 二次函数的零点：使方程 成立的实数 ，就是二次函数 的 ______。 1. 设一元二次方程 （）的判别式 ： （1）当 时，方程有 ______ 的实数根 （），此时 的解集为 ______， 的解集为 ______； （2）当 时，方程有 ______ 的实数根 ，此时 的解集为 ______， 的解集为 ______； （3）当 时，方程 ______ 实数根，此时 的解集为 ______， 的解集为 ______。 1. 求解二次项系数 ____ 的一元二次不等式时，通常先把二次项系数化为 ____，再按照”求根 → 画图 → 写解集”的流程求解。 ◆ 二、新知初探 1. 利用一元二次不等式解决实际问题的通用步骤： （1）设 ______，根据题意列出对应的一元二次不等式； （2）将不等式整理为二次项系数 ______ 的标准形式； （3）计算判别式 ，求解对应一元二次方程的 ______； （4）结合二次函数图象写出不等式的 ______； （5）根据实际问题的约束条件（如变量取正数、整数等）筛选出最终结果。 1. 实际问题中解出不等式解集后，一定要结合 ______ 对变量进行范围取舍，比如产量、车速这类物理量必须取 ____ 数，人数、产量这类量通常还要取 ____ 数。 💡 温馨提示：解应用题的关键是”读懂题意，找对关系”。可以先把文字语言翻译成数学符号，再判断是方程问题还是不等式问题，最后别忘了把数学答案翻译回实际意义哦！ ◆ 三、预习疑惑 在预习过程中，你还有哪些不理解的地方？请写下来，课堂上我们一起探讨： 🔍 【合作探究】 【问题1】　文创产品的利润问题 某校园文创店销售一种定制书签，每枚成本为 元。根据市场调查：若定价为每枚 元，每天可售出 枚；若每涨价 元，每天的销量就会减少 枚。设每枚书签的定价为 元（，且 为整数）。 讨论： 请用含 的式子表示：每枚书签的利润为 _____ 元，每天的销量为 _____ 枚。 💬 小组讨论记录： ________________________________________________ ________________________________________________ 【问题2】　拱形隧道的通行问题 某景区拟修建一个横截面为抛物线形的观光隧道，设计要求：隧道的最大高度为 ，底部宽度为 。施工队在横截面内建立平面直角坐标系，使抛物线顶点在 ，底部两端点分别在 和 处。 讨论： （1）求该抛物线对应的函数解析式。 （2）现有一辆观光电瓶车，车宽 、车高 。若车辆从隧道中间行驶，能否安全通过？请通过列不等式并求解来说明理由。 💬 小组讨论记录： ________________________________________________ ________________________________________________ 💡 【典例精析】 例1 （面积问题） 用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，墙长为 。设垂直于墙的一边长为 。 若要使花圃的面积大于 ，求 的取值范围； 【解析】 由题意，平行于墙的一边长为 ，且 ，即 。 依题意得：，整理得：， 因式分解：，解得：。 结合实际意义 ，取交集得 。 答： 的取值范围为： 💡 方法提炼：解面积类应用题，第一步先写出各边长度表达式和变量的实际范围，再列不等式求解，最后用实际意义对解集进行筛选。 例2 （利润问题） 某电子产品专卖店销售一款耳机，每个成本为 元。市场调查发现，若按每个 元销售，平均每天可卖出 个；若售价每提高 元，平均每天就少卖 个。设每个耳机的售价为 元（）。 （1）求每天的销售利润 与售价 之间的函数关系式； （2）若该店计划每天销售这款耳机的利润不低于 元，求售价 的取值范围。 【解析】 （1）每个耳机利润为 元； 售价提高了 元，销量减少 个， 因此每天销量为 个。 所以 （，且 ，即 ）。 （2）由题意：， 移项整理：， 因式分解：， 解得：。 答：售价 的取值范围为。 💡 方法提炼：利润类问题抓住”总利润 = 单利润 × 销量”这个核心关系，列不等式时要特别小心不等号方向！ ✏️ 【当堂达标】 （建议用时：8分钟　　满分：16分） 1. （8分）某电子厂每月生产 台平板电脑的利润为 （元）。若要使月利润不低于 元，则每月至少需要生产多少台？（　　） A. 台　　　B. 台　　　C. 台　　　D. 台 2. （8分）小明用一根长为 的绳子围出一个矩形花圃，设矩形的一边长为 。若要求花圃的面积大于 ，则 的取值范围是（　　） A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 📝 【课堂小结 & 课后作业】 知识框架 课后作业 一元二次不等式的实际应用类型： ① 利润最值型 ② 面积围建型 ③ 物理运动型 ④ 通行通过型四步法： 设元 → 列不等式→求解 →实际取舍 1. 不等式 的解集为 ____。 2. 不等式 的解集为 ____。 3. 用 长的篱笆围一个矩形菜园，设一边长为 ，若面积不小于 ，求 的取值范围。 🌟 【学习反思】 今日收获： 存在困惑： 📖 参考答案与解析 一、预习导学 答案 ◆ 一、知识回顾（温故） 1. 一；； 1. 零点 1. （1）两个不相等；； （2）两个相等；； （3）没有；； 1. 为负；正数 ◆ 二、新知初探 1. 未知数；为正；实数根；解集 1. 实际意义；正；整 二、合作探究 答案 【问题1】 每枚利润为 元，每天销量为 枚。 【问题2】 （1） 设抛物线解析式为 ，代入 得： ，解得 。 所以抛物线解析式为（）。 （2） 车宽 ，从中间行驶，则车辆左右边缘的横坐标为 。 令 ，代入得：。 因为 ，所以车辆能安全通过。 用不等式验证：车辆顶部高度 隧道在 处的高度， 即 ，成立，故能通过。 答：能安全通过。 三、典例精析 答案 例1 的取值范围为。 例2 （1）（）。 （2）售价 的取值范围为 （单位：元）。 四、当堂达标 答案 1. 【答案】B 解析：由题意，， 移项：， 两边同乘 （变号）：， 因式分解：， 解得：。 所以每月至少生产 台。故选 B。 2. 【答案】B 解析：矩形另一边长为 ， 面积 ， 整理：， 因式分解：， 解得：。故选 B。 五、课后作业 答案 基础巩固 1. 解析：，，解得 。 2. 或 解析： ， 解得 或 。 3. 【解答】设矩形一边长为 ，则另一边长为 ， 面积 ， 整理：， 因式分解：， 解得：。 答： 的取值范围为。 📌 易错点对查表 易错类型 常见错误 正确做法 变量范围 只解不等式，忽略实际问题中 、 为整数等约束 解完不等式后，结合实际意义取交集 二次项系数 系数为负时，除以负数忘记 变号 先把二次项系数化为正，再求解 墙长约束 围建问题忘记墙的长度限制（平行边 ≤ 墙长） 先写出各边表达式及所有约束条件 整数问题 解集直接写答案 若变量为整数，应取 利润问题 销量表达式写错（涨价销量应该减少） 列完式子先验证：售价为多少时销量为0？ 学科网（北京）股份有限公司 $