2.4解直角三角形的应用（分层作业练题型）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，覆盖解直角三角形应用全题型，从基础巩固到中考衔接，梯度合理，注重数学应用与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|仰角俯角、坡度等单一知识点|基础选择填空+简单解答，如测量树高的仰角计算| |B组能力进阶|多情境综合应用|多问解答题，如测量古塔高度结合坡度与仰角| |C组思维拔高|动态与跨学科问题|探究性问题，如光的折射实验中的距离计算| |拓展链接中考|中考真题题型|中考真题，如门与墙几何问题，培养应用意识|

分层作业 2.4解直角三角形的应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 仰角、俯角问题 题型02 测量距离与河宽问题 题型03 坡度（坡比）问题 题型04 方位角问题 题型05 运动与动态角度问题 题型06 生活中的器具问题 题型07 生活中其它问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 仰角、俯角问题题型01 1.（2024·湖南长沙·模拟预测）某次户外研学活动中，数学老师给同学们布置了一项测量树高的任务．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角，若米，则树高为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．根据题意可知，在中，米，，利用三角函数即可求出的高度． 【详解】解：∵，米，， ∴， ∴（米）． 故选：D． 2.如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（　　） A．800sinα米 B．800tanα米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】【分析】在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米，根据tanα=，即可解决问题. 【详解】在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，∠B=α，AC=800米， ∴tanα=， ∴AB=， 故选D． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型. 3.（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，一艘潜水艇在海面下米的点处发现其正前方的海底处有黑匣子，同时测得黑匣子的俯角为，潜水艇继续在同一深度直线航行米到点处，测得黑匣子的俯角为，则黑匣子所在的处距离海面的深度是（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等角对等边，解直角三角形的应用等知识．熟练掌握三角形外角的性质，等角对等边，解直角三角形的应用是解题的关键． 由题意知，，，则，即，如图，作于，则，根据黑匣子所在的处距离海面的深度是，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，米，米， ∴， ∴米， 如图，作于，    ∴， ∴黑匣子所在的处距离海面的深度是米， 故选：A． 4.（25-26八年级上·湖南娄底·期末）小明和小强攀登一无名山峰，他俩在山脚A处测得主峰B的仰角为，然后从山脚沿一段倾角为的斜坡走了到达山腰C，此时测得主峰B的仰角为，如图所示．于是小明对小强说：“我知道主峰多高了，”请根据他们提供的数据算出主峰的高度． 【答案】主峰高度为 【分析】先利用含有30度角的直角三角形的性质求得，，再求得，并且得出四边形是矩形，设，利用含有30度角的直角三角形的性质用表示出，再表示出，然后根据矩形的性质得出，，再利用等腰直角三角形的性质得出，从而可得出，进而得出关于的方程求解，从而可得． 【详解】解：如图，设的延长线与水平线交于点F，过点C作，垂足为E． 则， ∴， 在中，，，． ∴，， ∵测得主峰B的仰角为， ∴，． ∴四边形是矩形， 设， 则，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 答：主峰的高度为． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，根据矩形的性质与判定求线段长，解直角三角形的相关计算，仰角俯角问题(解直角三角形的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 5.（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，塔的高度为，塔的底部与桥位于同一条水平直线上．由塔顶测得和的俯角，分别为和，求，的长（结果精确到，参考数据：） 【答案】； 【分析】本题考查了解直角三角形．在直角中，先求得，然后利用三角函数求得的长，在直角中，先求得，然后利用三角函数求得的长，根据即可求解． 【详解】解：在中，，， 由，得： ， 在中，，， 由，得 ， 所以， 答：；． 测量距离与河宽问题题型02 1.（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）如图，要测量小河两岸相对的两点，的距离，可以在小河边取的垂线上的一点，测得米，，则小河宽等于（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】此题考查是解直角三角形，根据锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】解：在中， ∴ 故选：A． 2.（2025·吉林长春·模拟预测）如图，图①是某对开门的实物图，图②是其示意图．若厘米，则门缝宽的长为（　　） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】B 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，过作于，过作于，证明，结合，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作于，过作于， 由题意可得：，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴（厘米）； 故选：B 3.（2025·吉林长春·一模）如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从上的一点，取，，．要使点A、C、E在同一条直线上，那么开挖点离点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角性质及解直角三角形，解题的关键是判断出是直角三角形．根据三角形的外角性质求出，然后判断出是直角三角形，利用解直角三角形即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形， 开挖点离点的距离：， 故选：C． 坡度（坡比）问题题型03 1.（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图是人行天桥的示意图，高米，斜坡米，则斜坡的坡度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－坡度坡角问题．根据坡度的定义直接求解即可． 【详解】解：∵坡高，斜坡， ∴水平距离，， ∴斜坡的坡度为，， 故选：C． 2.（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知某斜坡的坡度，则斜坡的坡角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坡度与坡角的关系及特殊角的三角函数值，解题关键是明确坡度为坡角的正切值，再结合特殊角的三角函数值求解． 【详解】解：∵斜坡的坡度，且， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 3.（25-26九年级上·湖南怀化·期末）如图，某超市的自动扶梯高为4米，坡角为，则扶梯长为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了坡度坡比问题（解直角三角形的应用），已知正弦值求边长等知识点，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键． 由正弦的定义即可直接得出答案． 【详解】解：在中，，米， ， 故选：B． 4.（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽米，坝高米，斜坡的坡角，斜坡的坡度，求坝底宽的长．（答案保留根号） 【答案】坝底宽的长为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； 解直角三角形求出，根据坡度的概念求出，证明四边形是矩形，可得的长度，进而可得答案． 【详解】解：由题意得：米， ∵斜坡的坡度， ∴，即， ∴米， ∵坝高，，梯形中，， ∴ ∴四边形是矩形， ∴米， ∴坝底宽米． 5.（25-26九年级上·山东济南·期末）国庆节假期张亮和爸爸去垂钓园钓鱼，已知如图2，斜坡的坡度为长为5米，钓竿与水平线的夹角是，其长为6米，若钓竿与钓鱼线的夹角是． (1)求点到水平面的距离； (2)求浮漂与斜坡下端之间的距离．（结果精确到，参考数据：， 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是构造直角三角形． （1）过点作于点，设，则，利用勾股定理列出方程求解即可； （2）过点的水平线交于点，过点作于点，得出四边形为矩形，得出相等边，然后利用锐角三角函数进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵斜坡的坡度为， ∴设，则， 根据勾股定理得， 解得， ∴点到水平面的距离为米； （2）解：如图所示，过点的水平线交于点，过点作于点， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴浮漂与斜坡下端之间的距离为米． 6.某游乐场新推出一个“极速飞车”项目，该项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道的坡度为，斜坡轨道的坡角，米，米，点A、B、C、D均在同一平面内，求垂直升降电梯的高度．（精确到0.1米；参考数据：，，） 【答案】的高度为米 【分析】根据勾股定理，可得米，米，再根据正切函数，可得的长，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：∵斜坡轨道的坡度为，则， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即米，米， ∴米， ∵，即米， ∴米， 即的高度为米． 方位角问题题型04 1.（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）南沙群岛是我国固有领土，我南海渔民要在南沙某海岛A附近进行捕鱼作业，从位于海岛A的南偏东方向、距离海岛50海里的B处出发，沿正北方向航行一段时间后，到达位于海岛A的东北方向上的C处，则渔船航行的距离为（     ）． A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据题意画出图形是解题的关键． 先根据题意画出图形，然后解直角三角形求得线段的长即可． 【详解】解：如图：由题意可得：,，海里， ∴， ∴海里，， ∴， ∴渔船航行的距离为海里． 故选D． 2.（25-26九年级上·湖南·阶段检测）如图，在一条笔直的海岸线（东西方向）的北边有一座灯塔．小华在海岸线上的点测得灯塔在北偏东的方向上；小华继续沿着正东方向走了海里到达点处，此时测得灯塔在北偏东的方向上．那么灯塔到海岸线的距离为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形——方位角问题、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．正确作出辅助线构造直角三角形，并灵活应用等腰三角形的性质及方位角的定义是解答本题的关键．根据三角形内角和定理证出，由此得到，进而构造，并运用的正弦值即可求得灯塔到海岸线的距离． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点． 由题意，易知，，． 由三角形的内角和等于，得． ∴． ∴是等腰三角形． ∴海里． ∵， ∴． 在中，，海里，， ∴(海里)． ∴灯塔到海岸线的距离为海里． 故选：C． 3.（25-26九年级上·湖北荆门·期末）北斗卫星导航系统是中国自行研制的卫星导航系统，其由空间段，地面段和用户段三部分组成，一家人自驾到风景区游玩，到达地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地．再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，发现风景区在地的北偏东方向． (1)求的度数； (2)求，两地的距离（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，． 【答案】(1) (2)千米 【分析】本题主要考查了方向角、三角形内角和定理、解直角三角形、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法和特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据方向角，先求出和的度数，再利用三角形内角和定理求出． （2）过点作于，在中，利用和千米，求出和的长度；在中，利用和的长度，求出的长度；最后由计算出、两地的距离． 【详解】（1）解：由方向角可知，， ， ∴ ． （2）解：过点作于， ∵ 在中，，， ∴ ， ∴ ，， ∵ 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ （千米）． 4.（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域处时，收到指令要分别途经海上观测点和，并最终到达处执行任务．在观测点的西北方向且在观测点的西南方向海里处，观测点在观测点的正北方向，目的地在观测点的北偏东方向且在观测点的北偏东方向． (1)求的距离． (2)求的距离（结果保留根号）． 【答案】(1)海里 (2)海里 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，含角的直角三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． （1）根据方向角的定义得出，，，利用三角函数的定义求出，利用外角的性质得出，根据等角对等边即可得答案； （2）过点作于，根据三角函数求出海里，再根据，含角的直角三角形的性质求出的长即可． 【详解】（1）解：如图所示： 题意可得，，（海里）， ∴ ∴（海里）， ∵目的地在观测点的北偏东方向且在观测点的北偏东方向， ∴，， ∴， ∴， ∴（海里）． （2）解：如图，过点作于， ∵，海里 ∴（海里）， ∵， ∴（海里）． 运动与动态角度问题题型05 1.（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东方向上距离A处12海里的B处，并以每小时20海里的速度沿南偏西方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追赶走私船，则追上走私船所需时间是（    ） A．0.5小时 B．0.75小时 C．0.8小时 D．1.25小时 【答案】C 【分析】根据题意，求得，再结合勾股定理，根据追及问题求法计算即可； 此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识相结合是解题的关键． 【详解】∵走私船在处的南偏东方向上， ， 走私船在处沿南偏西方向行驶， ， 设追上走私船所需时间是小时， 则 解得 (不合题意，舍去)或 故选：C． 2.（25-26九年级上·山东青岛·期末）单摆是一种能够产生往复摆动的装置，其摆球在重力的作用下沿着圆弧进行周期性往复运动．某校数学兴趣小组尝试利用摆球与摆线进行与单摆相关的实验探究．他们的实验报告如下： 实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球、摆线、支架、摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计） 如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，，，；当摆球运动至点时，，．（点在同一平面内） 实验图示    请你根据以上信息，求的长．（结果保留整数）（参考数据：） 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，解直角三角形求出的值，再解得的长，最后由可得解． 【详解】解：由题意，在中，， ， ， ， ， 在中，， ， ． ， 答：的长为． 3.（25-26八年级下·重庆潼南·期末）某送货员送货的路线如图所示：．已知B在A的北偏东方向处，C在B的正东方处，D在C的南偏东方向，D在A的正东方．（参考数据：，，） (1)求线段的长度；（结果精确到） (2)已知送货员在送货过程中全程保持的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A运送到D，则送货员按既定路线进行运送能否按时送达？（送货员在各站点停留的时间忽略不计） 【答案】(1) (2)解：送货员按既定路线进行运送能按时送达，理由如下： 根据题意，得， ， ， 故需要时间为， 小于16分钟， 故送货员按既定路线进行运送能按时送达； 【分析】（1）根据，计算即可； （2）根据时间，计算比较解答即可，注意单位的统一； 【详解】（1）解：根据题意，得，，，，，四点共线，，垂足分别为点F，点E， ， 根据平行线间的距离处处相等，得， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ； （2）略 生活中的器具问题题型06 1.（25-26九年级上·吉林长春·期末）图①是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的．图②是其截面示意图（液面宽度忽略不计），若，，当时，可表示为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正弦三角函数的应用，熟练掌握正弦三角函数的概念是解题的关键．根据正弦三角函数的概念，结合图形，可得到结果． 【详解】解：在中，，，， ∴，即， ∴． 故选：B． 2.（25-26八年级下·山东济南·期末）某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为1.8米，的度数为，则此时“天幕”的宽度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形、等腰三角形三线合一，灵活运用相关知识是解题的关键；根据正弦函数解直角三角形即可解答． 【详解】解：设交于点， ∵，， ∴，， 在中，， ∵， ∴. 3.（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图1是装满液体的高脚杯示意图，测量发现点A到地面的距离为29，，，若用去一部分液体后，液面下降的高度恰好等于此时的液面，则（    ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查点到直线的距离，解直角三角形，解题的关键是熟练运用三角函数解决问题． 解与即可求解． 【详解】解：如图， 点到地面的距离为29， ， ，， ，， 在中， 又到地面的距离为22， ， 在中， ， ， ． 故选：C． 4.（2024·广东深圳·一模）榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式．如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面是梯形，其中，，燕尾角，外口宽，榫槽深度是，则它的里口宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形求出，再根据即可求解，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点分别作的垂线段，垂足分别为 ，连接，则，如图， 在中， ， 在， ， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：． 5.（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，这是在摄影时常用的一种可调节高度的三脚架，它主要由三根长度相等的支柱构成．小深同学通过测量发现，在保持三脚架稳定的前提下，它的每一根支柱与地面之间的夹角最大能达到，即；最小能达到，即．已知该三脚架的支柱，求该三脚架可调节部分的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【分析】首先求得，，再利用求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 在中，，， ， 故 生活中其它问题题型07 1.（25-26九年级上·湖南永州·期末）跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一……”．如图，拉皮筋的两人位置为、，跳皮筋孩子脚踩位置为点，点、、在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度米．（，垂直地面）若，．，最后结果保留到）    (1)求拉皮筋的两个孩子之间的距离； (2)当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了多少米． 【答案】(1)拉皮筋的两个孩子之间的距离为米 (2)当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）根据正切的定义，分别求得的长，进而根据，即可求解； （2）解，求得    的长，结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 答：拉皮筋的两个孩子之间的距离为米； （2）解：在中，， 在中， ∴， 答：当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了米 2.（25-26九年级上·安徽安庆·期末）随着新能源汽车技术的革新，消费者对新能源汽车的需求日益增长，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，充电站的平面示意图是矩形PQMN（如图），矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，，，，，是相邻车位的宽，该充电站所有车位均相同，且按图示并列划定． (1)求的长（精确到米）； (2)若的长为64米，则该充电站最多可以划定多少个停车位？（参考数据：，，） 【答案】(1) (2)该充电站最多可以划定20个车位 【分析】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，解题关键是正确地进行计算． （1）求出后分别计算即可求解； （2）求出，再分别在和中解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：（1）∵四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ， 在中，， 在中，， ． （2）四边形和四边形都是矩形， ，则， ，， ， 在中，， 在中，， ，所以该充电站最多划定20个车位． 答：该充电站最多可以划定20个车位． 1.(24-25九年级下·湖南郴州·期末）某数学兴趣小组在课外时间利用所学锐角三角函数知识开展了项目化学习活动． 项目主题 测量古塔的高度 测量工具 测距仪，测角仪，计算器 测量方案 测量示意图 测量说明 如图，古塔前有一座高为的观景台，测得米，斜坡的坡度，点在同一条水平线上．在处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为． 参考数据 请你根据以上信息解决下列问题： (1)求的长； (2)求古塔的高度．（结果精确到1米） 【答案】(1)米 (2)51米 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，涉及含度角的直角三角形的性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． （1）由，可得，根据含角的直角三角形的性质求解即可； （2）作于，则米，米，在中，，根据，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 在中，（米）， 米 （2）解：由（1）可知，在中，米， ， 设， 米； 作于，则米，米， 在中，， ， 即， 解得：． 塔的高度为51米． 2.（25-26九年级上·山东日照·期末）为促进学生身心健康发展，学校组织全体师生开展秋季远足实践活动．如图A，B，C，D是四个打卡地，此次远足路线分为“访山”线：和“寻海”线：，其中B在A的正东方向处，C在A的南偏东方向，C也在B的南偏西方向，D在A的北偏东方向．（参考数据：，） (1)求“寻海”线的长度（结果保留小数点后一位）； (2)若七年级选择走“访山”线，九年级选择走“寻海”线，已知“访山”线长度约为，七年级比九年级提前6分钟出发，两个年级全程匀速前进（忽略全程途中停留时间），九年级的平均行走速度是七年级的1.2倍，结果两个年级同时返回到出发点A，求七年级的平均行走速度． 【答案】(1)“寻海”线为； (2)七年级的平均行走速度为． 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，分式方程的应用． （1）过点作于点，可得和的度数，进而求出的度数，再根据解直角三角形求出、、、的长度，从而求得“寻海”线的长度即可； （2）设七年级的平均行走速度为，结合题意可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：过点作于点，如图： 、、 ， ，， ，， ， 答：“寻海”线为； （2）解：设七年级的平均行走速度为， ∴， 解得：， 经检验符合题意； ∴七年级的平均行走速度为． 3.（25-26九年级上·山东聊城·期末）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，） (1)如图2，当三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，，如图3所示，且点到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，过点作于点，如图所示，则，由题意得到，在中解直角三角形得到，最后由代值计算即可得到答案； （2）过点作，过点作，交于点，如图所示，则，，在中解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：过点作，过点作于点，如图所示： 则， ， ∴， 在中，， ， ， ∴端点距离地面的高度； （2）解：过点作，过点作，交于点，如图所示： ， ，， ∴， ， ， ， ， ， ∴在中，， ∴， 的长为． 【点睛】数形结合，构造直角三角形并灵活掌握锐角三角函数的计算是解题的关键． 4.（25-26九年级上·山西运城·期末）项目学习 项目背景：某中学数学兴趣小组在学校化学实验室围绕“计算导气管的长度”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 导气管长度的测量与计算 驱动任务 如何利用三角函数计算导气管的长度 活动过程 方案说明 图1是小组成员安装的化学实验室装置，图2是抽象出的平面示意图，点为试管口，为试管，为铁杆，为试管口与铁杆的水平距离为导气管，为水槽壁，为试管的倾斜角，，点在同一条直线上，图中所有的点在同一平面内 测量数据 经测量得 计算 …… 交流展示 …… 请根据表中数据，计算的长度．（结果精确到，参考数据：，，， 【答案】的长度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，求出，根据，求得，再求得的长度，证四边形是矩形，得到，根据是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， 在中，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ． 答：的长度约为． 1.（25-26九年级上·湖南长沙·期末）无人机在实际生活中应用广泛，如图，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为，已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A，B，C，D，P在同一平面内）． (1)填空：_______，_______； (2)求楼的高度；（精确到0.1米） (3)求此时无人机距离地面的高度．（参考数据：，） 【答案】(1)， (2)楼的高度为米 (3)此时无人机距离地面的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作于点，则，由题意可得，，，再结合，，计算即可得出结果； （2）作于点，则，从而可得四边形为矩形，由矩形的性质可得米，米，解直角三角形得出米，即可得出结果； （3）作于点，交于点，则，从而可得四边形为矩形，米，证明，得出米，即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，作于点，则， 由题意可得：，，， ∴，； （2）解：如图，作于点，则， ∴四边形为矩形， ∴米，米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， 故楼的高度为米； （3）解：如图：作于点，交于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴米， 由题意可得， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴米， ∴米， ∴此时无人机距离地面的高度为米． 2.（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长与交于点，坡道的坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，已知米，米． (1)请求出的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，试确定该车库入口的限高数值（即点到的距离）． (3)为保障安全，车辆顶部到隧道顶部至少保留米的安全距离，现有一辆货车装满货物后高度为米，通过计算判断这辆货车能否驶入该隧道_____（填“能”或“不能”）； 【答案】(1)米 (2)该车库入口的限高数值为米 (3)不能 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是数形结合，作出辅助线． （1）根据，得出，即，求出米，得出（米）； （2）过点D作于H，证明，得出，设，，根据勾股定理求出，根据米，得出，最后求出结果即可； （3）根据（2）中结果求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， ∵米， ∴米．　　 ∵米， ∴（米）； （2）解：过点D作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，， ∴， ∵米， ∴， 解得， ∴（米）， 答：该车库入口的限高数值为米； （3）∵， ∴这辆货车不能驶入该隧道， 故答案为：不能． 3.（25-26九年级上·安徽安庆·期末）综合与实践：学习解直角三角形的知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习． 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边缘点A处投射到底部点B处，入射光线与水槽内壁的夹角为； 第二步：向水槽注水，水面上升到的中点E处时，停止注水．（直线为法线，为入射光线，为折射光线） 【测量数据】 如图，点A，B，C，D，E，F，O，M，N在同一平面内，测得，，折射角． 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： (1)求的长； (2)求B，D之间的距离（结果精确到）．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可证明，则，的长可求； （2）由题意可知，因为，根据，可求长度，由为法线，可证，则可证，则B，D之间的距离为可求． 【详解】（1）解：根据题意，得，， ∴， ∴； （2）解：∵ E为的中点 ∴， 由题意， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 答：B，D之间的距离为． 1．（2026·湖南·中考真题）门与两面墙的平面示意图如图所示，墙与 垂直，门可绕旋转，是门与门吸的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置）， 于点．已知，，，且，则门吸离墙的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点G，证明四边形是矩形，得到则根据得到，即可求出． 【详解】解：过点作于点G， ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴． 2.（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知． (1)求的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）由题意可得，．从而得出，根据即可求解． （2）根据，得出．由（1）得．则，故．在中，解直角三角形求出，，从而求出．再根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，由题意可得，． ． ． （2）解：， ． 由（1）得． ． 又， ． 在中，，， ， ． ． ， ． ． ∴景点C与景点D之间的距离为． 3．（2025·湖南·中考真题）如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱和分别垂直地面水平线于点，，分米，．在点，之间的晾衣绳上有固定挂钩，分米，一件连衣裙挂在点处（点与点重合），且直线． (1)如图1，当该连衣裙下端点刚好接触到地面水平线时，点到直线的距离等于12分米，求该连衣裙的长度； (2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩处再挂一条长裤（点在点的右侧），若，求此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】(1)14分米 (2)2分米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）可证明四边形是矩形，得到；在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）过点E作于H，延长交于T，则四边形是矩形，可得；解求出的长，进而求出的长，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，分米， ∴分米， ∴分米， ∴分米， 答：该连衣裙的长度为14分米； （2）如图所示，过点E作于H，延长交于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，分米，，， ∴分米， 分米， ∴分米， ∴分米， 分米， ∴分米； 答：此时该连衣裙下端点到地面水平线的距离约为2分米． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.4解直角三角形的应用 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 仰角、俯角问题 1.D 2.D 3.A 4.【详解】解：如图，设BD的延长线与水平线交于点P,过点C作CE⊥AF,垂足为E. 则BF⊥AF, B C60°D 450 30° A F ∴.∠AFB=∠AEC=∠CEF=90°， 在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠CAE=30°，AC-2km. .CE-4C-Ikm.AE-AC.cosC4E-2x(km) 2 :测得主峰B的仰角为60°， .CD⊥BF,∠CBD=90°-∠BCD=30°. ∴四边形CDFE是矩形， 设CD=xkm, BD= CD x-3xkm 则 an∠CBD- BC=2CD=2xkm 3 ,四边形CDFE是矩形， .'EF CD=xkm,DF=CE=1km, ,∠BFA=90°，∠BAF=45°， 1/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :'BF=AF, ∴，BD+DF=AE+EF, .BD+CE=AE+CD .5x+1=V3+x, 解得：x=1, :.BF=(5+1)km 答：主峰的高度为(V5+1)km 5.详解】解：在△ABD中，AD=30m,∠BAD=90°-45°=45°， 由tan∠BAD= B D,得 BD=30tan45°=30m, 在△ADC中，AD=30m,∠CAD=90°-30°=60°， 由an∠CAD=CD D,得 CD=30×tan60°=30V3≈30×1.73≈52m, 所以BC=CD-BD=52-30=22m, 答：BD=30m:BC=22m 颗型02 测量距离与河竞问题 1.A2.B3.C 颗型03 坡度（坡比）问题 1.C2.B3.B AE=BE=30-30V5 4.【详解】解：由题意得： tan30°√3 米， 3 ,斜坡CD的坡度i=1:2.5, CF1301 ·DF2.5,即DF2.5, .DF=75米， :坝高BE⊥AD,CF⊥AD,梯形ABCD中，BC∥AD 2/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BE⊥BC ∴四边形BCFE是矩形， .BC=EF=10米， :坝底宽AD=AE+EF+DF=305+10+75=(305+85)米 5.【详解】(1)解：如图所示，过点A作AE⊥BD于点E, 65 450水平线 水平面 E B ,斜坡AB的坡度为：2， ∴设AE=x,则BE=2x, 根据勾股定理得AB=√AE2+BE2=√5x=5, 解得x=V5≈2.24， ∴点A到水平面BD的距离为2.24米： (2)解：如图所示，过点A的水平线交CD于点F,过点F作FG⊥BD于点G, 65 450水平线F 水平面 E B GD 、.AF∥BD,LFGB=LFGD=∠AEG=90°， ∴四边形AEGF为矩形，∠GDF=∠AFC=180°-∠CAF-∠C=65°， ∴.∠C=∠AFC=65°，FG=AE=V5. .AF=AC=6, .'.EG=AF=6. ..GD=_ FG 2.24 ≈1.044 an∠GDF2.145 .BD=EG+GD-BE=6+1.044-2×2.236=2.572≈2.57， ∴，浮漂D与斜坡下端B之间的距离为2.57米 3/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE 1 6.【详解】解：：斜坡轨道BC的坡度为1：2，则CE=2: 设BE=x米，则CE=2x米， 在RIABCE中，由勾股定理得：BE2+CE2=BC2, x2+(2x)2=(125, 解得：x=12, 即BE=12米，CE=24米， .DE=DC+CE=32米， :tan∠D= DE,即AE=DE tan∠D=23.36米， ·AB=AE-BE=11.36≈11.4米， 即AB的高度为11.4米. 题型04 方位角问题 1.D 2.C 3.【详解】(1)解：由方向角可知，∠BAC=45°+15°=60°，∠ABC=180°-60°-45°=75°， .∠C=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-75°=45° (2)解：过点B作BM⊥AC于M, 北 60° B 9 45 ,在Rt△ABM中，∠BAC=60°，AB=10, ∠ABM=30°， ÷4M=AB-cos60°=10x)-5,BM=AB-sin60°=10x =53, 2 2 ,在RtABCM中，∠C=45°， 4117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.△BCM是等腰直角三角形， .CM=BM=53. 、AC=AM+CM=5+53, 3≈1.732， .AC≈5+5×1.732=5+8.66=13.7（千米）. 4.【详解】(1)解：如图所示： 北 西 →东 C 南 60° 题意可得， 45 B 45309 A ∠BDA=∠BAD=45° ∠BDA=∠BAD=45°BD=100N2 (海里)， .∠B=90° BD 100W2 cos450 =200 2 (海里)， 2 :目的地C在观测点A的北偏东30°方向且在观测点D的北偏东60°方向， .∠DAC=30°，∠FDC=60°， .∠ACD=∠FDC-∠DAC=60°-30°=30°」 ·.LDAC=∠ACD :.CD=AD=200(海里)， (2)解：如图，过点C作CE⊥AD于E, 北 个 F 含 →东 E------- C 南 60° 45 45309 5/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :LFDC=60°，CD=200海里 ÷CE=CD-sin60°=200x 2 =1005(海里)· ∠DAC=30° .AC=2CE=2005(海里). 题型05 运动与动态角度问题 1.c 2.【详解】解：由题意，在Rt BEC0中，∠BE0=90，°∠BOA=68，°BE=27.9cm BE .:sin∠BOE= OB' BE 27.927.9 ..OB= =30 sin∠BOE sin68°0.93 Cos∠BOE=O B' ∴.OE=OB.cos∠BOE=30×0.37=11.1, 在Rt△ODC中，∠D0C=45°，OC=OB=30cm, ·cos∠DOC= OD OC' :0D=0C-cos∠D0C=30x5=21.15. 2 ∴.DE=OD-OE=21.15-11.1≈10， 答：ED的长为l0cm 3.【详解】(1)解：根据题意，得∠GAB=∠BAF=45°，BC∥AD,BA=4km,BC=2m, ∠ECD=30°，A,F,E,D四点共线，BF⊥AD,CE L AD,垂足分别为点F,点B, ∴.BF∥CE. 根据平行线间的距离处处相等，得BF=CE, 四边形BCEF是平行四边形， BF⊥AD, .四边形BCEF是矩形， ∴.EF=BC=2km, 6117 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 片Ar=BF=48sn45°=4x2-22（m）。 2 .CE=AF=BF=22(km), G 45 D.CD= CE E c0s30°=2V22y3-4V6=4×2.449=3.265=3.27kmy 3 31 3 (2)解：送货员按既定路线A-B-C-D进行运送能按时送达，理由如下： 根据题意，得ED=CEam30°=2V2x5_26 33 :4+2+46=6+46s6 3 3—≈6+4×2.449≈9.265km)》 ∴.9.265km=9265m, 9265=92656)=926.5÷60≈15.44(mim）. 故需要时间为10 小于16分钟， 故送货员按既定路线A-B-C-D进行运送能按时送达： 题型06 生活中的器具问题 1.B2.C3.C4.B 5.【详解】解：在Rt△AGB中，AB=2m,∠BAG=60°， .BG=ABsin/BAG=2×sin60°=V5(m）, 在RtADGC中，CD=2m,∠CDG=37°， .CG=CDsin/CDG=2×sin37°≈0.6×2=1.2(m), 故BC=BG-CG≈1.732-1.2=0.532≈0.5(m) 题型07 生活中其它问题 1.【详解】(1)解：依题意，四边形ABCD是矩形， AB=CD,∠D=∠C=90° :∠AED=45°，∠BEC=30°，AD=CB=1 7/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EC= BC 1 ·DE= AD 1 tan∠BEC√3 tan AED 3 AB=CD=DE+EC=1+V5=1+1.73≈2.8： 答：拉皮筋的两个孩子之间AB的距离为2.8米： AE=AD1 =V2 (2)解：在 中， 'sin∠AED√2 Rt△ADE 2 BC 在RtAEBC中，BE=S sin∠BEC =2BC=2 AE+BE-AB=5+2-(1+5)=1+V2-5≈1+1.41-1.73≈0.7， 答：当脚把橡皮筋踩在地面上的E点时，橡皮筋比原来拉长了07米 2.【详解】(1)解：(1)：四边形POMN和四边形ABCD都是矩形， ∴，AD=BC=2.4m,∠AQB=∠DAB=∠APD=90° ∠ADP+∠PAD=90°，∠QAB+∠PAD=180°-∠DAB=90°. .∠ADP=∠0AB=37°， 在RteADP中，AP=AD.sin.37°≈2.4×0.6=1.44(m). 在Rt△ABQ中，A0=AB.cos3:7°≈5.5×0.8=4.4(m). ∴.P0=AP+AQ=1.44+4.4=5.84≈5.8(m) (2):四边形POMN和四边形ABCD都是矩形， .∠AQB=∠ABC=∠DCB=90°，则LCBE=90°， ∴.∠QAB+∠ABQ=90°，∠ABQ+∠CBE=180°-∠ABC=90°， ∴.∠CBE=∠QAB=37° 在Rt△QAB中，B0=AB·sin37°≈5.5×0.6=3.3(m), 在RIACBE中，BE=C≈2.4=3(m c0s37°≈0.8 64,33~2023,所以该充电站最多划定20个车位. 3 答：该充电站最多可以划定20个车位. 8/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 1.】(①)解：tam∠DCE=i=l:5= 3, .∠DCE=30° 在RACDE中，DE=CD=10(米)， DE=10米 (2)解：由(1)可知，在Rt△CDE中，CE=10V5米， :∠ACB=45°，∠BAC=90°， .设AC=AB=x, :EA=CE+AC=(105+x米： 作DF⊥AB于F,则DF=EA=(0W5+x)米，BF=AB-AF=(x-10)米， D31° 145° C 在Rt△BDF中，∠BDF=3I°， tan3I°=BF DE 即0.60= x-10 10W3+x' 解得：x=25+15v3≈51 ∴.塔AB的高度为51米. 2.【详解】(1)解：过点A作AE⊥BC于点E,如图： 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 西东 南 D 60o A Bi .∠CAB=90°-15°=75°∠ABC=90°-30°=60° ∠AEB=∠AEC=90° ∴.∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°， E=4B-sin60°=5xy555 15 22,BE=AB-c0s60°=5Xp 22 5W5 55 5V5,AC=、AE 25V6 ..CE=- AE 2 =sin45°=2=2, n45=1 2 5.535√6 .AB+BC+AC=5+二+ 2+2+2 、5+2.5+5x1.73+5×2.45≈18.0(km). 2 2 答：“寻海”线为18.0km: (2)解：设七年级的平均行走速度为xkm/h, 15.5618.0 .x601.2x 解得：x=5, 经检验x=5符合题意： .七年级的平均行走速度为5km/h 3.【详解】(I)解：过点D作EF⊥AF,过点B作BE⊥EF于点E,如图所示： B D A 则EF=AB=115cm, .CD=40cm,AB=115cm,BC=30cm, 10/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BD=BC+CD=30+40=70cm,∠BDE=∠ABC=53°， 在R△BDE中，cos∠BDE=cOs53°=DE BD' .DE=BD:cos53°≈70×0.60=42(cm), ∴.DF=115-42=73(cm) ∴，端点D距离地面的高度73cm; (2)解：过点D作DG⊥AG,过点C作KH⊥AG,交AB,DG于点K,H,如图所示： D A G∠ABC=60°，BC=30cm ∠BCK=30°，cos<B=c0s60=Bk=1 &.Bk=8c=2X30=15m）. 1 .AK =GH=AB-BK =100(cm). .DG=148cm. .DH DG-GH=48(cm). :∠BCD=97°， .∠DCH=180°-∠BCD-∠BCK=53° ÷在Rt△CDH中，sin∠DCH=sin3°=DH CD .CD=DH 48 sin53°0.80 =60(cm), .CD的长为60cm. 4.【详解】解：如图，过点B作BH⊥CF于点H, 11/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B G 1 .·BE=二AB,AB=30cm D H 3 ∴.BE=10cm, 在Rt△BGE中，EG=BE.sinl5°≈10×0.26=2.6cm, .DE =28cm, ∴GD=DE-EG=28-2.6=25.4cm, .BGII CF, ∴∠BGD=∠GDH=∠BHD=90°， ∴.四边形BGDH是矩形 ∴.BH=GD=25.4cm, .∠BFH=45° .BF=√2BH≈1.41×25.4≈35.8cm 答：BF的长度约为35.8cm C组 思维拔高 1,【详解】(1)解：如图，作AE⊥CD于点E,则∠AED=90°， M 60y459 D 130° 由题意可得：∠APM=60°，∠DPN=45°，∠DAE=30°。 ·.∠APD=180°-∠APM-∠DPN=75°，∠ADE=90°-∠DAE=60°： (2)解：如图，作AE⊥CD于点E,则∠ABC=∠BCE=∠AEC=90°， 12/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 60y45 30 B ∴.四边形ABCE为矩形， ∴.AE=BC=100米，CE=AB=10米， 'tan∠DAE=DE DE :00 an30= 3, DE=100W5 3米， CD=DE+CE=10+100 3 ≈67.7米， 故楼CD的高度为67.7米： (3)解：如图：作PH⊥BC于点H,交AE于点G, P M 60yV45° -N D ! A 30°G H 则∠GAB=∠ABH=∠BHG=90°， ∴.四边形ABHG为矩形， GH=AB=10米， 由题意可得MN∥BC, ,四边形ABCE为矩形， ∴AE∥BC, AE∥MN, .∠PAE=∠APM=60°， ∴∠PAD=∠PAE-∠DAE=30°， 13/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠ADP=180°-∠PAD-∠APD=75°， .∠APD=∠ADP=75°， .'AP=AD, ,∠APG=90°-∠PAG=30°， ∴.∠APG=∠DAE. .∠AGP=∠DEA=90°， ·.△APG≌aDAE(AAS). :.PG=AE=BC=100米， PH=PG+HG=110米， ,此时无人机距离地面BC的高度为110米。 2.【【详解】(1)解：由题意可知，AC⊥CE, i=12.4, .tan∠CAB= 15 2.412 CE 5 C-12 :AC=7.2米， ∴CE=3米. .CD=0.4米 ∴.DE=3-0.4=2.6(米)； (2)解：过点D作DH⊥AB于点H,如图所示： B :∠EDH+∠DEH=∠CAB+∠DEH=90°， ∴.∠EDH=∠CAB. :ian∠CAB=5 Γ12， 5 .tan∠EDH=tan∠CAB= 12 14/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EH 5 ∴DH12 ∴.设EH=5x,DH=12x, ·.DE=VDH2+EH=V12x)2+(5x)}=13x, :DE=2.6米， 13x=2.6, 解得x=0.2, .DH=12x=12×0.2=2.4(米)， 答：该车库入口的限高数值为2.4米： (3)2.4-0.5<2.2, ∴这辆货车不能驶入该隧道， 故答案为：不能， 3.【详解】(1)解：根据题意，得∠ACB=90°，∠A=45°， ∴∠A=∠ABC=45°， ..BC=AC=30(cm): (2)解：：E为AC的中点 :0N=ec=4c-x30=15(em. 由题意∠EON=90°， ,EF∥BC, ∴.∠OWB=∠ECN=90°， .MNI‖AC ∴∠BON=∠ABC=45°. .'BN =ON =15cm 又：∠D0N=35°， .DN=ON.tan35°≈15×0.70=10.5(cm), .BD=BN-DN=15-10.5=4.5(cm). 答：B,D之间的距离为4.5cm. 15/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展 链接中考 1.D 2.【详解】(1)解：如图，由题意可得∠CBE=60°，∠CAF=30°，∠BDM=45°，BM⊥DM, BE∥AF∥DM. ∴.∠BCM=∠CBE=60°，∠ACM=∠CAF=30° .∠ACB=∠BCM-∠ACM=60°-30°=30° 北 6 →东 D E:60% 309 a B A:M (2)解：∠CBE=60° ∴.∠CBM=90°-∠CBE=90°-60°=30° 由(1)得∠ACB=30° .∠ABC=∠ACB=30° 又：AB=800, .AB=AC=800 在Rt4CM中，sin∠ACM=4M AC,cos∠ACM=C C :AM=4C-sin∠ACM=800xsin30°=800x号=400. 2 CM=AC-cos∠ACM=80xeos30°=80xJ =400W3 .BM=BA+AM=800+400=1200 .∠BDM=45°，BM⊥DM, .DM=BM=1200 .DC=DM-CM=1200-400W3(m). ·景点C与景点D之间的距离为(1200-400V3)m 16/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.【详解】(I)解：：EG⊥ABAB⊥BD,EN⊥BD, ∴，四边形BNEG是矩形， .EN =BG. 在Rt△AEG中，AE=13分米，EG=12分米， .AG=√AE2-EG2=V132-122=5分米， .BG=AB-AG=14分米， .EN=14分米， 答：该连衣裙MN的长度为14分米： (2)如图所示，过点E作EH⊥AB于H,延长EN交BD于T, E(M B D 77777777T 77777777/777777 图2 :AB⊥BD,EH⊥AB,ET⊥BD, ∴四边形BTEH是矩形， .'ET BH 在Rt△AEH中，AE=13分米，∠HAE=76.1°，c0s76.1°≈0.24， ·AH=AEC0s∠HAE=13×C0s76.1≈13×0.24=3.12分米， :AB=19分米， .BH=AB-AH=15.88分米， .ET=15.88分米， :EN=14分米， NT=ET-EN=15.88-14=1.88≈2分米： 答：此时该连衣裙下端N点到地面水平线！的距离约为2分米. 17/17函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 2.4解直角三角形的应用 目录 A组巩固过关 题型01仰角、俯角问题 题型02测量距离与河宽问题 题型03坡度（坡比）问题 题型04方位角问题 题型05运动与动态角度问题 题型06生活中的器具问题 题型07生活中其它问题 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01 仰角、俯角问题 1.(2024湖南长沙模拟预测)某次户外研学活动中，数学老师给同学们布置了一项测量树高的任务.如图， 在地面上的点A处测得树顶B的仰角Q=75°，若AC=6米，则树高BC为() 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 6 A. 6sin75o米 B. c0s750米 C. tan75o米 D.6tan75o米 2如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上)·为了测量A、B两 地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为a,则A、 B两地之间的距离为( ) B 800 800 A.800sina米 B.800tana米 C. sina米 0. tana米 3.(24-25九年级上湖南衡阳·期末)如图，一艘潜水艇在海面下300米的点A处发现其正前方的海底C处 有黑匣子，同时测得黑匣子C的俯角为30°，潜水艇继续在同一深度直线航行960米到点B处，测得黑匣子 C的俯角为60°，则黑厘子所在的C处距离海面的深度是() D 海面 30° 60° A(480√3+300)米B.(960W3+300)米 C.780米 D.1260米 4.(25-26八年级上·湖南娄底·期末)小明和小强攀登一无名山峰，他俩在山脚A处测得主峰B的仰角为 45°，然后从山脚沿一段倾角为30°的斜坡走了2m到达山腰C,此时测得主峰B的仰角为60°，如图所示. 于是小明对小强说：“我知道主峰多高了，”请根据他们提供的数据算出主峰的高度， B 360° -D 45° 30° A 5.(25-26九年级上湖南岳阳·期末)如图，塔AD的高度为30m,塔的底部D与桥BC位于同一条水平直线 上.由塔顶A测得B和C的俯角∠EAB,∠EAC分别为45°和30°，求BD,BC的长（结果精确到1m,参 考数据：V3≈1.73) 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 30 451 30m D B C 颗型02 测量距离与河竞问题 1.(25-26九年级上吉林长春·阶段检测)如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边 取PA的垂线PB上的一点C,测得PC=80米，∠PCA=40°，则小河宽PA等于() A.80tan40°米 B.80sin50°米 C.80sin40°米 D.80tan50°米 2.(2025吉林长春模拟预测)如图，图①是某对开门的实物图，图②是其示意图.若AB=220厘米，则 门缝宽CD的长为() C D a 图① 图② A.(220-2×110sina)厘米 B.(220-2×110cosa)厘米 C.(220-2×110tana)厘米 D 220-2×10 sina 厘米 3.(2025吉林长春·一模)如图，沿AB方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工， 从AB上的一点C,取∠ACD=146°，CD=500m,∠D=56°.要使点A、C、E在同一条直线上，那么开 挖点E离点D的距离是() A CR 146° 500m 56° A.500m B.500sin56°m C.500cos56°m D.500tan56°m 3/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型03 坡度（坡比）问题 1.(25-26九年级上河北唐山期末)如图是人行天桥的示意图，高BC=10米，斜坡AC=20米，则斜坡 AC的坡度为() A.V3:1 B.1:2 c.1:V5 D.∠ACB=60° 2.(25-26九年级上福建泉州期末)已知某斜坡AB的坡度i=V3:1,则斜坡AB的坡角α的大小为() A.45° B.60° C.30° D.75° 3.(25-26九年级上湖南怀化期末)如图，某超市的自动扶梯高AC为4米，坡角为8，则扶梯AB长为( 4 B 4 4 A. 4sine米 . sinB米 C.5米 D. os0米 4.(25-26九年级上安徽六安期末)如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽BC=10米，坝高 BE=CF=30米，斜坡AB的坡角∠A=30°，斜坡CD的坡度i=1:2.5,求坝底宽AD的长.（答案保留根 号) B C 30° D 5.(25-26九年级上山东济南期末)国庆节假期张亮和爸爸去垂钓园钓鱼，己知如图2，斜坡AB的坡度为 1:2,AB长为5米，钓竿AC与水平线的夹角是50°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角是65°. 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C 65 450水平线 水平面 B D (1)求点A到水平面BD的距离： (2)求浮漂D与斜坡下端B之间的距离.（结果精确到0.01，参考数据：V5≈2.236， sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192，sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145) 6某游乐场新推出一个“极速飞车”项目，该项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐 垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度.其中斜坡轨道BC的坡度为i=1:2,斜坡轨道AD的坡角 ∠D=36°，BC=12V5米，CD=8米，点A、B、C、D均在同一平面内，求垂直升降电梯AB的高度. (精确到0.1米；参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73) D E 颗型04 方位角问题 1.(23-24九年级上·湖南衡阳·期末)南沙群岛是我国固有领土，我南海渔民要在南沙某海岛A附近进行捕 鱼作业，从位于海岛A的南偏东30°方向、距离海岛50海里的B处出发，沿正北方向航行一段时间后，到 达位于海岛A的东北方向上的C处，则渔船航行的距离为()· A.25√2海里 B.25√5海里 c.25(2+1)海里 D.25(N5+1海里 2.(25-26九年级上湖南阶段检测)如图，在一条笔直的海岸线（东西方向）的北边有一座灯塔P.小华 在海岸线上的点A测得灯塔P在北偏东70°的方向上；小华继续沿着正东方向走了a海里到达点B处，此时 测得灯塔P在北偏东50°的方向上.那么灯塔P到海岸线的距离为() 70° 50° A B 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a a A. atan50°海里 B. sin40°海里 C. asin40~海里 D. tan50°海里 3.(25-26九年级上湖北荆门期末)北斗卫星导航系统是中国自行研制的卫星导航系统，其由空间段，地 面段和用户段三部分组成，一家人自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45°方向 行驶10千米至B地.再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C,发现风景区C在A地的北偏东15°方 向 北 60 45 A (1)求∠C的度数； (2)求A,C两地的距离（结果保留小数点后一位），（参考数据：V2≈1.414，V3≈1.732） 4.(25-26九年级上湖南长沙期末)如图，A,B,C,D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时， 收到指令要分别途经海上观测点A和D,并最终到达C处执行任务.B在观测点A的西北方向且在观测点 D的西南方向100W2海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东30°方向且 在观测点D的北偏东60°方向， 北 西 东 南 609 45309 (1)求CD的距离. (2)求AC的距离（结果保留根号）· 6/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型05 运动与动态角度问题 1.(2324九年级上安徽合肥期末)如图一巡逻艇在A处，发现一走私船在A处的南偏东60°方向上距离A 处12海里的B处，并以每小时20海里的速度沿南偏西30°方向行驶，若巡逻艇以每小时25海里的速度追 赶走私船，则追上走私船所需时间是() 北 东 南 A.0.5小时 B.0.75小时 C.0.8小时 D.1.25小时 2.(25-26九年级上山东青岛·期末)单摆是一种能够产生往复摆动的装置，其摆球在重力的作用下沿着圆 弧进行周期性往复运动，某校数学兴趣小组尝试利用摆球与摆线进行与单摆相关的实验探究.他们的实验 报告如下： 实验 探究摆球运动过程中高度的变化 主题 实验 摆球、摆线、支架、摄像机等 用具 如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动. (摆 线的长度变化忽略不计) 实验 如图2，摆球静止时的位置为点A,拉紧摆线将摆球拉至点B处，BE⊥OA,∠BOA=68° 说明 BE=27.9cm;当摆球运动至点C时，∠COA=45°，CD⊥OA.(点O,A,B,C,D,E在同一平面 内) 实验 B E 图示 A 图1 图2 请你根据以上信息，求ED的长. (结果保留整数)（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，√2≈1.41） 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级下·重庆潼南期末)某送货员送货的路线如图所示：A-B-C-D.已知B在A的北偏东 45°方向4km处，C在B的正东方2km处，D在C的南偏东30°方向，D在A的正东方.（参考数据： √2≈1.414,3≈1.732，V6≈2.449) 北 B 西个东 3 南 SD A (1)求线段CD的长度；（结果精确到0.01km) (2)已知送货员在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A运送到 D,则送货员按既定路线A-B-C-D进行运送能否按时送达？（送货员在各站点停留的时间忽略不计） 颗型06 生活中的器具问题 1.(25-26九年级上·吉林长春·期末)图①是八年级下物理教材中的一个连通器装置，当液体不流动时，连 通器各部分容器中液面的高度总是相同的.图②是其截面示意图（液面宽度忽略不计），若∠ACB=90°， ∠ABC=a,当h=h=h时，AB可表示为(). 图① 图② h h A.hsina B. sin a C.htana D. tana 2.(25-26八年级下山东济南期末)某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”（如图①)，其截面示意图是 轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆AB所在的直线，撑开的遮阳面AC和AD的长均为 1.8米，∠CAD的度数为150°，则此时“天幕”的宽度CD是() D B ① ② A.1.8sinl5°米 B.3.6cos75°米 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.3.6sin75°米 D.1.8tanl5°米 3.(23-24九年级下浙江温州开学考试)如图1是装满液体的高脚杯示意图，测量发现点A到地面DD'的 距离为29，CD=14,AB=10,若用去一部分液体后，液面下降的高度恰好等于此时的液面EF,则EF= () D ID 图1 图2 A.9 B.8 C.6 D.5 4.(2024广东深圳一模)榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式.如图，在某燕尾榫中， 榫槽的横截面ABCD是梯形，其中AD∥BC,AB=DC,燕尾角∠B=a,外口宽AD=a,榫槽深度是b, 则它的里口宽BC为() b A.tan -+a 26 B. -+a tang C.btana+a D.2btana+a 5.(25-26八年级下·吉林长春·期末)如图，这是在摄影时常用的一种可调节高度的三脚架，它主要由三根 长度相等的支柱构成.小深同学通过测量发现，在保持三脚架稳定的前提下，它的每一根支柱与地面之间 的夹角最大能达到60°，即∠B4G=60°；最小能达到37°，即∠CDG=37°.已知该三脚架的支柱 AB=CD=2m,求该三脚架可调节部分BC的长.（结果精确到0.lm,参考数据：cos37°≈0.8， sin37°≈0.6，tan37°≈0.75，V3≈1.732) E D A G 9/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型07 生活中其它问题 1.(25-26九年级上湖南永州期末)跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端， 跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮 球，香蕉梨，马兰开花二十一…”.如图，拉皮筋的两人位置为D、C,跳皮筋孩子脚踩位置为E点， 点D、E、C在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度AD=CB=I米.(AD,BC垂直地面)若 ∠AED=45°，∠BEC=30°.√2≈1.41W5≈1.73，最后结果保留到0.1) (1)求拉皮筋的两个孩子之间AB的距离： (2)当脚把橡皮筋踩在地面上的E点时，橡皮筋比原来拉长了多少米. 2.(25-26九年级上·安徽安庆期末)随着新能源汽车技术的革新，消费者对新能源汽车的需求日益增长， 为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，充电站的平面示意图是矩形PQMN(如图)，矩形 ABCD是其中一个停车位.经测量，∠QAB=37°，AB=5.5m,BC=2.4m,GH1DE,GH是相邻车位 的宽，该充电站所有车位均相同，且按图示并列划定， P D B (1)求PQ的长（精确到0.1米）； (2)若QM的长为64米，则该充电站最多可以划定多少个停车位？（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8， tan37°≈0.75) B组 能力进阶 1.(2425九年级下·湖南郴州期末)某数学兴趣小组在课外时间利用所学锐角三角函数知识开展了项目化学 10/16 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 习活动. 项目 测量古塔的高度 主题 测量 测距仪，测角仪，计算器 工具 测量示意图 测量说明 如图，古塔AB前有一座高为DE 的观景台，测得CD=20米，斜坡 测量 CD的坡度i=1:V5,点E、C、A 方案 在同一条水平线上.在C处测得 D31 塔顶部B的仰角为45°，在观景台 45° D处测得塔项部B的仰角为31°. 参考 sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，√3≈1.73 数据 请你根据以上信息解决下列问题： (1)求DE的长： (2)求古塔AB的高度.（结果精确到1米） 2.(25-26九年级上·山东日照·期末)为促进学生身心健康发展，学校组织全体师生开展秋季远足实践活动. 如图A,B,C,D是四个打卡地，此次远足路线分为“访山”线：A→D→B→A和“寻海”线： A→B→C→A,其中B在A的正东方向5km处，C在A的南偏东15°方向，C也在B的南偏西30°方向， D在A的北偏东60°方向.（参考数据：V5≈1.73，V6≈2.45） 北 西个东 南 60° B 309 150 (1)求“寻海”线的长度（结果保留小数点后一位）； 11/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若七年级选择走“访山”线，九年级选择走“寻海”线，已知“访山”线长度约为15.5km,七年级比九 年级提前6分钟出发，两个年级全程匀速前进（忽略全程途中停留时间），九年级的平均行走速度是七年 级的1.2倍，结果两个年级同时返回到出发点A,求七年级的平均行走速度， 3.(25-26九年级上山东聊城期末)随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新 潮流.某种手机支架如图1所示，立杆AB垂直于地面，其高为I15cm,BC为支杆，它可绕点B旋转，其 中BC长为30cm,CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度.（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60， tan53°≈1.33) A A 图1 图2 图3 (1)如图2，当B、CD三点共线，CD=40cm时，且支杆BC与立杆AB之间的夹角∠ABC为53°，求端点 D距离地面的高度： (2)调节支杆BC,悬杆CD,使得∠ABC=60°，∠BCD=97°，如图3所示，且点D到地面的距离为148cm, 求CD的长.（结果精确到lcm) 4.(25-26九年级上山西运城期末)项目学习 项目背景：某中学数学兴趣小组在学校化学实验室围绕“计算导气管的长度”开展项目学习活动，形成了 如下活动报告. 项 目 导气管长度的测量与计算 主 题 驱 动 如何利用三角函数计算导气管的长度 任 务 12/16 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高锰酸钾， 蓬松的棉花团 E 11是小组成员安装 方 图1 图2 案 的化学实验室装置，图2是抽象出的平面示意图，点B为试管口，AB为试 说 命 管，DE为铁杆，BG为试管口B与铁杆DE的水平距离(BG‖CF)BF为导 活 气管，MN为水槽壁，∠ABG为试管的倾斜角， 动 过 BE=AB,AC1CF,EDLCF,-MW1CF,点C,D,N,F在同-条直线 3 程 上，图中所有的点在同一平面内 测 量 经测量得AB=30cm,DE=28cm,∠BFD=45°，∠ABG=15° 数 据 安 爱 交 流 … 展 示 请根据表中数据，计算BF的长度.（结果精确到0.1cm,参考数据：sinl5°≈0.26，cosl5°≈0.97， tanl5°≈0.27，√2≈1.41) C组 思维拔高 1.(25-26九年级上·湖南长沙期末)无人机在实际生活中应用广泛，如图，小明利用无人机测量大楼的高 度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°，已知楼 AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为 13/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30°（点A,B,C,D,P在同一平面内）· D M 60y45o -N O 430」 eeeeeeee B (1)填空：∠APD=」 ∠ADC= (2)求楼CD的高度；（精确到0.1米） (3)求此时无人机距离地面BC的高度.（参考数据：√2≈1.414，V3≈1.732） 2.(25-26九年级上河北石家庄期末)如图是某地下停车库入口的设计示意图，延长CD与AB交于E点， 坡道AB的坡比i=1:2.4是指坡面的铅直高度CE与水平宽度AC的比，已知AC=7.2米，CD=0.4米. 限高 ?m B E (1)请求出DE的长； (2)按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，根据图中所给数据，试确定该车库入口的限高数值（即点D 到AB的距离). (3)为保障安全，车辆顶部到隧道顶部至少保留0.5米的安全距离，现有一辆货车装满货物后高度为2.2米， 通过计算判断这辆货车能否驶入该隧道一（填“能”或“不能”）； 3.(25-26九年级上·安徽安庆期末)综合与实践：学习解直角三角形的知识后，结合光的折射规律进行了 如下综合性学习. 【实验操作】 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边缘点A处投射到底部点B处，入射光线与 水槽内壁AC的夹角为∠A: 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水.（直线MN为法线，AO为入射光线， OD为折射光线) 【测量数据】 如图，点A,B,C,D,E,F,O,M,N在同一平面内，测得AC=30cm,∠A=45°，折射角 14/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠D0N=35°. 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题： M 459 空气 B (1)求BC的长： (2)求B,D之间的距离（结果精确到0.lcm).(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70 拓展 链接中考 1.(2026湖南·中考真题)门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC与AB垂直，门CD可绕C旋转， F是门CD与门吸EF的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置），EF⊥AB于点E.已知AC=a, EF=b,∠ACF=&,且a>b,则门吸EF离墙AC的距离AE为() Pa 门 墙a A.a.tang B.(a-b)sina C.(a-b)cosa D.(a-b)tana 2.(2025湖南长沙中考真题)如图，某景区内两条互相垂直的道路a,b交于点M,景点A,B在道路a上， 景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.经测 得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西 45°方向上.己知AB=800m. 北 →东 D 45g 609 30 a Bi A M 15/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求∠ACB的度数； (2)求景点C与景点D之间的距离.（结果保留根号） 3.(2025湖南中考真题)如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线！于点B, D,AB=19分米，CD>AB.在点A,C之间的晾衣绳上有固定挂钩E,AE=13分米，一件连衣裙MN 挂在点E处（点M与点E重合），且直线MW⊥I. +C E(M EM D D 777777 图1 图2 (1)如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线I时，点E到直线AB的距离EG等于12分米，求该 连衣裙MN的长度； (2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤（点F在点E的右侧)，若 ∠BAE=76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线I的距离约为多少分米？（结果保留整数，参考数 据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.04) 16/16