2.4解直角三角形的应用同步练习 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

**基本信息** 湘教版九年级上册数学2.4解直角三角形的应用同步练，以"基础巩固-情境应用-综合拓展"分层设计，通过实际问题链培养几何直观与模型意识，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角函数定义、方向角/仰角基本应用|10道选择+4道填空，直接考查sin/cos/tan简单计算，如坡度1:2的坡面距离计算| |中档|单一情境综合应用|解答题前3题，结合仰角俯角测量楼高（如第16题避雷针长度），需构建直角三角形列方程| |综合|复杂现实问题解决|解答题后3题，联系电动门（第19题）、太阳伞（第20题）等生活场景，融合坡度、投影等多知识点，发展应用意识与推理能力|

2026-2027湘教版数学九年级上册第二章2.4解直角三角形的应用同步练习 一．填空题。 1．如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船正向东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（　　） A．12海里 B．6海里 C．6海里 D．4海里 2．如图，小亮从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300m到达B，则小亮上升了（　　） A．300tanαm B．300sinαm C．300cosαm D．m 3．如图，在坡度为1︰2的山坡上种树，要求相邻两棵树之间的水平距离AC为6米，则斜坡上相邻两树之间的坡面距离AB为（　　） A．3 米 B．3米 C．6米 D．6米 4．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（    ）米 A． B． C． D． 5．在A处观察B处时的仰角为，那么在B处观察A处时的俯角为（    ）． A． B． C． D． 6．如图，某地修建高速公路，要从地向地修一座隧道（，在同一水平面上），某工程师乘坐热气球从地出发，垂直上升到达处，在处观察地的俯角为，则两地之间的距离为（   ） A． B． C． D． 7．如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（   ）海里． A． B． C． D． 8．在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图1所示的风筝：图2是其风筝骨架示意图，已知两条侧翼，的长为60，夹角为，平分，则侧翼两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 9．如图．将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（单位：cm）（　　） A．8sin20° B．8tan20° C．8cos20° D． 10．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 二．填空题。 11．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡度是1︰（坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AB的长是　 　． 12．一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在正南方向10海里的C处是港口，点A、B、C在一条直线上，则这艘货轮由A处到B处航行的路程为　 　海里（结果保留根号）． 13．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为　 　米． 14．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为 m．（参考数据：，，）    三．解答题。 15．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 16．如图，在一次数学课外实践活动中，小刚想测量教学楼顶端上避雷针的长度，在处测得点的仰角为，点的仰角为，到楼底处的距离，求避雷针的长度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，） 17．如图，甲楼AB的高度为36m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为60°． （1）求乙楼CD的高度； （2）从A处发现乙楼下面的店面房上的广告牌顶部E处俯角也是45°，请你确定广告牌顶部E距地面的高度是多少？（结果都保留根号） 18．如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为．（参考数据：，，） (1)求点C到点D的水平距离的长； (2)求楼的高度． 19.如图 1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形 ，其中，，此时它与出入口 等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为． (1)求点到地面的距离； (2)一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由． 20．随着春天的阳光越来灿烂，在青台山中学小花园学习的同学被庞校抓拍到努力学习的场景，随后庞校@霍校长可以购买太阳伞，为我们爱学习的青台山学子，遮挡刺眼的阳光．如图①是简易太阳伞，为遮挡不同方向的阳光，太阳伞可以在撑杆上的点O处弯折并旋转任意角，图②是太阳伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨与水平方向的夹角，伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点，撑杆． (1)如图②，当伞完全撑开并直立时，求点到地面的距离． (2)某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将太阳伞倾斜与铅垂线成夹角，如图③，若斜射阳光与所在直线垂直时，求在水平地面上投影的长度约是多少．（说明：，结果精确到） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027湘教版数学九年级上册第二章2.4解直角三角形的应用同步练习答案 一．填空题。 1．如图所示，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船正向东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是（　　） A．12海里 B．6海里 C．6海里 D．4海里 解：由已知得：∠BAC＝90°﹣60°＝30°， 在直角三角形ABC中，BC＝AB•tan30°＝12×＝4（海里）．故选：D． 2．如图，小亮从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300m到达B，则小亮上升了（　　） A．300tanαm B．300sinαm C．300cosαm D．m 解：∵小亮从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300m到达B， ∴sinα＝＝，则BO＝300sinα，∴小亮上升了300sinαm．故选：B． 3．如图，在坡度为1︰2的山坡上种树，要求相邻两棵树之间的水平距离AC为6米，则斜坡上相邻两树之间的坡面距离AB为（　　） A．3 米 B．3米 C．6米 D．6米 解：∵坡度为1︰2，∴＝，∵AC＝6，∴BC＝3， ∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝3．故选：B． 4．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（    ）米 A． B． C． D． 解:在中，， ∵坡面米，坡角， ∴该山坡的高度， 故选：D． 5．在A处观察B处时的仰角为，那么在B处观察A处时的俯角为（    ）． A． B． C． D． 解：如图所示：在A点处观察B点的仰角为，即， ∵， ∴， ∴在B点处观察A点的俯角为， 故选A. 6．如图，某地修建高速公路，要从地向地修一座隧道（，在同一水平面上），某工程师乘坐热气球从地出发，垂直上升到达处，在处观察地的俯角为，则两地之间的距离为（   ） A． B． C． D． 解：根据题意得：，，， ∴， ∴两地之间的距离为． 故选：C． 7．如图，一艘货轮向正北方航行，在点处测得灯塔在北偏西方向，货轮以每小时海里速度航行分钟后正好到达灯塔的正东方向处，问此时货轮与灯塔的距离（   ）海里． A． B． C． D． 解:根据题意可得，， ， （海里）， 此时货轮与灯塔的距离海里， 故选：C． 8．在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图1所示的风筝：图2是其风筝骨架示意图，已知两条侧翼，的长为60，夹角为，平分，则侧翼两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 解：如图所示，设与交于点， ∵两条侧翼，的长为60，夹角为，平分， ∴，，，， ∵在中，， ∴， ∴， ∴即两点间的距离为． 故选：D． 9．如图．将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（单位：cm）（　　） A．8sin20° B．8tan20° C．8cos20° D． 解：设木桩上升了h米，∴由已知图形可得：tan20°＝，∴木桩上升的高度h＝8tan20°． 故选：B． 10．在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 二．填空题。 11．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡度是1︰（坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AB的长是　 　． 解：Rt△ABC中，BC＝5米，tanA＝1︰；∴AC＝BC÷tanA＝5米，∴AB＝＝10米．故答案为10m． 12．一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P在它的北偏东60°方向，继续航行到达B处，测得灯塔P在正南方向10海里的C处是港口，点A、B、C在一条直线上，则这艘货轮由A处到B处航行的路程为　 　海里（结果保留根号）． 解：根据题意得：PC＝10海里，∠PBC＝90°﹣45°＝45°，∠PAC＝90°﹣60°＝30°， 在直角三角形APC中，∵∠PAC＝30°，∠C＝90°，∴AC＝PC＝10（海里）， 在直角三角形BPC中，∵∠PBC＝45°，∠C＝90°，∴BC＝PC＝10海里，∴AB＝AC＝BC＝(10﹣10)海里；故答案为：(10﹣10)． 13．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为　 　米． 解：过A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝120m，∴BD＝AD•tan30°＝120×＝40m，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝120m，∴CD＝AD•tan60°＝120×＝120m，∴BC＝BD+CD＝40+120＝160m．故答案为：160． 14．如图，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为，测得该建筑底部C处的俯角为．若无人机的飞行高度为，则该建筑的高度为 m．（参考数据：，，）    解：作于，如图所示：    由题意得：， ∴四边形为矩形， ， 在中，， 则， 在中，， ， ， 则该建筑的高度为， 故答案为：262． 三．解答题。 15．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） （1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， 16．如图，在一次数学课外实践活动中，小刚想测量教学楼顶端上避雷针的长度，在处测得点的仰角为，点的仰角为，到楼底处的距离，求避雷针的长度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，） 解：在中，， ∵，，， 故， ∴； 在中，， ∵，，， 故， ∴； ∴． 即避雷针的长度为． 17．如图，甲楼AB的高度为36m，自甲楼楼顶A处，测得乙楼顶端C处的仰角为45°，测得乙楼底部D处的俯角为60°． （1）求乙楼CD的高度； （2）从A处发现乙楼下面的店面房上的广告牌顶部E处俯角也是45°，请你确定广告牌顶部E距地面的高度是多少？（结果都保留根号） 解：（1）由题意得：∠ADB＝∠FAD＝60°，在Rt△ABD中，BD＝ABcos∠ADB＝12m， 在Rt△ACF中，∵∠CAF＝45°，∴CF＝AF＝12m， ∴CD＝CF+FD＝CF+AB＝(36+12)m； （2）由题意得：∠FAE＝45°，则EF＝AF＝12m，CE＝CF+EF＝24m， 故可得DE＝CD﹣CE＝(36﹣12)m． 答：广告牌顶部E距地面的高度是(36﹣12)m． 18．如图，在河流的右岸边有一高楼，左岸边有一坡度的山坡，点C与点B在同一水平面上，与在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼的高度，在坡底C处测得楼顶A的仰角为，然后沿坡面上行了米（即米）到达点D处，此时在D处测得楼顶A的仰角为．（参考数据：，，） (1)求点C到点D的水平距离的长； (2)求楼的高度． （1）解：由题意得：， ∵山坡CF的坡度， ∴， 设米，则米， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴米，（米）； （2）解：过点D作，垂足为G，则四边形是矩形， ∴米，， 设米， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴米， ∴楼的高度约为80米． 19.如图 1，是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形 ，其中，，此时它与出入口 等宽，与地面的距离；当它抬起时，变为平行四边形，如图3所示，此时，与水平方向的夹角为． (1)求点到地面的距离； (2)一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由． （1）解：如图1，过点作于点N，交AB于点E， 依题意得：，，， 在中， 答：点到地面的距离约为； （2）解：点是点C绕点D旋转得到的， 点C经过的路径长为． 答：点C所经过的路径约为． （3）汽车能安全通过． 解：在OM上取，，作于点F，交AB于点H，交于点G， 即汽车与BC保持安全距离，汽车的宽， ， 依题意得：，，四边形AOFH是矩形， ，， 在中， 汽车高度为，， 汽车能安全通过 20．随着春天的阳光越来灿烂，在青台山中学小花园学习的同学被庞校抓拍到努力学习的场景，随后庞校@霍校长可以购买太阳伞，为我们爱学习的青台山学子，遮挡刺眼的阳光．如图①是简易太阳伞，为遮挡不同方向的阳光，太阳伞可以在撑杆上的点O处弯折并旋转任意角，图②是太阳伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨与水平方向的夹角，伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点，撑杆． (1)如图②，当伞完全撑开并直立时，求点到地面的距离． (2)某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将太阳伞倾斜与铅垂线成夹角，如图③，若斜射阳光与所在直线垂直时，求在水平地面上投影的长度约是多少．（说明：，结果精确到） （1）解：∵， ∴， ∵伞骨AB与AC水平方向的最大距离与交于点， ∴， ∴， ∴， ∵撑杆． ∴， 故点到地面的距离为． （2）解：根据题意，得，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：在水平地面上投影的长度约是． 学科网（北京）股份有限公司 $