25.4（1）解直角三角形的应用（仰角、俯角）（3大题型提分练）数学沪教版五四制九年级上册

25.4（1）解直角三角形的应用（仰角、俯角） 知识点一 解直角三角形在实际问题中的应用 ★1、利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 (1)将实际问题抽象为数学问题; (2)根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. ★2、实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式 图形 关系式 图形 关系式 【注意】 (1)根据问题找到要求解的直角三角形，当没有现成的直角三角形时,适当添加辅助线构造(或分割)直角三角形 (2)有些问题中有两个(或两个以上)直角三角形,当其中一个直角三角形不能求解时,可考虑在其他直角三角形中找出含有相同的未 知识点二 解直角三角形的常见类型（仰角和俯角） ★1、仰角和俯角 在测量中,我们把在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角. 视线在水平线下方的叫俯角. 如图所示，PQ 为水平线,视线为PA时，则∠APQ为仰角;视线为PB时,则∠BPQ为俯角. 题型一 用仰、俯角的三角比表示长度 解题技巧提炼 解题三步骤：（1）先读题，定仰、俯角与已知线段之间存在弦切关系. （2）再代入公式，正余弦对应的是对（邻）边与斜边关系，正余切对应的是对(邻）边与邻（对）边之间的关系. （3）最后根据运算关系将所求边用三角比表示出来. 1．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）如图，在点A处测得某建筑物顶端B的仰角为，并测得点A至建筑物底部点C的水平距离为b，则建筑物的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用， 熟记正切函数的定义是解决问题的关键. 【详解】由题意得，在中,， ， ， 故选: D. 2．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，电线杆的中点处有一标志物，在地面点处测得标志物的仰角为，若点到电线杆底部点的距离为米，则电线杆的长可表示为（    ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，由题意可得，米，，进而可得，即得米，再根据中点定义即可求解，掌握解直角三角形的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，米，， ∴， ∴米， ∵点是的中点， ∴米， 故选：． 3．（23-24九年级上·内蒙古包头·阶段练习）小包同学想要测量学校旗杆的高度，如图，小包同学测得旗杆的影子长，通过上网搜索资料得知此时此处的太阳高度角，则旗杆的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，在中，利用正切的定义，可得出，解之即可得出旗杆的高度． 【详解】解：在中，， ， ． 故选：A． 4．（2024·上海杨浦·一模）如图，为了测量学校教学楼的高度，在操场的处架起测角仪，测角仪的高米，从点测得教学大楼顶端的仰角为，测角仪底部到大楼底部的距离是米，那么教学大楼的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了仰角问题，过作于点，则四边形是矩形，根据性质和三角函数即可求解，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，熟练掌握三角函数的应用． 【详解】如图，过作于点， 则有四边形是矩形， ∴米，米，， 在中，， ∴， ∴， 故选：． 5．（23-24九年级上·河北邢台·期中）某火箭从地面处发射，当火箭达到点时，从位于地面处雷达站测得、的距离是米，仰角为，此时火箭的高度是（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题；在中，由，可求得，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，米， 在中， 解得：， ∴火箭的高度是米． 故选：A． 题型二 已知仰、俯角求具体长度 解题技巧提炼： 已知的仰、俯角往往是30°、45°和60°等特殊角.做好此类题，要把特殊三角比烂熟于心，复杂问题可考虑辅助线. 6．（2024·江苏南通·中考真题）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为 m． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数，求出的值即可． 【详解】解：由题意：， ∴； 故答案为：． 7．（2024·吉林长春·三模）如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（    ） A． B．40 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的应用，分别解直角三角形求出的长，再用进行求解即可． 【详解】解：由题意，在中，， 在中，， ∴； 故选D． 8．（2024·四川南充·二模）数学实践小组测量某路段上一处标识脱落的车辆限高杆的高度，如图，他们先用测角仪在处测得点的仰角，然后在处测得点的仰角，已知点，，在同一条直线上，测角仪离地面高度，，则高（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，交于点，设米，在中，可得米，在中，，求出的值，进而可得出答案．本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 【详解】解：延长，交于点， 由题意得，米，米， 设米， 则米， 在中，， ， 米， 在中，， 解得， （米． 故选：A． 9．（2023·上海浦东新·一模）一个测量技术队员在一个高为h（忽略身高）的位置，观测一根高出此建筑物的旗杆，测出与旗杆的顶端的仰角为30°，与地面的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过A作于E，在中，已知了的长，可利用俯角的正切函数求出AE的值；进而在中，利用仰角的正切函数求出的长；．本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形． 【详解】解：如图，过A作于E， 则． ∵在中，， ∴ ∵在中， ∴ ∴ 即旗杆的高度为． 故选：C． 10．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）进博会期间，从一架离地米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，仰角俯角，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 根据题意，得到，利用已知角的正弦，求出答案． 【详解】解：如图，在中， 米，， ， （米）， 故选：． 11．（2022·广东惠州·模拟预测）如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，根据题意得，，，再解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，    由题意得，，， 在中，， 在中，， ，即这栋楼的高度为， 故选：A． 【点睛】本题考查了仰角俯角问题，用辅助线构建直角三角形是解题的关键． 题型三 仰俯角的实际综合应用 解题技巧提炼： 高度、测量问题往往与仰角、俯角有关，而解决有关仰角、俯角的问题,首先要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，再利用解直角三角形的知识求解. 12．（24-25九年级上·上海·期中）如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）． 【答案】约为71米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 【详解】解：从观察点A作，交于点E，依题意，可知（米），． ∵, ∴为等腰直角三角形． ∴（米）． 在中，，得 （米） ∴ （米）．   答：乙楼的高度约为71米． 13．（2024·上海金山·二模）上海中心大厦位于中国上海浦东陆家嘴金融贸易区核心区，是一幢集商务、办公、酒店、商业、娱乐、观光等功能的超高层建筑．它的附近有一所学校的数学兴趣小组在讨论建筑物的高度测量问题，讨论发现要测量学校教学楼的高度可以用“立杆测影”的方法，他们在平地上立一根2米长并且与地面垂直的测量杆，量得影子长为1.6米，同时量得教学楼的影子长为24米，这样就可以计算出教学楼的高度．进而在讨论测量上海中心大厦高度时，由于距离远和周围建筑密集等因素，发现用“立杆测影”的方法不可行，要采用其他方法，经讨论提出两个方案（测角仪高度忽略不计）： 方案1：如图1所示，利用计算所得的教学楼（）高度，分别在教学楼的楼顶（点A）和楼底地面（点B），分别测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度； 方案2：如图2所示，在学校操场上相对于上海中心大厦的同一方向上选取两点C、D，先量得的长度，再分别在点C、D测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度．测量并通过计算得：米，． (1)教学楼（）的高度为 米； (2)请你在两种方案中选取一种方案，计算出上海中心大厦（）的高度（精确到1米）． 【答案】(1)30 (2)上海中心大厦（SH）的高度为632米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设教学楼（）的高度为x米，根据题意列方程即可得到结论； （2）方案1，设米，过点A作，垂足为点E，根据矩形的性质得到（米），解直角三角形得到上海中心大厦（）的高度为632米；方案2，设米，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：设教学楼（）的高度为x米， 根据题意得， 解得， 答：教学楼（）的高度为30米， 故答案为：30； （2）解：方案1，设米，过点A作，垂足为点E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（米） 在中，， ， 在中，， ， ∴， 解得：， ∴上海中心大厦（）的高度为632米； 方案2，设米， 在中，， , 在中，， , ∴， 解得， ∴上海中心大厦（）的高度为632米． 14．（2022·上海·中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长． (1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示） (2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度 【答案】(1)atanα+b米 (2)3.8米 【分析】（1）由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α，根据四边形CDBE为矩形，得到BE=CD=b，BD=CE=a，在Rt∆ACE中，由正切函数tanα= ，即可得到AB的高度； （2）根据AB∥ED，得到∆ABF~∆EDF，根据相似三角形的对应边成比例得到 ，又根据AB∥GC，得出∆ABH~∆GCH，根据相似三角形的对应边成比例得到 联立得到二元一次方程组解之即可得； 【详解】（1）解：如图 由题意得BD=a，CD=b，∠ACE=α ∠B=∠D=∠CEB=90° ∴四边形CDBE为矩形， 则BE=CD=b，BD=CE=a， 在Rt∆ACE中，tanα= ， 得AE=CE=CE×tanα=a tanα 而AB=AE+BE， 故AB= a tanα+b 答：灯杆AB的高度为atanα+b米 （2）由题意可得，AB∥GC∥ED，GC=ED=2，CH=1，DF=3，CD=1.8 由于AB∥ED， ∴∆ABF~∆EDF， 此时 即①， ∵AB∥GC ∴∆ABH~∆GCH， 此时， ② 联立①②得 ， 解得： 答：灯杆AB的高度为3.8米 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，锐角三角函数的应用，以及二元一次方程组，解题的关键是读懂题意，熟悉相似三角形的判定与性质． 15．（23-24九年级上·上海长宁·期末）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： (1)请用含的代数式表示仰角； (2)如果在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形−仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）延长交于L，根据题意可得：，从而可得：，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）延长交于点M，根据题意可得：米，米，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：如图：延长交于L， 由题意得： ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：延长交于点M， 由题意得：， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵， ∴ 解得： ∴米， ∴米， ∴大楼EF的高度为米． 16．（2022·上海松江·三模）如图，在路边安装路灯，灯柱高，与灯杆的夹角为路灯采用锥形灯罩，照射范围长为，从、两处测得路灯的仰角分别为求灯杆的长度．（结果保留整数）参考数据： 【答案】3米 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得，设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而根据米，列出关于的方程，即可求出的长，进而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得： ， 设米， 在中，， 米， 在中，， 米， 米， ， ， ， 米， 米， 米， 在中，， 米， 灯杆的长度约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 17．（2023·上海闵行·一模）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角，顶部B处的仰角为，求此时观测点A到发射塔的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：） 【答案】此时观测点A到发射塔的水平距离为32.1米 【分析】 设此时观测点A到发射塔的水平距离为米，在中根据得到，之后在中根据得到，根据进而得到答案． 【详解】 解：设此时观测点A到发射塔的水平距离为米． 由题意，得． 在中，， ∵ ∴ 在中，， ∵ ∴ ∵ ∴，即； （米）． 答：此时观测点A到发射塔的水平距离为32.1米． 【点睛】 本题主要考查解直角三角形，掌握解直角三角形的方法是解题的关键． 18．（2023·上海长宁·一模）某校开展数学周系列活动，举办了“测量”为主题的实践活动．小杰所在小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度．如图所示，无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升，至点B处时，测得大楼底部C的俯角为30°，测得大楼顶部D的仰角为45°．无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处，此时测得大楼顶部D的俯角为45°．已知A，C两点在同一水平线上，根据以上信息，请帮小杰小组计算大楼的高度．（结果保留根号） 【答案】米 【分析】分析图形，根据题意作辅助线构造直角三角形，即作，，由题意可以得到是等腰直角三角形，利用其性质求出，的长，然后解直角三角形，求出的长，从而可求出大楼的高度． 【详解】如图，过点D作交于点G，过点B作交于点H， 则四边形是矩形， ∴，． 由题意可知，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴为的中线， ∴（米）， ∴米． 由题意可知， ∴（米）． ∴（米）． 答：大楼的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，解直角梯形可以通过作垂线转化为解直角三角形和矩形的问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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5．（23-24九年级上·河北邢台·期中）某火箭从地面处发射，当火箭达到点时，从位于地面处雷达站测得、的距离是米，仰角为，此时火箭的高度是（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 题型二 已知仰、俯角求具体长度 解题技巧提炼： 已知的仰、俯角往往是30°、45°和60°等特殊角.做好此类题，要把特殊三角比烂熟于心，复杂问题可考虑辅助线. 6．（2024·江苏南通·中考真题）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为 m． 7．（2024·吉林长春·三模）如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（    ） A． B．40 C． D． 8．（2024·四川南充·二模）数学实践小组测量某路段上一处标识脱落的车辆限高杆的高度，如图，他们先用测角仪在处测得点的仰角，然后在处测得点的仰角，已知点，，在同一条直线上，测角仪离地面高度，，则高（    ） A． B． C． D． 9．（2023·上海浦东新·一模）一个测量技术队员在一个高为h（忽略身高）的位置，观测一根高出此建筑物的旗杆，测出与旗杆的顶端的仰角为30°，与地面的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）进博会期间，从一架离地米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 11．（2022·广东惠州·模拟预测）如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（    ） A． B． C． D． 题型三 仰俯角的实际综合应用 解题技巧提炼： 高度、测量问题往往与仰角、俯角有关，而解决有关仰角、俯角的问题,首先要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，再利用解直角三角形的知识求解. 12．（24-25九年级上·上海·期中）如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）． 13．（2024·上海金山·二模）上海中心大厦位于中国上海浦东陆家嘴金融贸易区核心区，是一幢集商务、办公、酒店、商业、娱乐、观光等功能的超高层建筑．它的附近有一所学校的数学兴趣小组在讨论建筑物的高度测量问题，讨论发现要测量学校教学楼的高度可以用“立杆测影”的方法，他们在平地上立一根2米长并且与地面垂直的测量杆，量得影子长为1.6米，同时量得教学楼的影子长为24米，这样就可以计算出教学楼的高度．进而在讨论测量上海中心大厦高度时，由于距离远和周围建筑密集等因素，发现用“立杆测影”的方法不可行，要采用其他方法，经讨论提出两个方案（测角仪高度忽略不计）： 方案1：如图1所示，利用计算所得的教学楼（）高度，分别在教学楼的楼顶（点A）和楼底地面（点B），分别测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度； 方案2：如图2所示，在学校操场上相对于上海中心大厦的同一方向上选取两点C、D，先量得的长度，再分别在点C、D测得上海中心大厦（）的楼顶（点S）的仰角和，通过计算就可以得到大厦的高度．测量并通过计算得：米，． (1)教学楼（）的高度为 米； (2)请你在两种方案中选取一种方案，计算出上海中心大厦（）的高度（精确到1米）． 14．（2022·上海·中考真题）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB的长． (1)如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB底部a米的点D处，测角仪高为b米，从C点测得A点的仰角为α，求灯杆AB的高度．（用含a，b，ａ的代数式表示） (2)我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG放在灯杆AB前，测得其影长CH为1米，再将木杆沿着BC方向移动1.8米至DE的位置，此时测得其影长DF为3米，求灯杆AB的高度 15．（23-24九年级上·上海长宁·期末）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决： (1)请用含的代数式表示仰角； (2)如果在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号） 16．（2022·上海松江·三模）如图，在路边安装路灯，灯柱高，与灯杆的夹角为路灯采用锥形灯罩，照射范围长为，从、两处测得路灯的仰角分别为求灯杆的长度．（结果保留整数）参考数据： 17．（2023·上海闵行·一模）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角，顶部B处的仰角为，求此时观测点A到发射塔的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：） 18．（2023·上海长宁·一模）某校开展数学周系列活动，举办了“测量”为主题的实践活动．小杰所在小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度．如图所示，无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升，至点B处时，测得大楼底部C的俯角为30°，测得大楼顶部D的仰角为45°．无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处，此时测得大楼顶部D的俯角为45°．已知A，C两点在同一水平线上，根据以上信息，请帮小杰小组计算大楼的高度．（结果保留根号） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$