1.4 线段垂直平分线与角平分线 同步练习-2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦线段垂直平分线与角平分线，分层设计合理，从基础应用到综合证明，梯度清晰，助力知识巩固与推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|垂直平分线性质（求周长）、角平分线性质（距离相等）|选择填空为主，直接应用性质，如选择1、2| |提升层|性质综合应用（面积比、角度计算）|引入图形变换，需2-3步推理，如填空12、选择4| |综合层|多性质结合证明（垂直平分线与角平分线综合）|解答题形式，培养逻辑推理，如解答15、16|

1.4 线段垂直平分线与角平分线 一．选择题（共8小题） 1．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线．若BC＝8cm，AB＝10cm，AC＝9cm，则△EBC的周长为（　　） A．17cm B．18cm C．19cm D．27cm 2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E，则以下结论一定正确的是（　　） A．AD＝CD B．BD＝DE C．BD＝CD D． 3．如图，在△ABC中，BC＞BA，在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC．若△ABC的面积为4，则△BPC的面积为（　　） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 4．如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5 5．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 6．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　） A．10 B．7 C．5 D．4 7．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 8．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 二．填空题（共6小题） 9．如图，在△ABC中，BC＝8cm，AC的垂直平分线交BC于D，连接AD，AB的垂直平分线交AD于点F，则△BDF的周长是　 　 cm． 10．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝　 　 ． 11．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　 　 ． 12．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝　 　 度． 13．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝　 　 ． 14．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接CD与BE交于点F．求证：BE垂直平分CD． 16．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证： （1）AM⊥DM； （2）M为BC的中点． 17．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF． （1）求证：CF＝EB； （2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长． 18．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F． （1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长； （2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数． 19．如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE． （1）若∠BAE＝40°，求∠C的度数； （2）若△ABC周长13cm，AC＝6cm，求DC长． 20．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F． （1）求证：OE是CD的垂直平分线． （2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论． 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，BC＝8cm，AB＝10cm， ∴AE＝CE， ∴△EBC的周长＝BC+CE+BE＝BC+AE+BE＝BC+AB＝8+10＝18（cm）． 故选：B． 2．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠ABC＝90°，DE⊥AC， ∴BD＝DE（角平分线上的点到两边的距离相等）． 故选：B． 3．【解答】解：∵BD＝BA，BP平分∠ABD，S△ABC＝4， ∴BP为△ABD的中线，P为AD中点， ∴CP为△CAD的中线， ∴，， ∵S△BPC＝S△BPD+S△CPD，S△ABC＝S△ABD+S△ACD， ∴，即， ∴． 故选：D． 4．【解答】解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F， ∵点O是内心， ∴OE＝OF＝OD， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO•AB•OE：•BC•OF：•AC•OD＝AB：BC：AC＝2：3：4， 故选：C． 5．【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线， ∴AN＝BN， ∵△BCN的周长是7cm， ∴BN+NC+BC＝7（cm）， ∴AN+NC+BC＝7（cm）， ∵AN+NC＝AC， ∴AC+BC＝7（cm）， 又∵AC＝4cm， ∴BC＝7﹣4＝3（cm）． 故选：C． 6．【解答】解：作EF⊥BC于F， ∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC， ∴EF＝DE＝2， ∴S△BCEBC•EF5×2＝5， 故选：C． 7．【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等， 根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处． 故选：C． 8．【解答】解：过点P作PE⊥BC于E， ∵AB∥CD，PA⊥AB， ∴PD⊥CD， ∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB， ∴PA＝PE，PD＝PE， ∴PE＝PA＝PD， ∵PA+PD＝AD＝8， ∴PA＝PD＝4， ∴PE＝4． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 9．【解答】解：由条件可知AD＝CD，AF＝BF， ∵BC＝8cm， ∴BD+DF+BF＝BD+DF+AF＝BD+AD＝BD+CD＝BC＝8cm， ∴△BDF的周长是8cm． 故答案为：8． 10．【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F， ∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线， ∴OD＝OE＝OF， ∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝（AB•OD）：（BC•OF）：（AC•OE）＝AB：BC：AC＝40：50：60＝4：5：6． 故答案为：4：5：6． 11．【解答】解： 过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OE＝OD，OD＝OF， 即OE＝OF＝OD＝4， ∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC AB×OEAC×OFBC×OD 4×（AB+AC+BC） 4×21＝42， 故答案为：42． 12．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠C， ∴∠FAC＝∠EAC+19°， ∵AF平分∠BAC， ∴∠FAB＝∠EAC+19°， ∵∠B+∠BAC+∠C＝180°， ∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°， 解得，∠C＝24°， 故答案为：24． 13．【解答】解：连接CD，BD， ∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE， ∴AE＝AF， ∵DG是BC的垂直平分线， ∴CD＝BD， 在Rt△CDF和Rt△BDE中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）， ∴BE＝CF， ∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE， ∵AB＝6，AC＝3， ∴BE＝1.5． 故答案为：1.5． 14．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， 则△BCE的周长＝BC+EC+EB＝BC+EC+EA＝BC+AC＝13， 故答案为：13． 三．解答题（共6小题） 15．【解答】证明：∵ED垂直平分AB， ∴∠EDB＝90°，BDAB， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴BD＝BCAB， 在Rt△ECB和Rt△EDB中， ， ∴Rt△ECB≌Rt△EDB（HL）， ∴∠EBC＝∠EBD， 又∵BD＝BC， ∴BF⊥CD， ∴CF＝DF， ∴BE垂直平分CD． 16．【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC＝180°， ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴2∠MAD+2∠ADM＝180°， ∴∠MAD+∠ADM＝90°， ∴∠AMD＝90°， 即AM⊥DM； （2）作NM⊥AD交AD于N， ∵∠B＝90°，AB∥CD， ∴BM⊥AB，CM⊥CD， ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴BM＝MN，MN＝CM， ∴BM＝CM， 即M为BC的中点． 17．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E， ∴DE＝DC． 在Rt△CDF与Rt△EDB中， ， ∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）， ∴CF＝EB． （2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB， ∴CD＝DE． 在Rt△ACD与Rt△AED中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x， 解得x＝2，即CF＝2． 18．【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB， ∵△CMN的周长为15cm， ∴AB＝15cm； （2）∵∠MFN＝70°， ∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°， ∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF， ∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°， ∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°， ∵AM＝CM，BN＝CN， ∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN， ∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°． 19．【解答】解：（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC， ∴AB＝AE＝EC， ∴∠C＝∠CAE， ∵∠BAE＝40°， ∴∠AED＝70°， ∴∠C∠AED＝35°； （2）∵△ABC周长13cm，AC＝6cm， ∴AB+BE+EC＝7cm， 即2DE+2EC＝7cm， ∴DE+EC＝DC＝3.5cm． 20．【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA， ∴DE＝CE，OE＝OE， ∴Rt△ODE≌Rt△OCE， ∴OD＝OC， ∴△DOC是等腰三角形， ∵OE是∠AOB的平分线， ∴OE是CD的垂直平分线； （2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°， ∴∠AOE＝∠BOE＝30°， ∵EC⊥OB，ED⊥OA， ∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°， ∴∠EDF＝30°， ∴DE＝2EF， ∴OE＝4EF 学科网（北京）股份有限公司 $