2.4《修复铜镜》教案 -2026-2027学年六年级上册数学北师大版

该教案聚焦六年级数学《圆》单元综合实践，通过“修复铜镜”任务整合圆的圆心、半径、轴对称等核心特征。以古代铜镜文物修复情境导入，衔接圆的特征旧知，搭建从旋转、对折到外接正方形的阶梯式探究支架。 特色在于真实任务驱动与传统文化融合，借助几何直观引导学生用旋转对称、轴对称等推理复原方法，培养推理意识与应用意识。如通过对折找直径交点定圆心，既落实动手操作又深化原理理解，助力学生构建几何知识体系，为教师提供跨学科实践教学范例。

《修复铜镜》教学设计 学科 数学 年级 六年级 课型 新授课 单元 第二单元 课题 《修复铜镜》 课时 一课时 课标要求 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形与几何”领域对第三学段（5-6年级）的要求： 1.图形与几何领域 （1）结合古代铜镜文物修复真实任务，综合运用圆的全部核心特征（一中同长、轴对称、直径交点为圆心、圆内接正方形特征），自主设计残缺圆形复原方案，确定残缺圆的圆心与半径。 （2）掌握三类复原残缺圆形的实操方法：旋转补全法、对折找直径交点法、外接正方形对角线找圆心法，能规范画出完整圆形。 （3）结合铜镜史料感受中华古代文物与数学几何的融合，体会圆的知识在考古、文物修复中的实际应用价值。 2.几何直观 依托铜镜残片实物、画图操作，把残缺圆抽象为几何图形，借助对折、旋转、外接正方形等直观手段，可视化定位圆心、半径，用几何操作解决复原问题。 3.推理意识 结合已学圆的轴对称、半径相等、内接正方形对角线交于圆心等知识，推理复原残缺圆的可行思路；能完整有条理说明每种修复方法的几何依据，对比多种方案的优劣。 4.综合实践与应用意识 完整经历“真实考古问题→调用圆的特征猜想方案→动手画图验证复原→交流多种方法→归纳通用解题思路”综合实践流程，能综合运用圆的全部知识点解决真实生活、考古类实操问题。 教材分析 1.课时定位 本课是北师大版六上《圆》单元综合实践拓展课，安排在《圆的认识（一）（二）》全部基础知识点学习完成后，属于单元知识整合实践课，综合运用圆的圆心、半径、轴对称、旋转对称、圆内接正方形全部特征。 2.编排逻辑 （1）真实情境导入：出土残缺铜镜文物，抛出核心任务——利用数学知识复原圆形铜镜，同步补充铜镜历史科普，融合数学与传统文化。 （2）开放探究，自主思考复原核心条件：引导学生明确复原圆形必须先确定圆心、半径，联想之前所学圆的各类特征寻找解题工具。 （3）呈现两类基础复原方法 ①旋转法：固定残片圆心，旋转残片补全完整圆形，依托圆旋转任意角度与自身重合的特征； ②对折法：利用圆无数条对称轴，对折得到两条直径，交点即为圆心，确定半径后画完整圆。 （4）拓展创新方案：外接正方形法 借助圆的外切正方形特征，正方形对角线交点就是圆心，通过残片轮廓确定外接正方形，对角线定位圆心，丰富解题思路。 （5）思辨交流：组织学生看懂不同复原方法，互相讲解每种方案背后对应的圆的几何特征，实现知识融会贯通。 3.知识前后关联 （1）前置基础：已经完整学习圆的认识（一）（二），掌握圆心、半径、直径、轴对称、旋转对称、圆与正方形内接关系等全部基础特征；具备画图、折纸、几何推理的探究经验。 （2）本课核心价值：单元整合实践课，串联本单元所有圆的基础知识点，实现知识综合运用；以文物修复真实任务，搭建几何知识与考古传统文化的桥梁；培养学生综合运用多条几何规律解决复杂残缺图形问题的能力。 （3）后续铺垫：提升学生几何综合建模、实操解题能力，为圆周长、面积综合应用题、初中几何残缺圆问题、作图题积累探究方法。 4.教材编写特色 （1）跨学科真实任务驱动：融合考古历史、传统文化，以文物修复为真实问题，激发探究兴趣。 （2）多解法开放探究：提供旋转、对折、外接正方形三种不同思路，鼓励多角度运用圆的特征。 （3）知识综合性强：每一种复原方法分别对应不同圆的核心特征，倒逼学生主动调取全单元知识点。 （4）说理交流导向：设置同伴交流环节，要求学生解释每种方法背后的数学原理，强化知识理解。 学情分析 1.已有基础 （1）知识储备：掌握圆的圆心、半径、直径、轴对称、旋转对称、圆外接正方形特征；会用对折、画图找完整圆形的圆心；能规范使用圆规画圆。 （2）实践经验：前期经历车轮、套圈、折纸、找圆心等多节动手操作课，具备画图、折叠、小组合作说理的探究经验。 （3）文化认知：对古代铜镜有基础认知，对文物修复类实践任务有探究兴趣。 2.认知短板与学习难点 （1）知识碎片化：单独掌握圆的各条特征，但不会综合调用多个知识点解决残缺圆这类综合性实操问题。 （2）方法迁移困难：只会对完整圆形找圆心，无法把对折、正方形对角线方法迁移到残缺残片上。 （3）说理不完整：能动手复原铜镜，但无法清晰对应操作背后的圆的几何特征，推理表达不规范。 （4）创新思路薄弱：大多只能想到对折、旋转法，难以自主想到外接正方形复原方案。 3.学习优势 文物修复情境新颖有趣，兼具历史文化底蕴，课堂参与积极性高；残片画图操作直观，能快速验证复原方案；前期课时积累充足的圆特征知识，具备多元解题的知识储备。 核心素养目标 1.借助铜镜残片画图、对折、旋转、外接正方形作图，直观定位残缺圆的圆心与半径，把抽象的圆特征转化为复原实操步骤，建立残缺圆形的几何建模思维。 2.结合圆的轴对称、旋转对称、内接正方形特征，推理残缺铜镜的多种复原方案；能完整、有条理地阐述每种复原方法对应的几何依据，对比不同方法的优劣。 3.结合铜镜史料了解中国古代金属器物文化，建立“残缺圆形→定位圆心半径→复原完整圆”的通用几何解题模型。 4.能综合运用本单元全部圆的知识点解决文物复原实操问题，掌握多种残缺圆形复原作图方法，积累综合实践探究的完整流程经验。 教学重点 掌握三种复原残缺圆形（铜镜）的实操方法，能结合圆的特征说明每一步操作依据。 教学难点 理解借助外接正方形复原残缺圆的原理，综合灵活运用圆的多项特征解决实际残缺图形复原问题。 教学准备 多媒体课件 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、温故 复习提问，温故孕新 1.是轴对称图形的，在（ ）里画“√”。 2.画出下面各图形的对称轴。 学生独自完成，然后集体订正。 通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识做准备。 二、引新 创设情境，引入课题 师：同学们，中华文化源远流长，早在四千多年前，古人就制作出精致的铜镜，铜镜不仅可以梳妆照面，更是珍贵的文物。大家请看，这些都是考古出土的完整古铜镜，大家仔细观察，铜镜是什么形状的？ 课件出示：人类使用铜镜的历史约有4000年，铜镜是中国古代金属器物中沿用时间最长、使用范围最广的，具有很高的艺术价值和考古价值。 师：可是考古学家出土了一块破损的铜镜，下半部分已经丢失，只剩下一小块圆弧残片。今天我们全体同学化身小小文物修复师，一起挑战文物修复任务。 板书课题：修复铜镜 学生：铜镜全部都是圆形的。 依托古代铜镜传统文化情境导入，结合文物出土、铜镜破损的真实场景创设文物修复任务，兼具人文底蕴与趣味性。借助文物问题引发认知冲突，自然抛出补全圆形铜镜、寻找圆心的探究任务，唤醒学生上节课对折找圆心、圆的特征相关旧知，激发探究欲与课堂代入感；渗透传统文化教育，落实美育与德育，让学生感受数学古韵之美，驱动新知探究。 三、探究 合作探究，活动领悟 探究1：小组合作，探究复原铜镜的思路 课件出示：要把这块铜镜残片复原成圆形，你准备怎样做? 师：大家回忆一下，想要画出一个完整的圆，必不可少的两个条件是什么？和你的同桌互相说一说。 师：没错，修复残缺铜镜，万变不离其宗，核心就是找准圆心、确定半径。想想我们有哪些方法，比如……？ 师：请四人小组合作，结合我们学过圆的轴对称、旋转、一中同长这些知识，讨论想一想，一共有哪些办法复原铜镜？小组做好记录，限时两分钟。 师巡视指导，然后提问：大家想到办法了吗？谁来说说？ 师：大家思考得太棒了！你们结合圆的旋转、轴对称、外切正方形三种特点，梳理出三种修复方法，刚好对应课本的三种解题思路，接下来我们逐一动手实操，验证方法。 同伴相互交流，然后反馈：想要画圆，必须找准圆心，确定半径，只要找准圆心、定好半径，就能用圆规画出完整的圆。 学生：可以借助圆的特征、圆和其他图形的关系…… 学生分小组讨论。 学生1：我们小组想到，可以利用圆旋转的特点，圆随便怎么转都不变，把铜镜残片绕中间旋转，补全缺失部分。 学生2：我们可以利用对称轴，圆有无数条对称轴，对折两次画出两条对称轴，交点就是圆心，量出半径就能画圆。 学生3：我们可以在铜镜外面画一个正方形，包住圆形，利用正方形找圆心，复原铜镜。 承接课前铜镜文物修复情境，紧扣画圆两大核心条件：圆心、半径，唤醒圆的特征、轴对称、旋转特性、一中同长等旧知。 以小组研讨形式发散思维，自主梳理复原方案，搭建实操探究支架，变被动听讲为主动探究，培养学生知识迁移与发散思维，同时梳理探究方向，为后续两种基础修复方法、拓展方法做好铺垫。 探究2：探究前两种基础复原方法，动手实操画图 课件出示： 请将附页2中的图2复原成圆形，把复原后的图片画下来。 师：接下来我们由易到难，先学习两种最简单、最好操作的复原方法，第一种旋转复原法，第二种对折复原法。请同学们拿出铜镜残片学习单，跟着老师一步步动手操作。 课件出示： 师分步讲解操作： 第一步：先找出铜镜圆弧正中间的点； 第二步：按住中心点不动，慢慢转动残片，一边旋转一边描边； 第三步：不停旋转拼接，补齐缺失部分，拼凑出完整圆形轮廓，找准圆心和半径，用圆规画出整圆。 师：大家想一想，为什么旋转残片，就能补全圆形？谁来说说背后的道理？ 师：你能学以致用，把旋转的知识点说得清清楚楚，请大家动手旋转描边，勾勒铜镜轮廓。 课件出示： 师分步示范操作： 第一步：拿起铜镜残片，顺着圆弧随意对折，画出第一条对称轴，这条线也是圆的直径； 第二步：换一个不一样的角度，再次对折，画出第二条对称轴； 第三步：两条对称轴交叉的点，就是铜镜的圆心，圆心到圆弧的距离，就是圆的半径； 第四步：以交点为圆心，测量好半径，用圆规画出完整铜镜。 师：大家思考一个问题，为什么两条折痕相交的点，一定是圆心？ 师：解释得有理有据，请同学们自主对折残片，画图、标注圆心和半径，完成铜镜复原。 师巡视指导，然后选取几名学生的展示。 师：两种方法我们都操作完了，对比一下，旋转法和对折法，分别有什么优缺点？谁愿意分享？ 师小结：旋转法依托圆任意旋转重合的特征补全轮廓；对折法依托圆无数条对称轴定位圆心，两种方法简单好操作，都可以精准复原残缺铜镜。 学生认真倾听。 学生：因为圆绕中心点旋转任意角度，都能和原图重合，所以旋转残片，就能补齐破损的铜镜。 学生认真倾听。 学生：每一条对折折痕都是直径，我们学过所有直径都经过圆心，所以两条直径交点，就是圆心。 学生尝试操作。 学生1：旋转法直观易懂，我们能直接看清铜镜完整的样子，操作简单。 学生2：对折法更加精准，找圆心误差小，画图规范，修复文物更严谨。 遵循由易到难原则，拆解旋转复原、对折复原两类基础方法，分步细化操作步骤，降低实操难度。每一步操作配套原理追问，做到动手操作+数学说理相结合，避免机械画图。 对比两种方法优缺点，引导学生辩证分析操作方法，夯实圆旋转不变性、轴对称特征，打通理论知识与实操应用的联系，落实几何直观素养。 四、变式 师生互动，变式深化 探究3：拓展探究外接正方形复原法 师：除了这两种基础方法，课本还给我们介绍了一种巧妙的办法——外接正方形复原法。请大家观察，同桌互相说一说，妙想是怎么修复铜镜的？ 课件出示： 师：铜镜只剩一小块残片，我们怎么画出外面包裹的正方形？ 师：画好正方形，怎么快速找圆心、复原铜镜？ 师：大家理解能力太强了！这个方法用到方和圆的关系，圆形刚好内嵌在正方形里，正方形对角线交点刚好和圆心重合，正方形的边长刚好等于圆的直径，借助正方形，就能轻松找准圆心、半径。现在请小组合作，动手画出外接正方形，复原铜镜，完成后互相检查。 师：我们全班一起梳理，三种修复方法，分别用到圆的什么知识？ 师：外接正方形复原法十分巧妙，借助正方形和圆的位置关系确定圆心，三种修复方法虽然操作不同，但是原理相通，全部依托圆独有的数学特征。 学生独自观察，然后回答：顺着圆弧往外延伸，画出四条边，让正方形四条边刚好贴着圆弧，画出包住圆的正方形。 学生：连接正方形两条对角线，交叉点就是圆心，圆心到正方形对边的垂线就是圆的半径，直接画圆就行。 学生尝试画图复原。 学生1：旋转复原法，用到了圆绕中心任意旋转能够重合。 学生2：对折复原法，用到了圆有无数条对称轴，对称轴就是直径。 学生3：外接正方形复原法，用到了正方形对角线交于圆心，边长等于圆的直径。 延伸方与圆位置关系拓展知识，跳出单一圆的内部特征，联动正方形已有知识，搭建跨图形知识体系。借助正方形对角线、边长和圆的圆心、直径的关联，拓展复原思路，拓宽解题视角。 汇总三类修复方法原理，提炼本质：全部依托圆的独有特征，实现知识结构化，提升学生归纳整合能力。 五、尝试 尝试练习，巩固提高 1.能复原吗？ （1）上面是4块圆形铜镜的残片，想一想，它们都能复原吗?为什么? （2）从附页2图3中选择1或2块残片复原成圆形。 2.为圆桌铺上一张与桌面一样大的保护垫，你需要知道什么数据? 3.结合本节课的探索活动过程，把对圆的新认识补充进你的数学日记。 学生独自完成，然后集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。 六、提升 适时小结，兴趣延伸 师：回顾这节课你学到了什么？ 师：同学们，今天我们化身小小文物修复师，圆满完成破损古铜镜修复任务，综合运用这一单元所有圆的相关知识，解锁三类圆形复原方法，实现了数学知识和文物保护的奇妙联动。希望大家活用本次整合知识的学习方法，夯实圆的基础性质，养成动手实操、严谨说理、多角度解题的好习惯，继续探索奇妙的几何世界！ 学生1：我知道修复残破铜镜一共有三种方法。 学生2：我还知道三种修复方法虽然操作不同，但是都运用了圆独有的数学特征。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。 板书设计 修复铜镜 旋转 复原方法 对折 外接正方形 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业设计 （课外练习） 基础达标： 1.判断题。（对的打√，错的打 ×） （1）随便一块铜镜碎片，都能复原出完整的圆形铜镜。 （2）已知一段圆弧，画两条直径，交点就是这个圆的圆心。 （3）直径是圆内最长的线段。 （4）半径越长，圆就越大。 2.选一选。 （1）下面哪一块碎片可以复原完整的圆形？（ ） A. 只有直线边、没有圆弧的碎片 B. 带有一段弧形边缘的碎片 C. 任意不规则多边形碎片 （2）一张圆形餐桌，想裁剪一模一样的圆形桌布，不需要测量的是（ ）。 A. 餐桌直径 B. 餐桌半径 C. 餐桌高度 能力提升： 1.看图，在（ ）里填合适的数。（单位：cm） 圆的半径是（ ）cm， 长方形的宽是（ ）cm， 长方形的长是（ ）cm， 长方形的面积是（ ） cm2。 2.下图中，圆的直径是多少厘米？半径呢？ 拓展迁移：如果铜镜只剩下一小段圆弧，三种修复方法，哪一种误差最小？说一说你的理由。 教学反思 本节课创设文物修复师沉浸式情境，依托破损铜镜复原任务开展实操探究，整合圆的对称性、旋转特性、方圆位置关系全部旧知，践行“做中学”大学理念。课堂以小组研讨、分步实操、原理辨析、方法汇总为主线，层层递进落实教学任务，融合传统文化育人，学生课堂参与积极性高，大部分学生能够掌握三种铜镜复原方法，厘清每种方法背后的数学原理，达成教学目标。 （一）课堂亮点 1.情境贯穿首尾，氛围感浓厚：全程依托古铜镜文物修复任务，情境完整连贯，兼具数学趣味与传统文化底蕴，落实立德树人，增强学生文化自信。 2.探究层次梯度清晰：先发散思路，再学习基础实操方法，最后拓展进阶解法，由浅入深、由具象到抽象，契合六年级学生几何思维发展规律。 3.知行合一，深挖原理：不单纯教授画图步骤，每一项操作同步追问数学依据，杜绝机械实操，强化有理有据的说理习惯，落实数学理性思维。 4.知识关联性极强：串联前后课时圆的特征、轴对称、旋转特性，联动正方形旧知，构建平面图形知识网络，完善几何知识体系。 （二）存在不足 1.小组研讨效率参差不齐：部分基础薄弱学生无法调取圆相关旧知，参与讨论被动，只能被动倾听，无法自主提出复原思路。 2.原理说理不透彻：多数学生会动手画图，但不能精准表达原理，例如只会对折找圆心，说不清“两条对称轴交点为圆心”的本质依据。 3.外接正方形方法理解困难：方圆结合较为抽象，部分学生难以理解正方形对角线、边长和圆的对应关系，复原画图容易出错。 4.方法辨析能力薄弱：三种方法学完后，无法快速区分每种方法适用场景、优缺点，做题选用方法较为盲目。 （三）改进措施 1.研讨环节下发知识提示卡，罗列圆心、半径、对称轴、旋转特性关键词，帮扶学困生调取旧知，全员参与探究。 2.搭建说理句式支架，规范数学表达，强化“直径过圆心、对称轴为直径所在直线、圆旋转不变性”核心原理复述训练。 3.板书绘制可视化方圆组合图，标注对应线段，直观展示边长、对角线与圆的直径、圆心关系，化解抽象难点。 4.制作方法对比表格，梳理操作难度、优缺点、适用场景，增设实操辨析题，强化方法选取能力。 学科网（北京）股份有限公司 $