6.3.1 离散型随机变量的均值-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的均值，涵盖概念、性质、两点分布及应用。通过“课前预知教材·自主落实基础”引导学生自主构建知识，结合“微点助解”深化理解，为课堂迁移应用搭建学习支架。 其亮点在于采用梯度进阶式教学，从基础训练到题型研究再到决策应用，如设备更换年均收益分析，培养学生用数学思维推理计算、用数学语言表达现实问题的能力。学生能提升应用意识，教师可获得系统教学流程与实例支持。

§3 离散型随机变量的均值与方差 3.1 离散型随机变量的均值 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.理解离散型随机变量的均值的概念和意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值. 2.掌握离散型随机变量的均值的性质和两点分布的均值. 3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.离散型随机变量的均值(或数学期望) 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称EX=_________________________为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).它反映了离散型随机变量X取值的___________. x1 p1+x2 p2+…+xi pi+…+xn pn 平均水平 |微|点|助|解| 理解均值要注意三点 (1)离散型随机变量的均值是算术平均数概念的推广，是概率意义下的平均，由于离散型随机变量的所有取值的概率满足 =1，所以均值是以概率pi为权数的加权平均数. (2)EX是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量，可以取不同的值，但EX是X的一个特征数，它是不变的，它描述X取值的平均水平. (3)EX与随机变量X本身具有相同的单位. 2.两点分布的均值 一般地，若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX=_____. 3.均值的性质 若Y=aX+b，其中a，b为常数，X是随机变量，则 (1)Y也是随机变量. (2)EY=_________. p aEX+b 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量X的数学期望EX是个变量，其随X的变化而变化. (　　) (2)随机变量的均值反映样本的平均水平. (　　) (3)若随机变量X的数学期望EX=2，则E(2X)=4. (　　) (4)随机变量X的均值EX=. (　　) × × √ × 2.已知离散型随机变量Y的分布列如下： Y 0 1 2 P 则数学期望EY= (　　) A. B. C.1 D.2 解析：由题意可得EY=0×+1×+2×=. √ 3.已知X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 a 则E(2X+0.2)= (　　) A.4.8 B.5 C.6 D.8.4 √ 4.某射手射击所得环数ξ的分布列如下表： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的数学期望Eξ=8.9，则y的值为 (　　) A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.3 解析：由分布列的性质可知， 解得 √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　离散型随机变量的均值 [例1]　某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和均值. 解：X的取值分别为1，2，3，4， X=1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(X=1)=0.6. X=2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X=2)=(1-0.6) ×0.7=0.28. X=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096. X=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过， 故P(X=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024. 所以李明一年内参加考试次数X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 所以X的均值EX=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544. |思|维|建|模|　求离散型随机变量X的均值的步骤 针对训练 1.端午节吃粽子是我国的传统习俗，一盘中有8个粽子，其中豆沙粽2个，蜜枣粽6个，这两种粽子的外观完全相同，从中随机取出3个. (1)求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率； 解：依题意，既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为=. (2)设X表示取到豆沙粽的个数，求随机变量X的分布列与数学期望. 解：X的可能取值为0，1，2， 则P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以EX=0×+1×+2×=. 题型(二)　离散型随机变量均值的性质 [例2]　已知随机变量X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 P m 若Y=-2X，则EY=_______.  解析：由离散型随机变量分布列的性质，得+++m+=1，解得m=， ∴EX=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-. 由Y=-2X，得EY=-2EX=-2×=. [变式拓展] 1.本例条件不变，若Y=2X-3，求EY. 解：由公式E(aX+b)=aEX+b及EX=-，得 EY=E(2X-3)=2EX-3=2×-3=-. 2.本例条件不变，若Y=aX+3，且EY=-，求a的值. 解：因为EY=E(aX+3)=aEX+3=-a+3=-，所以a=15. |思|维|建|模| 求随机变量Y=aX+b的均值的方法 (1)定义法：先列出Y的分布列，再求均值. (2)性质法：直接套用公式EY=E(aX+b)=aEX+b求解即可. [针对训练] 2.若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=，则以下正确的是(　　) A.EX= B.E(2X+3)= C.E(2X+2)= D.E(2X+1)= 解析：因为随机变量X服从两点分布，且P(X=0)=，则P(X=1)=， 故EX=0×+1×=，故A错误；E(2X+3)=2EX+3=，故B错误；E(2X+2)=2EX+2=，故C错误；E(2X+1)=2EX+1=，故D正确. √ 3.[多选]已知随机变量X的分布列为 X 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 若EX=7.5，则以下结论正确的是 (　　) A.a无法确定 B.b=0.4 C.E(aX)=52.5 D.E(X+b)=7.9 解析：由分布列的性质，可知0.3+0.1+b+0.2=1，解得b=0.4，故B正确；∵EX=4×0.3+0.1a+9×0.4+10×0.2=6.8+0.1a=7.5，∴a=7，故A不正确；由均值的性质，可知E(aX)=aEX=7×7.5=52.5，故C正确；E(X+b)=EX+b=7.5+0.4=7.9，故D正确.故选BCD. √ √ √ [例3]　某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞赛活动，规则如下：①单选题答对得20分，答错得0分；②多选题答对得30分，选对但不全得10分，有错选得0分；③每名竞赛参与者答3道题.学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：先回答一道多选题，再回答单选题.现已知某学生单选题答对的概率为0.8，多选题全对的概率为0.4，选对但不全的概率为0.3. (1)若该学生选择方案一，求该学生得分X的分布列及数学期望； 题型(三)　离散型随机变量的均值在决策中的应用 解：由题意知，随机变量X的取值可能为0，20，40，60，可得P(X=0)=0.2×0.2×0.2=0.008， P(X=20)=0.8×0.2×0.2+0.2×0.8×0.2+0.2×0.2×0.8=0.096， P(X=40)=0.8×0.8×0.2+0.8×0.2×0.8+0.2×0.8×0.8=0.384，P(X=60)=0.8×0.8×0.8=0.512，则随机变量X的分布列为 X 0 20 40 60 P 0.008 0.096 0.384 0.512 所以EX=0+20×0.096+40×0.384+60×0.512=48. (2)如何选择方案，能使得该学生的得分更高? 解：若该学生选择方案二，记得分为Y，则Y的取值可能为0，10，20，30，40，50，70， 可得P(Y=0)=0.3×0.2×0.2=0.012，P(Y=10)=0.3×0.2×0.2=0.012， P(Y=20)=0.3×0.8×0.2×2=0.096，P(Y=30)=0.3×0.8×0.2×2+0.4×0.2×0.2=0.112，P(Y=40)=0.3×0.8×0.8=0.192，P(Y=50)=0.3×0.8×0.8+0.4×0.8×0.2×2=0.32， P(Y=70)=0.4×0.8×0.8=0.256， 则Y的分布列为 Y 0 10 20 30 40 50 70 P 0.012 0.012 0.096 0.112 0.192 0.32 0.256 所以期望为EY=0×0.012+10×0.012+20×0.096+30×0.112+40× 0.192+50×0.32+70×0.256=47.结合(1)知EX>EY， 所以选择方案一，能使得该学生的得分更高. |思|维|建|模| 解答概率模型的三个步骤 (1)建模：把实际问题概率模型化. (2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值. (3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断. 针对训练 4.某企业计划加大技术革新力度，需更换一台设备.现有两种品牌的设备可供选择，A品牌设备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查： A品牌的使用年限 2 3 4 5 概率 0.4 0.3 0.2 0.1   B品牌的使用年限 2 3 4 5 概率 0.1 0.3 0.4 0.2 更换设备技术革新后，每年估计可增加效益100万元，请从年均收益的角度分析，为该企业提出建议. 解：设更换为A品牌设备使用的平均年限为X， 则EX=2×0.4+3×0.3+4×0.2+5×0.1=3(年)， 更换为A品牌设备年均收益为3×100-60=240(万元)； 设更换为B品牌设备使用的平均年限为Y， 则EY=2×0.1+3×0.3+4×0.4+5×0.2=3.7(年)， 更换为B品牌设备年均收益为3.7×100-90=280(万元).所以建议更换为B品牌设备. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1.已知离散型随机变量X的分布列为 √ X 1 2 3 P 则X的均值EX等于 (　　) A. B.2 C. D.3 解析：EX=1×+2×+3×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 2.已知随机变量X服从两点分布，EX=0.6，则其成功概率为 (　　) A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 √ 解析：∵随机变量X服从两点分布，设成功的概率为p，∴EX=0× (1-p)+1×p=p=0.6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 3.设随机变量X的分布列如下表，且EX=1.6，则a-b 等于 (　　) √ X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4 解析：由0.1+a+b+0.1=1，得a+b=0.8.又由EX=0×0.1+1×a+2×b +3×0.1=1.6，得a+2b=1.3，解得a=0.3，b=0.5，则a-b=-0.2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 4.甲、乙两台自动车床生产同种标准件，X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数， 经一段时间考查后，X，Y的分布列分别是 X 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1   Y 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 据此判定 (　　) A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好 C.甲与乙质量相同 D.无法判定 解析：由分布列可得EX=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6，EY=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7，∵EY>EX，∴甲比乙质量好. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5.[多选]设p为非负实数，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P -p p 则下列说法正确的是 (　　) A.p∈ B.EX最大值为 C.p∈ D.EX最大值为 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：由题表可得从而得p∈，均值EX=0×+1·p+2×=p+1，当且仅当p=时，(EX)最大值=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 6.已知随机变量ξ的分布列如表所示，则Eξ的最大值是 (　　) ξ -1 0 a P +a -b A.- B.- C.- D.- 解析：根据分布列的性质得，所有的概率和为1，且每个概率都介于0和1之间，得到a-b=0，所以Eξ=-1×+a=-+b=-b2+b-，- ≤b≤，根据二次函数的性质，知Eξ的最大值在b=时取得，代入得到Eξ=-，经检验符合题意. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 7.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的均值为 (　　) A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：依题意得，X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=(1-0.4) ×(1-0.5)=0.3，P(X=1)=0.4×(1-0.5)+(1-0.4)×0.5=0.5，P(X=2)=0.4×0.5=0.2.可得X的分布列为 X 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 ∴EX=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8.(5分)学校要从10名候选人中选2名同学进入学生会，其中高二(1)班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选中，若X表示选中高二(1)班的候选人的人数，则EX的值为_____.  解析：X的可能取值为0，1，2，P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，则EX=0×+1×+2×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 9.(5分)设ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P a 又η=2ξ+a，则Eη=____.  解析：由分布列的性质可知+++a=1，解得a=， 所以Eξ=1×+2×+3×+4×=， 所以Eη=E=2Eξ+=2×+=6. 6 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.(10分)一个盒子里装有5张卡片，其中有红色卡片3张，白色卡片2张，从盒子中任取2张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同). (1)求取出的2张卡片中，至少有1张红色卡片的概率；(3分) 解：设“取出的2张卡片中，至少有1张红色卡片”为事件A， 则P(A)=1-=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)在取出的2张卡片中，白色卡片数设为X，求随机变量X的分布列和数学期望.(7分) 解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2. 则P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P EX=0×+1×+2×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 11.(15分)身高体重指数(BMI)这个概念，是由19世纪中期的比利时通才凯特勒最先提出，它的计算公式如下：身高体重指数(BMI)=体重(kg)÷身高(m)的平方.成人的BMI数值低于18.5，则体重过轻，在[18.5，24)则正常；在[24，28)为过重，在[28，32)为肥胖，不低于32为非常肥胖，且专家指出最理想的身高体重指数是22.某科研小组设计了一套方案，并在两类人群中进行对比实验，其中科学饮食组采用科学饮食方案，对照组采用随意饮食方案.半年后，分别在两组中各随机选取100人，BMI都分布在[16，36]内，按BMI分成5组进行统计：[16，20)，[20，24)，[24，28)，[28，32)，[32，36].统计后分别制成如下的频率分布直方图. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (1)求a，b，并估计科学饮食组的80%分位数(结果精确到小数点后两位)；(7分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解：由频率分布直方图可知(0.02+0.06+0.075+a+0.025)×4=1，解得a=0.07， (0.01+b+0.09+0.08+0.03)×4=1，解得b=0.04， 由题图计算可得科学饮食组前三个区间所占频率为(0.02+0.06+0.075) ×4=0.62， 前四个区间所占频率为(0.02+0.06+0.075+0.07)×4=0.9， 所以80%分位数在区间[28，32)内，不妨设为x， 所以(x-28)×0.07+0.62=0.8，解得x≈30.57. 故科学饮食组的80%分位数为30.57. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)现采用分层随机抽样的方法从对照组选取的100人中抽取25人，再从这25人中随机抽取2人，记其中“肥胖”(不含非常肥胖)的人数为X，求X的分布列与均值.(8分) 解：根据对照组的频率分布直方图可知在区间[28，32)内的人数有25×0.08×4=8， X可取0，1，2，所以P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==， 分布列为 X 0 1 2 P 所以EX=0×+1×+2×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 12.(15分)为了丰富学生的课余生活，某校决定举办竞技比赛.比赛分为“无人机表演”和“机器人操作”两个项目，选手两个比赛项目的顺序自选，若第一个项目不过关，则淘汰；若第一个项目过关则进行第二个项目比赛，无论第二个项目是否合格，比赛都结束.“无人机表演”比赛合格得4分，否则得0分；“机器人操作”比赛合格得6分，否则得0分. 已知博文同学参加“无人机表演”比赛合格的概率为0.8，参加“机器人操作”比赛合格的概率为0.7. (1)若博文同学先进行“无人机表演”比赛，记X为博文同学的累计得分，求X的分布列；(6分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解：由题意得，X的可能取值为0，4，10， 所以P(X=0)=1-0.8=0.2，P(X=4)=0.8×(1-0.7)=0.24，P(X=10)=0.8×0.7=0.56， 所以X的分布列为 X 0 4 10 P 0.2 0.24 0.56 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)为使累计得分的期望最大，博文同学应选择先进行哪项比赛?并说明理由.(9分) 解：由(1)可得EX=0×0.2+4×0.24+10×0.56=6.56. 若博文同学先进行“机器人操作”，记Y为博文同学的累计得分，Y的可能取值为0，6，10， 所以P(Y=0)=1-0.7=0.3，P(Y=6)=0.7×(1-0.8)=0.14，P(Y=10)=0.7×0.8=0.56， 所以Y的分布列为 Y 0 6 10 P 0.3 0.14 0.56 所以EY=0×0.3+6×0.14+10×0.56=6.44. 因为EX>EY，所以博文同学应该选择先进行“无人机表演”比赛. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $