03-§3 01-3.1 离散型随机变量的均值（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的均值，从概率分布列回顾切入，通过摸球、乒乓球比赛等实例引导学生理解均值定义，再过渡到性质应用与综合决策，构建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于结合生活实例（如农场损失方案、育儿补贴），用数学眼光观察现实问题，通过分步解析培养数学思维，借助分布列表格等数学语言表达。例如通过比赛局数期望计算，让学生掌握逻辑推理，提升应用意识，教师可利用分层练习满足教学需求，提高效率。

第六章 概率 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §3　离散型随机变量的均值与方差 3.1　离散型随机变量的均值 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　离散型随机变量的均值(数学期望) 1.[2025安徽阜阳临泉田家炳实验中学月考]设随机变量X的分布列为P(X=i)= × ,i=1,2,3,则X的数 学期望EX= ( ) A. 　　    B. 　　     C. 　　    D.      A     解析　因为P(X=i)= × ,其中i=1,2,3, 所以EX=1× × +2× × +3× × = . 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江西景德镇质量检测]甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到 有一人比另一人多2分或打满4局时停止,设甲在每局中获胜的概率为 ,乙在每局中获胜的概率为 ,且 各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数X的期望为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.3     C     解析　由题意得X的可能取值为2,4, P(X=2)= + = , P(X=4)=1- = , 故EX=2× +4× = . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河北邯郸九校联考]一袋子里有大小、形状完全相同的3个红球,2个白球,1个黄球,现从袋子里 随机摸球,每次摸一球,不放回,摸到红球就结束摸球,X表示摸球次数,则X的数学期望为 ( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      A     解析　随机变量X的可能取值为1,2,3,4. P(X=1)= = (第一次摸到红球); P(X=2)= × = (第一次摸到非红球,第二次摸到红球); P(X=3)= × × = (前两次摸到非红球,第三次摸到红球); P(X=4)= × × ×1= (前三次摸到非红球,第四次摸到红球). 所以EX=1× +2× +3× +4× = . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题]已知 <p<1,随机变量X的分布列如下,则下列结论正确的有 ( )     BD     X 0 1 2 P p-p2 1-p p2 A.P(X=2)的值最大 B.P(X=0)<P(X=1) C.EX随着p的增大而减小 D.EX随着p的增大而增大 第1讲　描述运动的基本概念 解析　取p= ,则P(X=2)= ,P(X=1)=1- = > ,A错误; 因为 <p<1,所以p-p2=p(1-p)<1-p, 即P(X=0)<P(X=1),B正确; EX=1×(1-p)+2p2=2 + , <p<1, 结合二次函数的性质可知,EX随着p的增大而增大,C错误,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026天津第五中学月考]从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各 路口遇到红灯的概率分别为 , , .设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,则随机变量X的数学 期望为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3, 则P(X=0)= × × = , P(X=1)= × × + × × + × × = , P(X=2)= × × + × × + × × = , P(X=3)= × × = . 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P         所以EX=0× +1× +2× +3× = . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江西宜春丰城第九中学段考]在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中,中国队将对阵韩国队.比 赛实行5局3胜制,根据以往战绩,中国队在每一局中获胜的概率都是 . (1)求中国队以3∶0的比分获胜的概率; (2)设事件A为“韩国队先胜第一局”,事件B为“中国队获得最终的胜利”,求P(B|A); (3)假设全场比赛的局数为随机变量X,在韩国队先胜第一局的前提下,求X的分布列和数学期望EX. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)设中国队以3∶0的比分获胜的事件为M, 则P(M)= = . (2)在韩国队先胜第一局的前提下,中国队获得最终的胜利有2种情况: ①中国队连胜3局,此时概率为 = ; ②中国队在第2局到第4局中胜2局,再胜第5局, 此时概率为3× × × = , 所以P(B|A)= + = . (3)由题意知X的可能取值为3,4,5, 则P(X=3)= = , 第1讲　描述运动的基本概念 P(X=4)=2× × × + = , P(X=5)=3× × × +3× × × = , 所以X的分布列为 X 3 4 5 P       则EX=3× +4× +5× = . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　离散型随机变量的均值的性质 7.[2026黑龙江哈尔滨第一二二中学校月考]已知离散型随机变量X的分布列如下,若E(3X+4)=5,则a+b=  ( )     C     X -1 0 a 2 P   b     A. 　　    B.1　　    C. 　　    D.  第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知 +b+ + =1, 解得b= ,因为E(3X+4)=5, 所以3EX+4=5,所以EX= , 则EX=-1× +0× +a× +2× = , 解得a=1,所以a+b= . 第1讲　描述运动的基本概念 8.[多选题][2025广东汕头期中]设离散型随机变量X的分布列如下表: X 1 2 3 4 5 P m 0.1 0.3 n 0.3 若离散型随机变量Y=-2X+3,且EX=3.2,则下列结论正确的是 ( ) A.m=0.3　　    B.n=0.1 C.EY=-3.4　　    D.P(X≤3)>P(X>3)     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知m+0.1+0.3+n+0.3=1,所以m+n=0.3①, 因为EX=3.2,所以1×m+2×0.1+3×0.3+4×n+5×0.3=3.2,即m+4n=0.6②, 联立①②解得m=0.2,n=0.1,故A不正确,B正确; 因为Y=-2X+3,所以EY=-2EX+3=-2×3.2+3=-3.4,故C正确; P(X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.1+0.3=0.6,P(X>3)=P(X=4)+P(X=5)=0.1+0.3=0.4, 所以P(X≤3)>P(X>3),故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[教材习题改编]甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试,若甲、乙能通过面试的概率都是 ,则 面试结束后通过的人数X的期望为_________. 解析　设甲、乙能通过面试的期望分别为Ea,Eb(a=0,1,b=0,1), 则Ea=1× +0× = ,Eb=1× +0× = ,又X=a+b, 所以EX=E(a+b)=Ea+Eb= . 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　离散型随机变量的均值的综合应用 10.[教材习题改编]根据天气预报,某地区近期有小暴雨的概率为0.4,有大暴雨的概率为0.01,该地区某 蔬菜农场主有一大片蔬菜未收割,若遭遇小暴雨,则该农场主将损失5 000元;若遭遇大暴雨,则该农场主 将损失10 000元.为了减少损失,有三种方案可供选择: 方案①是雇人收割蔬菜,劳务费为2 000元;方案②是搭建挡雨棚,搭建费为1 800元,但仅可以防小暴雨; 方案③是不采取任何措施.从农场主损失期望的角度出发,下列结论正确的是 ( ) A.农场主采用方案①可以让损失降到最小 B.农场主采用方案②可以让损失降到最小 C.农场主采用方案③可以让损失降到最小 D.农场主采用三种方案的损失均相同     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设采用方案①,②,③的损失分别为ξ1,ξ2,ξ3(单位:元), 若采用方案①,则Eξ1=2 000; 若采用方案②,则P(ξ2=11 800)=0.01, P(ξ2=1 800)=0.99, Eξ2=11 800×0.01+1 800×0.99=1 900; 若采用方案③,则P(ξ3=5 000)=0.4,P(ξ3=10 000)=0.01,P(ξ3=0)=0.59, Eξ3=5 000×0.4+10 000×0.01+0×0.59=2 100. 因为1 900<2 000<2 100, 所以从农场主损失期望的角度出发,农场主采用方案②可以让损失降到最小. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026广东湛江调研]为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题,我国于2025年7月28日印 发了《育儿补贴制度实施方案》,某地响应国家号召,制定了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生 活压力.两套方案的执行策略如表: 单个家庭 生育婴儿数 1 2 3 补贴方案一 每月补助300元,共补贴3 年 每月补助1 100元,共补 贴3年 每月补助2 600元,共补 贴3年 补贴方案二 每月补助1 000元,共补贴3年 通过人口普查,可近似估计该地每个家庭生育婴儿的数量与概率: 第1讲　描述运动的基本概念 单个家庭 生育婴儿数 0 1 2 3 概率         由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低,可认为此事件为小概率事件,故只需考虑单个家庭生育 婴儿总数为0,1,2,3的情况. (1)若采用补贴方案一,随机选取某家庭,其补助不低于1 100元/月,求其共生育2个婴儿的概率; (2)试从期望的角度讨论这两套补贴方案哪套的补贴额更高. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)记事件A为单个家庭补助不低于1 100元/月,事件B为单个家庭共生育2个婴儿, 则P(A)= + = ,P(AB)= , 所以P(B|A)= = . (2)记补贴方案一每月的补贴额为Y1元,补贴方案二每月的补贴额为Y2元, 则EY1=0× +300× +1 100× +2 600× =600,EY2=0× +1 000× =700,因为EY1<EY2,所以补贴方案二 的补贴额更高. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §3　离散型随机变量的均值与方差 3.1　离散型随机变量的均值 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　离散型随机变量的均值 1.[多选题]甲盒中装有3个蓝球、2个黄球,乙盒中装有2个蓝球、3个黄球,同时从甲、乙两盒中取出i(i= 1,2)个球进行交换,记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望分别为EiX,EiY,则下列结论正确的 是 ( ) A.E1X+E1Y=5 B.E1X>E1Y C.E2X<E1X D.E2Y<E1Y     ABC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意知X表示交换后甲盒子中的蓝球个数,Y表示交换后乙盒子中的蓝球个数, 当i=1时,X的可能取值为2,3,4,Y的可能取值为3,2,1, 且P(X=2)=P(Y=3)= = , P(X=3)=P(Y=2)= = ,P(X=4)=P(Y=1)= = , 则E1X=2× +3× +4× = , E1Y=3× +2× +1× = , E1X+E1Y= + =5,故A,B正确; 当i=2时,X的可能取值为1,2,3,4,5,Y的可能取值为4,3,2,1,0, 且P(X=1)=P(Y=4)= = , 第1讲　描述运动的基本概念 P(X=2)=P(Y=3)= = ,P(X=3)=P(Y=2)= = ,P(X=4)=P(Y=1)=  = ,P(X=5)=P(Y=0)= = , 则E2X=1× +2× +3× +4× +5× = , E2Y=4× +3× +2× +1× +0× = ,故C正确,D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏南通如皋质量调研]小明同学有一个质地均匀的正四面体玩具,四个面分别标有数字1,2,3, 4,现随机抛掷,记录每次朝下的面上的数字,如果是数字4就停止,否则继续抛掷,至多抛3次.设这几次记 录的最大数字为X,则P(X=2)=_________;EX=_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    X的可能取值为1,2,3,4, X=1,即抛掷3次,朝下的面上的数字均为1,抛掷3次,朝下的面上的数字共有43=64种情况,故P(X=1)= ; X=2,即抛掷3次,朝下的面上的数字最大为2,分1个2,2个2和3个2三种情况,故P(X=2)= = ; X=3,即抛掷3次,朝下的面上的数字最大为3,分1个3,2个3和3个3三种情况, 故P(X=3)= = ; X=4,即抛掷1次,朝下的面上的数字为4,此时概率为 , 抛掷2次,第二次朝下的面上的数字为4,此时概率为 × = , 抛掷3次,第三次朝下的面上的数字为4,此时概率为 × = , 故P(X=4)= + + = .所以EX=1× +2× +3× +4× = . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026河北沧州沧县中学月考]设随机变量ξ满足P(ξ=i)= (其中i=1,2,3,4),直线y=ξx-2与抛物线Γ:y=ax2 (a>0)的公共点个数为随机变量X,若X的数学期望EX= ,则抛物线Γ的焦点坐标为_____________.     (0,2)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设ξ分别取1,2,3,4时,对应的直线与抛物线Γ的交点个数为m1,m2,m3,m4, 则mi∈{0,1,2},其中i=1,2,3,4, 从而P(X=mi)=P(ξ=i)= , 所以EX= = , 故m1+m2+m3+m4=7,因为mi∈{0,1,2}, 所以必有三个取值为2,一个取值为1,记为mj, 设直线y=jx-2与抛物线y=ax2相切, 由 得ax2-jx+2=0, 由Δ=j2-8a=0得8a=j2, 对于其余i≠j的三个值,直线y=ix-2均与抛物线有两个交点, 第1讲　描述运动的基本概念 同理,Δ=i2-8a>0,所以i2>j2, 在i,j∈{1,2,3,4}中,只有当j=1时,其余i∈{2,3,4}才满足i2>j2, 因此,直线y=x-2与抛物线y=ax2相切,即m1=1,故a= ,所以抛物线Γ:x2=8y,其焦点坐标为(0,2). 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025江西宜春丰城中学期中]甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛,规定每局比赛胜者得1分,负者得0 分,比赛一直进行到一方比另一方多2分为止,多得2分的一方赢得比赛.已知每局比赛中,甲获胜的概率 为α,乙获胜的概率为β(α+β=1,α>0,β>0),且每局比赛结果相互独立.若比赛最多进行5局,则比赛结束时比 赛局数X的期望EX的最大值为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设“甲获胜”为事件A,“乙获胜”为事件B, 则P(A)=α,P(B)=β,且α+β=1, 由题意得X的所有可能取值为2,4,5, 则P(X=2)=P(AA)+P(BB)=α2+β2, P(X=4)=P(ABAA)+P(BAAA)+P(ABBB)+P(BABB)=(αβ+βα)α2+(αβ+βα)β2=2αβ(α2+β2), P(X=5)=P(ABAB)+P(ABBA)+P(BABA)+P(BAAB)=α2β2+α2β2+α2β2+α2β2=4α2β2, 所以X的分布列为 X 2 4 5 P α2+β2 2αβ(α2+β2) 4α2β2 第1讲　描述运动的基本概念 所以X的期望EX=2(α2+β2)+8αβ(α2+β2)+20α2β2=2(1-2αβ)+8αβ(1-2αβ)+20α2β2=4α2β2+4αβ+2, 因为α+β=1≥2 ,所以αβ≤ , 当且仅当α=β= 时等号成立, 所以αβ∈ , 所以EX=4α2β2+4αβ+2=(2αβ+1)2+1≤ +1= , 故EX的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026湖南长沙麓山国际实验学校入学考试]一个被染满颜料的蚂蚱从数轴上的原点开始跳动,每次 跳跃有等可能的概率向左或向右跳动1个单位长度,蚂蚱所在的点会留下颜色,则蚂蚱跳动4次后染上颜 色的点的个数X的期望EX=_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得,X的可能取值为2,3,4,5.(易错点) X=2表示蚂蚱在0,1或者0,-1之间来回跳动,则P(X=2)= ×2= . X=3表示蚂蚱由0向右最远跳到2,可能为“右右左左”“右左右右”“右右左右”,共3种,由对称性知 由0向左最远跳到-2,也有3种,由0向左最远跳到-1,向右最远跳到1,可能为“左右右左”“右左左右”, 共2种,故一共有8种,则P(X=3)= ×8= . X=4表示蚂蚱跳动为“右右右左”“左左左右”“左右右右”“右左左左”,共4种, 则P(X=4)= ×4= . X=5表示蚂蚱跳动为“右右右右”“左左左左”,共2种,则P(X=5)= ×2= . 故EX=2× +3× +4× +5× = . 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025江西萍乡期中]将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次,所得的向上的点数分别记为a,b,设[x]表示 不超过实数x的最大整数, 的值为随机变量X. (1)求在X>0的条件下,X= 的概率; (2)求X的分布列及数学期望. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　记抛掷骰子的样本点为(a,b), 则样本空间为{(a,b)|1≤a≤6,1≤b≤6,a,b∈N},样本空间中的样本点共有36个. (1)设事件A为“X>0”,事件B为“X= ”, 则A={(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3),(4,4),(5,4),(6,4),(5, 5),(6,5),(6,6)},共21个样本点, AB={(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(2,2),(4,2),(6,2),(3,3),(6,3),(4,4),(5,5),(6,6)},共14个样本点, 由条件概率得P(B|A)= = = . (2)X的可能取值为0,1,2,3,4,5,6, P(X=0)= = , P(X=1)= = , 第1讲　描述运动的基本概念 P(X=2)= = , P(X=3)= = , P(X=4)= , P(X=5)= ,P(X=6)= , 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 6 P               所以EX=0× +1× +2× +3× +4× +5× +6× = . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　离散型随机变量的均值的实际应用 7.[2026湖北武汉水果湖高级中学月考]在某人工智能的语音识别系统开发中,每次测试语音识别成功 的概率受环境条件(安静或嘈杂)的影响. (1)已知在安静环境下,语音识别成功的概率为0.9,在嘈杂环境下,语音识别成功的概率为0.6.某天进行测 试,已知当天处于安静环境的概率为0.3,处于嘈杂环境的概率为0.7,求测试结果为语音识别成功的概率; (2)已知当前每次测试成功的概率为0.8,每次测试成本固定,现有两种测试方案: 方案一:测试4次;方案二:先测试3次,如果这3次中成功的次数小于或等于2,则再测试2次,否则不再测试. 为降低测试成本,以测试次数的期望值大小为决策依据,应选择哪种测试方案? 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)记事件A为“安静环境”,事件B为“语音识别成功”,则 为“嘈杂环境”, 所以P(B)=P(B|A)P(A)+P(B| )·P( )=0.9×0.3+0.6×0.7=0.69. (2)设方案一和方案二测试次数分别为X,Y, 方案一:测试4次,则EX=4;方案二:Y的可能取值为3,5, P(Y=3)=0.8×0.8×0.8=0.512,P(Y=5)=1-0.512=0.488, 则Y的分布列为 Y 3 5 P 0.512 0.488 所以EY=3×0.512+5×0.488=3.976. 因为EX>EY,所以应选择方案二. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026河北沧州盐山中学期中]某学校为普及法治理论知识,举办了一次法治理论知识闯关比赛.比赛 规定:三人组队参赛,按顺序依次闯关,无论成败,每位队员只闯关一次.如果某位队员闯关失败,则由该队 下一队员继续闯关,如果该队员闯关成功,则视作该队获胜,余下的队员无须继续闯关;若三位队员闯关 均不成功,则视为该队比赛失败.比赛结束后,根据积分获取排名,每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人 数X的关系如下:Y=40-10X(X=1,2,3),比赛失败的队伍则积分为0.现有甲、乙、丙三人组队参赛,他们各 自闯关成功的概率分别为p1,p2,p3,且每人能否闯关成功互不影响. (1)已知p1= ,p2= ,p3= . (i)若按甲、乙、丙的顺序依次参赛,求该队比赛结束后所获积分Y的期望; (ii)若第一次闯关从三人中随机抽取,求该队比赛结束后所获积分Y=30的概率; (2)若甲只能安排在第二位次参赛,且0<p1<p2<p3<1,要使该队比赛结束后所获积分Y的期望最大,试确定 乙、丙的参赛顺序,并说明理由. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)(i)Y的可能取值为0,10,20,30, P(Y=0)= × × = , P(Y=10)= × × = , P(Y=20)= × = , P(Y=30)= , 所以Y的分布列为 Y 0 10 20 30 P         第1讲　描述运动的基本概念 所以EY=0× +10× +20× +30× = . (ii)第一次闯关从三人中随机抽取,每个人被抽取到的概率都是 ,且必须闯关成功, 故所求概率为 × + × + × = . (2)若顺序为“乙甲丙”,则积分Y1的可能取值为0,10,20,30, P(Y1=0)=(1-p2)(1-p1)(1-p3), P(Y1=10)=(1-p2)(1-p1)p3, P(Y1=20)=(1-p2)p1, P(Y1=30)=p2, 所以EY1=10(1-p2)(1-p1)p3+20(1-p2)·p1+30p2=20p1+30p2+10p3-20p1p2-10p1p3-10p2p3+10p1p2p3. 若顺序为“丙甲乙”,则积分Y2的可能取值为0,10,20,30, 第1讲　描述运动的基本概念 P(Y2=0)=(1-p3)(1-p1)(1-p2), P(Y2=10)=(1-p3)(1-p1)p2, P(Y2=20)=(1-p3)p1, P(Y2=30)=p3, 所以EY2=10(1-p3)(1-p1)p2+20·(1-p3)p1+30p3=20p1+10p2+30p3-10p1p2-20p1p3-10p2p3+10p1p2p3. 故EY1-EY2=20p2-20p3-10p1p2+10p1p3=(20-10p1)(p2-p3), 因为20-10p1>0,p2-p3<0, 所以EY1-EY2<0, 即EY1<EY2,所以丙先参赛. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　定义n维空间中两点的曼哈顿距离考查数学期望 9.[2026湖南长沙周南中学阶段测试]在n(n≥2,n∈N)维空间中,以单位长度为棱长的“立方体”的顶点 坐标可表示为n维坐标(a1,a2,…,an),其中ai∈{0,1}(1≤i≤n,i∈N).定义:在n维空间中的两点(a1,a2,…,an)与 (b1,b2,…,bn)间的曼哈顿距离为|a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|,则6维空间“立方体”的顶点数为__________; 若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点,记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离,则EX=____.     64     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由6维坐标(a1,a2,a3,…,a6),ai∈{0,1}(1≤i≤6,i∈N), 知共有26=64个顶点. 对于X=k(1≤k≤6,k∈Z)的随机变量, 在坐标(a1,a2,a3,…,a6)与(b1,b2,b3,…,b6)中有k个坐标不同,剩下(6-k)个坐标相同, 此时有 ·25种情况, 所以P(X=k)= = , 则X的分布列为 X 1 2 … 6 P     …   第1讲　描述运动的基本概念 所以EX= + +…+ , 又k =k· =n·  =n , 所以EX= ( + + +…+ )= = . 解题关键　本题的关键在于确定当X=k时,在坐标(a1,a2,a3,a4,a5,a6)与(b1,b2,b3,b4,b5,b6)中有k个坐标不同,即 有k个坐标满足ai≠bi,剩下(6-k)个坐标满足ai=bi,再由P(X=k)= = 求出概率. 第1讲　描述运动的基本概念 $