6.3.1 离散型随机变量的均值-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦离散型随机变量的均值这一核心知识点，系统梳理从分布列到均值概念的构建，明确均值作为加权平均数的本质，掌握两点分布均值及线性变换性质，搭建从概率分布到平均水平刻画的学习支架。 资料采用梯度进阶式教学，通过驾照考试次数、设备更换决策等实例，结合“数学思维”推理均值性质，“数学语言”表达分布列与期望，课中助力分层教学，课后便于学生回顾强化，培养数据观念与模型意识。

§3　离散型随机变量的均值与方差 3.1　离散型随机变量的均值[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解离散型随机变量的均值的概念和意义,会根据离散型随机变量的分布列求出均值. 2.掌握离散型随机变量的均值的性质和两点分布的均值. 3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平,解决一些相关的实际问题. 1.离散型随机变量的均值(或数学期望) 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望(简称期望).它反映了离散型随机变量X取值的平均水平. |微|点|助|解| 理解均值要注意三点 (1)离散型随机变量的均值是算术平均数概念的推广,是概率意义下的平均,由于离散型随机变量的所有取值的概率满足=1,所以均值是以概率pi为权数的加权平均数. (2)EX是一个实数,由X的分布列唯一确定,即X作为随机变量,可以取不同的值,但EX是X的一个特征数,它是不变的,它描述X取值的平均水平. (3)EX与随机变量X本身具有相同的单位. 2.两点分布的均值 一般地,若随机变量X服从参数为p的两点分布,则EX=p. 3.均值的性质 若Y=aX+b,其中a,b为常数,X是随机变量,则 (1)Y也是随机变量. (2)EY=aEX+b. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)随机变量X的数学期望EX是个变量,其随X的变化而变化. (　　) (2)随机变量的均值反映样本的平均水平. (　　) (3)若随机变量X的数学期望EX=2,则E(2X)=4. (　　) (4)随机变量X的均值EX=. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.已知离散型随机变量Y的分布列如下: Y 0 1 2 P 则数学期望EY= (　　) A. B. C.1 D.2 解析:选B　由题意可得EY=0×+1×+2×=. 3.已知X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 a 则E(2X+0.2)= (　　) A.4.8 B.5 C.6 D.8.4 答案:B 4.某射手射击所得环数ξ的分布列如下表: ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的数学期望Eξ=8.9,则y的值为 (　　) A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.3 解析:选C　由分布列的性质可知, 解得 题型(一)　离散型随机变量的均值 [例1]　某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,即可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和均值. 解:X的取值分别为1,2,3,4, X=1,表明李明第一次参加驾照考试就通过了,故P(X=1)=0.6. X=2,表明李明在第一次考试未通过,第二次通过了,故P(X=2)=(1-0.6)×0.7=0.28. X=3,表明李明在第一、二次考试未通过,第三次通过了,故P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096. X=4,表明李明第一、二、三次考试都未通过, 故P(X=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)=0.024. 所以李明一年内参加考试次数X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.6 0.28 0.096 0.024 所以X的均值EX=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544. |思|维|建|模|　求离散型随机变量X的均值的步骤 　　[针对训练] 1.端午节吃粽子是我国的传统习俗,一盘中有8个粽子,其中豆沙粽2个,蜜枣粽6个,这两种粽子的外观完全相同,从中随机取出3个. (1)求既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率; (2)设X表示取到豆沙粽的个数,求随机变量X的分布列与数学期望. 解:(1)依题意,既有豆沙粽又有蜜枣粽的概率为=. (2)X的可能取值为0,1,2, 则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以EX=0×+1×+2×=. 题型(二)　离散型随机变量均值的性质 [例2]　已知随机变量X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 P m 若Y=-2X,则EY=　　　　.  解析:由离散型随机变量分布列的性质,得+++m+=1,解得m=, ∴EX=(-2)×+(-1)×+0×+1×+2×=-. 由Y=-2X,得EY=-2EX=-2×=. 答案: [变式拓展] 1.本例条件不变,若Y=2X-3,求EY. 解:由公式E(aX+b)=aEX+b及EX=-,得 EY=E(2X-3)=2EX-3=2×-3=-. 2.本例条件不变,若Y=aX+3,且EY=-,求a的值. 解:因为EY=E(aX+3)=aEX+3=-a+3=-,所以a=15. |思|维|建|模| 求随机变量Y=aX+b的均值的方法 (1)定义法:先列出Y的分布列,再求均值. (2)性质法:直接套用公式EY=E(aX+b)=aEX+b求解即可. 　　[针对训练] 2.若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,则以下正确的是 (　　) A.EX= B.E(2X+3)= C.E(2X+2)= D.E(2X+1)= 解析:选D　因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,则P(X=1)=,故EX=0×+1×=,故A错误;E(2X+3)=2EX+3=,故B错误;E(2X+2)=2EX+2=,故C错误;E(2X+1)=2EX+1=,故D正确. 3.[多选]已知随机变量X的分布列为 X 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 若EX=7.5,则以下结论正确的是 (　　) A.a无法确定 B.b=0.4 C.E(aX)=52.5 D.E(X+b)=7.9 解析:选BCD　由分布列的性质,可知0.3+0.1+b+0.2=1,解得b=0.4,故B正确;∵EX=4×0.3+0.1a+9×0.4+10×0.2=6.8+0.1a=7.5,∴a=7,故A不正确;由均值的性质,可知E(aX)=aEX=7×7.5=52.5,故C正确;E(X+b)=EX+b=7.5+0.4=7.9,故D正确.故选BCD. 题型(三)　离散型随机变量的均值在决策中的应用 [例3]　某校为了弘扬与传承中华传统文化,特举办了“国学经典”的知识竞赛活动,规则如下:①单选题答对得20分,答错得0分;②多选题答对得30分,选对但不全得10分,有错选得0分;③每名竞赛参与者答3道题.学校设计了两种答题方案,方案一:全部回答单选题;方案二:先回答一道多选题,再回答单选题.现已知某学生单选题答对的概率为0.8,多选题全对的概率为0.4,选对但不全的概率为0.3. (1)若该学生选择方案一,求该学生得分X的分布列及数学期望; (2)如何选择方案,能使得该学生的得分更高? 解:(1)由题意知,随机变量X的取值可能为0,20,40,60,可得P(X=0)=0.2×0.2×0.2=0.008, P(X=20)=0.8×0.2×0.2+0.2×0.8×0.2+0.2×0.2×0.8=0.096, P(X=40)=0.8×0.8×0.2+0.8×0.2×0.8+0.2×0.8×0.8=0.384,P(X=60)=0.8×0.8×0.8=0.512,则随机变量X的分布列为 X 0 20 40 60 P 0.008 0.096 0.384 0.512 所以EX=0+20×0.096+40×0.384+60×0.512=48. (2)若该学生选择方案二,记得分为Y,则Y的取值可能为0,10,20,30,40,50,70, 可得P(Y=0)=0.3×0.2×0.2=0.012,P(Y=10)=0.3×0.2×0.2=0.012, P(Y=20)=0.3×0.8×0.2×2=0.096,P(Y=30)=0.3×0.8×0.2×2+0.4×0.2×0.2=0.112,P(Y=40)=0.3×0.8×0.8=0.192,P(Y=50)=0.3×0.8×0.8+0.4×0.8×0.2×2=0.32, P(Y=70)=0.4×0.8×0.8=0.256, 则Y的分布列为 Y 0 10 20 30 40 50 70 P 0.012 0.012 0.096 0.112 0.192 0.32 0.256 所以期望为EY=0×0.012+10×0.012+20×0.096+30×0.112+40×0.192+50×0.32+70×0.256=47.结合(1)知EX>EY, 所以选择方案一,能使得该学生的得分更高. |思|维|建|模| 解答概率模型的三个步骤 (1)建模:把实际问题概率模型化. (2)解模:确定分布列,计算随机变量的均值. (3)回归:利用所得数据,对实际问题作出判断. [针对训练] 4.某企业计划加大技术革新力度,需更换一台设备.现有两种品牌的设备可供选择,A品牌设备需投入60万元,B品牌设备需投入90万元,企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查: A品牌的使用年限 2 3 4 5 概率 0.4 0.3 0.2 0.1 B品牌的使用年限 2 3 4 5 概率 0.1 0.3 0.4 0.2 更换设备技术革新后,每年估计可增加效益100万元,请从年均收益的角度分析,为该企业提出建议. 解:设更换为A品牌设备使用的平均年限为X, 则EX=2×0.4+3×0.3+4×0.2+5×0.1=3(年), 更换为A品牌设备年均收益为3×100-60=240(万元); 设更换为B品牌设备使用的平均年限为Y, 则EY=2×0.1+3×0.3+4×0.4+5×0.2=3.7(年), 更换为B品牌设备年均收益为3.7×100-90=280(万元).所以建议更换为B品牌设备. [课时检测] 1.已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的均值EX等于 (　　) A. B.2 C. D.3 解析:选A　EX=1×+2×+3×=. 2.已知随机变量X服从两点分布,EX=0.6,则其成功概率为 (　　) A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 解析:选D　∵随机变量X服从两点分布,设成功的概率为p,∴EX=0×(1-p)+1×p=p=0.6. 3.设随机变量X的分布列如下表,且EX=1.6,则a-b 等于 (　　) X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4 解析:选C　由0.1+a+b+0.1=1,得a+b=0.8.又由EX=0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6,得a+2b=1.3,解得a=0.3,b=0.5,则a-b=-0.2. 4.甲、乙两台自动车床生产同种标准件,X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数,Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数, 经一段时间考查后,X,Y的分布列分别是 X 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 Y 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 据此判定 (　　) A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好 C.甲与乙质量相同 D.无法判定 解析:选A　由分布列可得EX=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,EY=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7,∵EY>EX,∴甲比乙质量好. 5.[多选]设p为非负实数,随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P -p p 则下列说法正确的是 (　　) A.p∈ B.EX最大值为 C.p∈ D.EX最大值为 解析:选AB　由题表可得从而得p∈,均值EX=0×+1·p+2×=p+1,当且仅当p=时,(EX)最大值=. 6.已知随机变量ξ的分布列如表所示,则Eξ的最大值是 (　　) ξ -1 0 a P +a -b A.- B.- C.- D.- 解析:选B　根据分布列的性质得,所有的概率和为1,且每个概率都介于0和1之间,得到a-b=0,所以Eξ=-1×+a=-+b=-b2+b-,-≤b≤,根据二次函数的性质,知Eξ的最大值在b=时取得,代入得到Eξ=-,经检验符合题意. 7.某班举行了一次“心有灵犀”的活动,教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学,这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜错得0分,则这两个同学各猜1次,得分之和X的均值为 (　　) A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.1 解析:选A　依题意得,X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=(1-0.4)×(1-0.5)=0.3,P(X=1)=0.4×(1-0.5)+(1-0.4)×0.5=0.5,P(X=2)=0.4×0.5=0.2.可得X的分布列为 X 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 ∴EX=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9. 8.(5分)学校要从10名候选人中选2名同学进入学生会,其中高二(1)班有4名候选人,假设每名候选人都有相同的机会被选中,若X表示选中高二(1)班的候选人的人数,则EX的值为　　　　.  解析:X的可能取值为0,1,2,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,则EX=0×+1×+2×=. 答案: 9.(5分)设ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P a 又η=2ξ+a,则Eη=　　　　.  解析:由分布列的性质可知+++a=1,解得a=,所以Eξ=1×+2×+3×+4×=, 所以Eη=E=2Eξ+=2×+=6. 答案:6 10.(10分)一个盒子里装有5张卡片,其中有红色卡片3张,白色卡片2张,从盒子中任取2张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同). (1)求取出的2张卡片中,至少有1张红色卡片的概率;(3分) (2)在取出的2张卡片中,白色卡片数设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.(7分) 解:(1)设“取出的2张卡片中,至少有1张红色卡片”为事件A,则P(A)=1-=. (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2. 则P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P EX=0×+1×+2×=. 11.(15分)身高体重指数(BMI)这个概念,是由19世纪中期的比利时通才凯特勒最先提出,它的计算公式如下:身高体重指数(BMI)=体重(kg)÷身高(m)的平方.成人的BMI数值低于18.5,则体重过轻,在[18.5,24)则正常;在[24,28)为过重,在[28,32)为肥胖,不低于32为非常肥胖,且专家指出最理想的身高体重指数是22.某科研小组设计了一套方案,并在两类人群中进行对比实验,其中科学饮食组采用科学饮食方案,对照组采用随意饮食方案.半年后,分别在两组中各随机选取100人,BMI都分布在[16,36]内,按BMI分成5组进行统计:[16,20),[20,24),[24,28),[28,32),[32,36].统计后分别制成如下的频率分布直方图. (1)求a,b,并估计科学饮食组的80%分位数(结果精确到小数点后两位);(7分) (2)现采用分层随机抽样的方法从对照组选取的100人中抽取25人,再从这25人中随机抽取2人,记其中“肥胖”(不含非常肥胖)的人数为X,求X的分布列与均值.(8分) 解:(1)由频率分布直方图可知(0.02+0.06+0.075+a+0.025)×4=1,解得a=0.07, (0.01+b+0.09+0.08+0.03)×4=1,解得b=0.04, 由题图计算可得科学饮食组前三个区间所占频率为(0.02+0.06+0.075)×4=0.62, 前四个区间所占频率为(0.02+0.06+0.075+0.07)×4=0.9, 所以80%分位数在区间[28,32)内,不妨设为x, 所以(x-28)×0.07+0.62=0.8,解得x≈30.57. 故科学饮食组的80%分位数为30.57. (2)根据对照组的频率分布直方图可知在区间[28,32)内的人数有25×0.08×4=8, X可取0,1,2,所以P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==, 分布列为 X 0 1 2 P 所以EX=0×+1×+2×=. 12.(15分)为了丰富学生的课余生活,某校决定举办竞技比赛.比赛分为“无人机表演”和“机器人操作”两个项目,选手两个比赛项目的顺序自选,若第一个项目不过关,则淘汰;若第一个项目过关则进行第二个项目比赛,无论第二个项目是否合格,比赛都结束.“无人机表演”比赛合格得4分,否则得0分;“机器人操作”比赛合格得6分,否则得0分. 已知博文同学参加“无人机表演”比赛合格的概率为0.8,参加“机器人操作”比赛合格的概率为0.7. (1)若博文同学先进行“无人机表演”比赛,记X为博文同学的累计得分,求X的分布列;(6分) (2)为使累计得分的期望最大,博文同学应选择先进行哪项比赛?并说明理由.(9分) 解:(1)由题意得,X的可能取值为0,4,10, 所以P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=4)=0.8×(1-0.7)=0.24,P(X=10)=0.8×0.7=0.56, 所以X的分布列为 X 0 4 10 P 0.2 0.24 0.56 (2)由(1)可得EX=0×0.2+4×0.24+10×0.56=6.56. 若博文同学先进行“机器人操作”,记Y为博文同学的累计得分,Y的可能取值为0,6,10, 所以P(Y=0)=1-0.7=0.3,P(Y=6)=0.7×(1-0.8)=0.14,P(Y=10)=0.7×0.8=0.56, 所以Y的分布列为 Y 0 6 10 P 0.3 0.14 0.56 所以EY=0×0.3+6×0.14+10×0.56=6.44. 因为EX>EY,所以博文同学应该选择先进行“无人机表演”比赛. 学科网（北京）股份有限公司 $