3.1 空间直角坐标系-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间直角坐标系，系统讲解坐标系建立、点的坐标表示、对称问题及两点间距离公式，通过“逐点理清”导入，从概念解析到坐标特点再到公式推导，构建递进式学习支架。 其亮点是“多维理解+微点助解+微点练明”分层设计，结合长方体、正四棱锥等模型培养空间观念，用表格总结对称规律体现数学语言精确性，助力学生夯实基础，教师可高效实施概念教学。

第三章 空间向量与立体几何 §1 空间直角坐标系 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 课时目标 1.了解空间直角坐标系.　 2.能在空间直角坐标系中写出所给定点的坐标. 3.借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得到空间两点间的距离公式. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　点在空间直角坐标系中的坐标 逐点清(二)　空间中点的对称问题 逐点清(三)　空间两点间的距离公式 4 课时检测 逐点清(一)　点在空间直角 　　　　　　　坐标系中的坐标 01 多维理解 1.空间直角坐标系 过空间任意一点O，作三条两两垂直的直线，并以点O为原点，在三条直线上分别建立数轴：______、______和______，这样就建立了一个空间直角坐标系________.点O叫作坐标原点，x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)叫作坐标轴，通过每两条坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为______平面、______平面、______平面. x轴 y轴 z轴 O-xyz xOy yOz zOx |微|点|助|解| (1)画空间直角坐标系O-xyz时，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°，三个坐标平面把空间分成八个部分. (2)将x轴和y轴放在水平面上. (3)x轴的正半轴逆时针旋转90°与y轴正半轴重合. (4)建立的坐标系一般为右手系. 2.落在坐标轴和坐标平面上的点的特点 (1)过点P作垂直于坐标轴的平面，与三条坐标轴分别交于点A、点B和点C，实际上就是作点P在各条坐标轴上的投影，即从点P向坐标轴引垂线，垂足分别为点A，B，C.设点A，B，C的坐标分别为(x，0，0)，(0，y，0)，(0，0，z)，则点P的坐标为(x，y，z). (2)列表如下 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z)   点的位置 xOy平面内 yOz平面内 zOx平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 微点练明 1.如图，在长方体OABC-O1A1B1C1中，|OA|=3，|OC|=5，|OO1|=4，点P是棱B1C1的中点，则点P的坐标为 (　　) A.(3，5，4)　　 B. C. D. 解析：由题图可知，B1(3，5，4)，C1(0，5，4)，因为点P是棱B1C1的中点，所以由中点坐标公式可得P. √ 2.在空间直角坐标系O-xyz中，点M(x，2 026，z)(x∈R，z∈R)构成的集合是 (　　) A.一条直线 B.平行于xOy平面的平面 C.两条直线 D.平行于xOz平面的平面 解析：依题意，在空间直角坐标系O-xyz中，点M(x，2 026，z)(x∈R，z∈R)的纵坐标保持不变，故其构成的集合是一个平行于xOz平面的平面. √ 3.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为5，侧棱长为13， 建立如图所示的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标. 解：因为|PO|===12， 所以各顶点的坐标分别为P(0，0，12)，A，B， C，D. 逐点清(二)　空间中点的对称问题 02 多维理解 点P(a，b，c)关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 对称轴、对称平面或对称中心 对称点坐标 x轴 ____________ y轴 ____________ z轴 ____________ xOy平面 ____________ yOz平面 ____________ zOx平面 ____________ 坐标原点 _____________ 循规记忆：关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反. (a，-b，-c) (-a，b，-c) (-a，-b，c) (a，b，-c) (-a，b，c) (a，-b，c) (-a，-b，-c) 微点练明 1.[多选]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=4，AA1=3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，则下列结论正确的是 (　　) A.点B1的坐标为(3，5，4) B.点C1关于点B对称的点为(8，5，-3) C.点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) √ √ √ 解析：易知点B1的坐标为(4，5，3)，故A错误；由C1(0，5，3)，B(4，5，0)，设点C1关于点B对称的点为P(x，y，z)，则=4，=5，=0， 解得x=8，y=5，z=-3，故P(8，5，-3)，故B正确；在长方体中，AD1=BC1 ==5=AB，所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直 且平分，即点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，故C正确；因为CB⊥平面ABB1A1，故点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点为(0+2×4，5，0)，即(8，5，0)，故D正确. 2.已知点P(2，3，-1)关于xOy平面的对称点为P1，点P1关于yOz平面的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为____________.  (2，-3，1) 解析：点P(2，3，-1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于yOz平面的对称点P2的坐标为(-2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，-3，1). 3.在空间直角坐标系中，已知点P(-2，1，4). (1)求点P关于x轴对称的点P1的坐标； 解：由于点P关于x轴对称后，它在x轴上的坐标不变，在y轴、z轴上的坐标变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(-2，-1，-4). (2)求点P关于xOy平面对称的点P2的坐标； 解：由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴上的坐标不变，在z轴上的坐标变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(-2，1，-4). (3)求点P关于点M(2，-1，-4)对称的点P3的坐标. 解：设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x=2×2-(-2)=6，y=2×(-1)-1=-3，z=2×(-4)-4=-12，所以P3的坐标为(6，-3，-12). 逐点清(三)　空间两点间的距离公式 03 多维理解 1.2个距离公式 (1)空间中任一点P(x1，y1，z1)与坐标原点O之间的距离为|PO|=_______________. (2)已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离为 |PQ|=_______________________________. 2.空间中的几个特殊距离 (1)点P(x1，y1，z1)到xOy平面的距离为|z1|. (2)点P(x1，y1，z1)到yOz平面的距离为|x1|. (3)点P(x1，y1，z1)到zOx平面的距离为|y1|. (4)点P(x1，y1，z1)到x轴的距离为 . (5)点P(x1，y1，z1)到y轴的距离为 . (6)点P(x1，y1，z1)到z轴的距离为 . 微点练明 1. 空间直角坐标系中，点A(-3，4，0)和点B(2，-1，6)的距离是 (　　) A.2 B.2 C.9 D. 2.在空间直角坐标系中，已知点M(1，0，3)与N(-1，1，a)两点间的距离为，则a=(　　) A.2或4 B.2 C.4 D.-2 √ √ 3.设点P在x轴上，它到点P1(0，，3)的距离是到点P2(0，1，-1)的距离 的2倍，求点P的坐标. 解：因为点P在x轴上， 所以设点P的坐标为(x，0，0)， 因为|PP1|=2|PP2|， 所以 =2，解得x=±1， 所以点P的坐标为(1，0，0)或(-1，0，0). 4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|=|CB|=|CA|=2， AC⊥CB，D，E，F分别是棱AB，B1C1，AC的中点，求 DE，EF的长度. 解：以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为 x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵|C1C|=|CB|=|CA|=2， ∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)， B1(0，2，2)，由中点坐标公式可得， D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)， ∴|DE|==， |EF|==. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1.点P(2，0，1)在空间直角坐标系O-xyz中的位置是 (　　) A.在y轴上 B.在xOy平面内 C.在yOz平面内 D.在zOx平面内 √ 解析：空间直角坐标系中，点P(2，0，1)的横坐标为x=2，纵坐标为y=0，竖坐标为z=1，所以点P在空间直角坐标系O-xyz中的位置是zOx平面内.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 2.在空间直角坐标系O-xyz中，已知点M是点N在xOy平面内的投影，则点M的坐标是(　　) A. B. C. D. 解析：点N在xOy平面内的投影为，故点M的坐标是. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 3.设B点是点A(2，-3，5)关于xOy平面的对称点，则|AB|= (　　) A.10 B. C. D.38 解析：∵点B是点A(2，-3，5)关于xOy平面的对称点，∴B的横坐标和纵坐标与A相同，而竖坐标与A相反，∴B(2，-3，-5)，∴直线AB与z轴平行，∴|AB|=5-(-5)=10. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 4.已知在空间直角坐标系O-xyz中，A，B，则=(　　) A.1 B. C. D.2 √ 解析：因为A，B， 所以==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5.将地球看作半径为r km的球体，如图所示，将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于Oxy平面上，z轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线(弧 ，是0度经线)位于Oxz平面上，且交x轴于点S(r，0，0).已知赤道上一点E位于东经60度，则地球上位于西经60度，北纬30度的空间点P的横坐标约为(　　) (参考数据：r≈6.371，≈1.41，≈1.73，≈2.45) A.-2 755 B.2 755 C.-2 246 D.2 246 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：设点P在Oxy平面上的射影为P'，则OP=r，OP'=rcos 60°=r，因为OP'与x轴正方向的夹角为30°，由OP'在x轴上的射影长为rcos 30° =r≈×6.371×1 000≈2 755，所以空间点P的横坐标约为2 755，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 6.笛卡尔是世界上著名的数学家，他因将几何坐标体系公式 化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，突然看 见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡 尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD- A1B1C1D1为长方体，且|AB|=|BC|=1，|AA1|=2，点P是x轴上 一动点，则|AP|+|PD|的最小值为 (　　) A.B.2 C. D.2 √ 解析：因为|AB|=|BC|=1，|AA1|=2，由题图可知，A(1，-1，-2)，D(0，-1，-2)，点A关于x轴对称的点为A'(1，1，2).所以(|AP|+|PD|)min=|A'D|=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 7.如图所示，在空间直角坐标系中，|BC|=2，原点O是BC的中点，点D在yOz平面内，且∠BDC=90°，∠DCB=30°，则点D的坐标为 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：过点D作DE⊥BC，垂足为E，在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠DCB=30°，|BC|=2，得|BD|=1，|CD|=，所以|DE|=|CD|·sin30° =，所以|OE|=|OB|-|BE|=|OB|-|BD|·cos60°=1-=，所以点D的坐标为，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8.(5分)在空间直角坐标系中，点(4，-1，2)关于原点的对称点的坐标是_____________.  解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，-1，2)关于原点的对称点的坐标是(-4，1，-2). (-4，1，-2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 9.(5分)在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知D1，B，则点C1的坐标为____________.  解析：由题意知，|AB|=3，|AD|=2，|AA1|=2，所以点C1的坐标为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.(5分)已知A，B，C，且∠BAC=90°，则x=_____.  2 解析：依题意，由两点间的距离公式得 ==， = =， = =，由∠BAC=90°，得=+， 于是得+2=2++1，解得x=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 11.(10分)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AB|=4， |AD|=3，|AA1|=5，N为棱CC1的中点，分别以AB，AD， AA1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. (1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；(5分) 解：显然A(0，0，0)，由于点B在x轴的正半轴上且|AB|=4，所以B(4，0，0)，同理可得D(0，3，0)，A1(0，0，5).由于点C在xOy平面内，BC⊥AB，CD⊥AD，则点C(4，3，0). 同理可得B1(4，0，5)，D1(0，3，5)，与点C的坐标相比，点C1的坐标中只有竖坐标与点C不同，|CC1|=|AA1|=5，则点C1(4，3，5). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)求点N的坐标.(5分) 解：由(1)知C(4，3，0)，C1(4，3，5)，则C1C的中点坐标为，即N. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 12.(10分)已知正方形ABCD、正方形ABEF的边长都为1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直.点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|= |BN|=a(0<a<). (1)求|MN|；(7分) 解：因为四边形ABCD、四边形ABEF均为正方形，所以AB⊥BE，AB⊥BC. 因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，BE⊂平面ABEF，所以BE⊥平面ABCD. 所以AB，BC，BE两两垂直. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 以B为原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、 z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则M，N. 所以|MN|= ==，0<a<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)a为何值时，|MN|最短?(3分) 解：因为|MN|=，0<a<， 所以当a=时，|MN|min=. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $